新人教版八年級上冊數(shù)學(xué)教案

第11章三角形

教材內(nèi)容

本章主要內(nèi)容有三角形的有關(guān)線段、角，多邊形及內(nèi)角和，鑲嵌等。

三角形的高.中餞和角平分線是三角形中的主要線段，與三角形有關(guān)的角有內(nèi)角、外角。教材通過試

驗讓學(xué)生了解三角形的穩(wěn)定性，在知道三角形的內(nèi)角和等于180°的基礎(chǔ)上，進行推理論證，從而得出三角

形外角的性質(zhì)。接著由推廣三角形的有關(guān)概念，介紹了多邊形的有關(guān)概念，利用三角形的有關(guān)性質(zhì)探討了

多邊形的內(nèi)角和、外角和公式。這些學(xué)問加深了學(xué)生對三角形的相識，既是學(xué)習(xí)特別三角形的基礎(chǔ)，也是

探討其它圖形的基礎(chǔ)。最終結(jié)合實例探討了鑲嵌的有關(guān)問題，體現(xiàn)了多邊形內(nèi)角和公式在實際生活中的應(yīng)

用.

教學(xué)目標(biāo)

〔學(xué)問與技能〕

1、理解二角形及有關(guān)概念，會畫隨意二角形的高、中線、角平分線：2、了解二角形的穩(wěn)定性，理解

三角形兩邊的和大于第三邊，會農(nóng)據(jù)三條線段的長度推斷它們能否構(gòu)成三角形；3、會證明三角形內(nèi)角和

等于180°,了解三角形外角的性質(zhì)。4、了解多邊形的有關(guān)概念，會運用多邊形的內(nèi)角和與外角和公式解

決問題。5、理解平面鑲嵌，知道隨意一個三角形、四邊形或正六邊形可以鑲嵌平面，并能運用它們進行

簡潔的平面鑲嵌設(shè)計。

〔過程與方法〕

1、在視察、操作、推理、歸納等探究過程中，發(fā)展學(xué)生的合情推理實力，逐步養(yǎng)成數(shù)學(xué)推理的習(xí)慣;

2、在敏捷運用學(xué)問解決有關(guān)問題的過程中，體驗并駕馭探究、歸納圖形性質(zhì)的推理方法，進一步培說理

和進行簡潔推理的實力。

〔情感、看法與價值觀〕

1、體會數(shù)學(xué)與現(xiàn)實生活的聯(lián)系，增加克服困難的志氣和信念；2、會應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)問解決一些簡潔的實

際問題，增加應(yīng)用意識；3、使學(xué)生進一步形成數(shù)學(xué)來源于實踐，反過來又服務(wù)于實踐的辯證唯物主義觀

點,

重點難點

三角形三邊關(guān)系、內(nèi)角和，多邊形的外角和與內(nèi)角和公式，鑲嵌是重點；三角形內(nèi)角和等于180°的證

明，依據(jù)三條線段的長度推斷它們能否構(gòu)成三角形及簡潔的平面鑲嵌設(shè)計是難點。

課時安排

11.1與三角形有關(guān)的線段..............................2課時

11.2與三角形有關(guān)的角.................................2課時

11.3多邊形及其內(nèi)角和...............................2課時

本章小結(jié)..............................................2課時

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11.1.1三角形的邊

［教學(xué)目標(biāo)］

〔學(xué)問與技能1

1了解三角形的意義，相識三角形的邊、內(nèi)角，頂點，能用符號語言表示三角形；

2理解三角形三邊不等的關(guān)系，會推斷三條線段能否構(gòu)成一個三角形,并能運用它解決有關(guān)的問題.

〔過程與方法〕

在視察、操作、推理、歸納等探究過程中，發(fā)展學(xué)生的合情推理實力，逐步養(yǎng)成數(shù)學(xué)推理的習(xí)慣；

〔情感、看法與價值觀〕

體會數(shù)學(xué)與現(xiàn)實生活的聯(lián)系，增加克服困難的忐氣和信念

［重點難點］三角形的有關(guān)概念和符號表示，三角形三邊間的不等關(guān)系是重點；用三角形三邊不等關(guān)

系判定三條線段可否組成三角形足難點。

［教學(xué)過程］

一、情景導(dǎo)入

三角形是一種最常見的幾何圖形，［投影1-6］如古埃及金字塔，香港中銀大廈，交通標(biāo)記，等等，到

處都有三角形的形象。

那么什么叫做三角形呢？

二、三角形及有關(guān)概念

不在一條直線上的三條線段首尾順次相接組成的圖形叫做三角形。

留意：三條線段必需①不在一條直線上，②首尾順次相接。

組成三角形的線段叫做三角形的邊，相鄰兩邊所組成的角叫做三角形的內(nèi)角，簡稱角，相鄰兩邊的公

共端點是三角形的頂點。

三角形ABC用符號表示為AABC。三角形ABC的頂點C所對的邊AB可用c表示，頂點B所對的邊

AC可用b表示，頂點A所對的邊BC可用a表示.

三、三角形三邊的不等關(guān)系

探究：［投影7］隨意畫一個△ABC,假設(shè)有一只小蟲要從B點動身，沿三角形的邊爬到C,它有幾種路途

可以選擇?各條路途的長一樣嗎?為什么？

有兩條路途：(1)從B-C,(2)從B-A—C；不一樣，AB+AOBC①；因為兩點之間線段最短。

同樣地有AC+BOAB②

AB+BOAC③

由式子①②③我們可以知道什么？

三角形的隨意兩邊之和大于第三邊.

四、三角形的分類

我們知道，三角形按角可分為銳角三角形、鈍角三角形、直角三角形，我們把銳角三角形、鈍角三角

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形統(tǒng)稱為斜三角形。

力要角分類：

三角形直角三角形

〔斜三角形（銳角三角形

、鈍角三角形

那么三角形按邊如何進行分類呢？請你按“有幾條邊相等”將三角形分類。

三邊都相等的三角形叫做等邊三角形；

有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形；『缶

三邊都不相等的三角形叫做不等邊三角形。入

明顯，等邊三角形是特別的等腰三角形。腰Y

按邊分類：底角I—、—'底角

三角形］不等邊三角形底邊

1等腰三角形］底和腰不等的等腰三角形

\等這三角形

五、例題

例用一條長為18cm的細(xì)繩圍成一個等腰三角形。（1）假如腰長是底邊的2倍，那么各邊的長是多

少？（2）能圍成有一邊長為4cni的等腰三角形嗎？為什么？

分析：（1）等腰二角形二邊的長是多少？若設(shè)底邊長為xon,則腰K是多少？（2）“邊K為4cm”是

什么意思？

解?：（1）設(shè)底邊長為xcm,則腰長2xcnio

x+2x+2x=18

解得x=3.6

所以，三邊長分別為3.6cm,7.2cm,7.2cm.

（2）假如長為4cm的邊為底邊，設(shè)腰長為xcm,則

4+2x=18

解得x=7

假如長為4cm的邊為腰，設(shè)底邊長為xcm,則

2X4+x=18

解得x=10

因為4+4V10,出現(xiàn)兩邊的和小于第三邊的狀況，所以不能圍成腰長是4cm的等腰三角形。

由以上探討可知，可以圍成底邊長是4cm的等腰三角形。

五、課堂練習(xí)

課本4直練習(xí)1、2題。

六、課堂小結(jié)

1、三角形及有關(guān)概念；

2、三角形的分類；

3、三角形三邊的不等關(guān)系及應(yīng)用。

作業(yè)：

課本8直1、2、6；

教后記

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11.1.2三角形的高、中線與角平分線

（教學(xué)目標(biāo)）

〔學(xué)問與技能〕

1、經(jīng)驗畫圖的過程，相識三角形的高、中線與角平分線；

2、會畫三角形的高、中線與角平分線；3、了解三角形的三條高所在的直線，三條中線,三條角平分線

分別交于一點.

〔過程與方法〕

在視察、操作、推理、歸納等探究過程中，發(fā)展學(xué)生A

的合情推理實力，逐步養(yǎng)成數(shù)學(xué)推理的習(xí)慣A

［情感、看法與價值觀］/\

體會數(shù)學(xué)與現(xiàn)實生活的聯(lián)系，增加克服困難的志氣和/\///\

信念BCBDC

（重點難點）三角形的高、中線與角平分線是重點：

三角形的角平分線與角的平分線的區(qū)分，面鈍角三角形的高是難點.

（教學(xué)過程）

一、導(dǎo)入新課

我們已經(jīng)知道什么是三角形，也學(xué)過三角形的高。三角形的主要線段除高外，還有中線和角平分線

值得我們探討。

二、三角形的高

請你在圖中畫出aABC的一?條高井說說你畫法。

從AABC的頂點A向它所對的邊BC所在的直線畫垂線，垂足為D,所得線段AD叫做AABC的邊

BC上的高，表示為AD_LBC于點D。

留意：高與垂線不同，高是線段，垂線是直線。

請你再畫出這個三角形AB、AC邊上的面，看看有什么發(fā)覺？

三角形的三條高相交于一點。

假如AABC是直角三角形、鈍角三角形，上面的結(jié)論還成立嗎？

現(xiàn)在我們來畫鈍角三角形三邊上的高，如圖。

明顯，上面的結(jié)論成立。

請你畫一個直角三角形，再畫出它三邊上的高。

上面的結(jié)論還成立。

三、三角形的中線

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如圖，我們把連結(jié)AABC的頂點A和它的對邊BC的中點D,所得線段AD叫做AABC的邊BC上

的中線，表示為BD=DC或BD=DC=1/2BC或2BD=2DC=BC.

請你在圖中畫出AABC的另兩條邊上的中線，看看有什么發(fā)覺？

三角的三條中線相交于一點。

假如三角形是直角三角形、鈍角三角形，上面的結(jié)論還成立嗎？請畫圖回答。A

上面的結(jié)論還成立。

四、三角形的角平分線///

如圖，畫NA的平分線AD,交NA所對的邊BC于點D,所得線段AD叫做4ABC一一.

B1DC

的角平分線、表示為/BAD:NCAD或NBAD=NCAD=1/2ZBAC或2ZBAD=2ZCAD

=ZBACo

思索：三角形的角平分線與角的平分線是一樣的嗎？

三角形的角平分線是線段，而角的平分線是射線，是不一樣的。

請你在圖中再畫出另兩個角的平分線，看看有什么發(fā)覺？

三角形三個角的平分線相交于一點。

假如三角形是直角三角形、鈍角三角形，上面的結(jié)論還成立嗎？請畫圖回答。

上面的結(jié)論還成立。

想一想：二角形的二條高、二條中線、二條角平分線的交點有什么不同？

三角形的三條中線的交點、三條角平分線的交點在三角形的內(nèi)部，而銳三角形的三條高的交點在三角

形的內(nèi)部，直角三角形三條高的交戰(zhàn)在角直角頂點，鈍角三角形的三條高的交點在三角形的外部。

五、課堂練習(xí)

課本5真練習(xí)1、2題。

六、課堂小結(jié)

1、三角形的高、中線、角平分線的概念和畫法。

2、三角形的三條高、三條4線、三條角平分線及交點的位置規(guī)律。

七作業(yè)：

課本8真3、4：

八、教后記

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三角形的穩(wěn)定性

［教學(xué)目標(biāo)］

〔學(xué)問與技能〕

1、知道三角形具有穩(wěn)定性，四邊形沒有穩(wěn)定性；2、了解三角形的穩(wěn)定性在生產(chǎn)、生活中的應(yīng)用。

〔過程與方法〕

在視察、操作、推理、歸納等探究過程中，發(fā)展學(xué)生的合情推理實力，逐步養(yǎng)成

數(shù)學(xué)推理的習(xí)慣

〔情感、看法與價值觀〕

體會數(shù)學(xué)與現(xiàn)實生活的聯(lián)系，增加克服困難的志氣和信念

［重點難點］三角形穩(wěn)定性及應(yīng)用。

I教學(xué)過程1

一、情景導(dǎo)入□

蓋房子時，在窗框未安裝之前，木工師傅經(jīng)常先在窗框上斜釘一根木條，為什么要這樣做呢？

二、三角形的穩(wěn)定性

〔試區(qū)臉〕1、把三根木條用釘子釘成一Q個三角形木架，然后扭動它，它的形態(tài)會變更嗎？

(1)

不會變更。

2、把四根木條用釘子釘成一個四邊形木架，然后扭動它，它的形態(tài)會變更

嗎？

會變更。

3、在四邊形的木架上再釘一根木條，將它的一對頂點連接起來，然后扭動

它，它的形態(tài)會變更嗎？

(3)

不會變更。

從上面的試驗中，你能得出什么結(jié)論？

三角形具有穩(wěn)定性，而四邊形不具有穩(wěn)定性。

三、三角形穩(wěn)定性和四邊形不穩(wěn)定的應(yīng)用

三角形具有穩(wěn)定性當(dāng)然好，四邊形不具有穩(wěn)定性也未必不好，它們在生產(chǎn)和生活中都有廣泛的應(yīng)用。

如：

鋼架橋、屋頂鋼架和起重機都是利用三角形的穩(wěn)定性，活動掛架則是利用四邊形的不穩(wěn)定性。

你還能舉出一些例子嗎？

四、課堂練習(xí)

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I、下列圖形中具有穩(wěn)定性的是（）

A正方形B長方形C直角三角形D平行四邊形

2、要使下列木架穩(wěn)定各至少須要多少根木棍？

四邊形木架五邊膨木架六邊形木架

3,深木7直練習(xí)。

五作業(yè)：8M5；9直10題。

六、教后記

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11.2.1三角形的內(nèi)角

［教學(xué)目標(biāo)］

〔學(xué)問與技能〕

駕馭三角形內(nèi)角和定理.

〔過程與方法〕

在視察、操作、推理、歸納等探究過程中，發(fā)展學(xué)生的合情推理實力，逐步養(yǎng)成數(shù)學(xué)推理的習(xí)慣

〔情感、看法與價值觀〕

體會數(shù)學(xué)與現(xiàn)實生活的聯(lián)系，增加克服困難的志氣和信念

［重點難點］三角形內(nèi)角和定理是重點；三角形內(nèi)角和定理的證明是難點。

［教學(xué)過程］

一、導(dǎo)入新課

我們在小學(xué)就知道三角形內(nèi)角和等于180°,這個結(jié)論是通過試驗得到的，這個命題是不是真命題還須

要證明，怎樣證明呢？

二、三角形內(nèi)角和的證明

回顧我們小學(xué)做過的試驗，，爾是怎樣操作的？

把一個三角形的兩個角剪下拼在第三個角的頂點處，用量角器量出

NBCD的度數(shù),可得到NA+NB+NACB=180°。［投影1］

圖1

想一想，還可以怎樣拼？

①剪下NA,按圖（2）拼在一起，可得到NA+NB+NACB=180°。

圖2

②把N3和NC剪下按圖（3）拼在一起，可得到/A+NB+NACB=180"。

假如把上面移動的角在圖上進行轉(zhuǎn)移，由圖I你能想到證明三角形內(nèi)角和等于180°的方法嗎?

已知△ABC,求證：ZA+ZB+ZC=180°o

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證明一

過點C作CM〃AB,則NA:/ACM,ZB=ZDCM,

XZACB+ZACM+ZDCM=180°

/.ZA+ZB+ZACB=180%

即：三角形的內(nèi)角和等于180"。

由圖2、圖3你又能想到什么證明方法？請說說證明過程。

三、例題

例如圖，C島在A島的北偏東50°方向，B島在A島的北偏東8()。方向，C島在B島的北偏西40°

方句，從C島看A、B兩島的視第NACB是多少度？

分析：怎樣能求出NACB的度數(shù)？

依據(jù)三角形內(nèi)角和定理，只需求出NCAB和NCBA的度數(shù)即可。

ZCAB等于多少度？怎樣求NCBA的度數(shù)？

解：ZCBA=ZDADZCAD=80°50°=30°

VAD/7BE二ZBAD+ZABE=180°

工ZABE=1800-/BAD=1800-80°=100°

:.ZABC=ZABE-ZEBC=1000-40o=60o

???NACB=180。-NABC-NCAB=180"60?”

答：從C島看AB兩島的視角NACB=180°是90%

四、課堂練習(xí)

課本13MR2題。

五作業(yè)：

16M1、3、4：

六、教后記

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11.2.2三角形的外角

［教學(xué)目標(biāo)］A

〔學(xué)問與技能〕八M

理解三角形的外角；2.駕馭三角形外角的性質(zhì)，能利用三角形/\/外

角的性質(zhì)解決問題。/

〔過程與方法〕BZ________亡2_D

在視察、操作、推理、歸納等探究過程中，發(fā)展學(xué)生的合情推°理

實力，逐步養(yǎng)成數(shù)學(xué)推理的習(xí)慣

〔情感、看法與價值觀〕

體會數(shù)學(xué)與現(xiàn)實生活的聯(lián)系，增加克服困難的志氣和信念/X3

［重點難點］三角形的外角和三角形外角的性質(zhì)是重點；理解三角形的外角是難BZS-

點,//2

［教學(xué)過程］

一、導(dǎo)入新課

〔投影1）如圖，AABC的三個內(nèi)角是什么？它們有什么關(guān)系？

是NA、NB、NC,它們的和是180%

若延長BC至D,則NACD是什么角？這個角與AABC的三個內(nèi)角有什么關(guān)系？

二、三角形外角的概念

NACD叫做△ABC的外角。也就是，三角形一邊與另一邊的延長線組成的角，叫做三角形的外角。

想一想，三角形的外角共有幾個？

共有六個。

留意：每個頂點處有兩個外帶，它們是對頂角。探討與三角形外角有關(guān)的問題時，通常每個頂點處取

一個外角.

三、三角形外角的性質(zhì)乂

簡潔知道，三角形的外角NACD與相鄰的內(nèi)角NACB是鄰補角，那與另外兩個角有怎咿做關(guān)系

呢？/\

〔投影2）如圖，這是我們證明三角形內(nèi)角和定理時畫的協(xié)助線，你能就此圖說%kcD與I*、

/B的關(guān)系嗎？-----------------------D

Br.

VCE/7AB,AZA=ZLZB=Z2

XZACD=Z1+Z2

AZACD=ZA+ZB

你能用文字語言敘述這個結(jié)淪嗎？

三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角之和。

由加數(shù)與和的關(guān)系你還能知道什么？

三角形的一個外角大于與它不相鄰的任何一個內(nèi)角。

即ZACD>ZAtZACD>ZB.

四、例題

〔投影3〕例如圖，Nl、N2、N3是三角形ABC的三個外角，它們的和是多少？

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分析：Z1與NBAC、Z2與/ABC、N3與NACB有什么關(guān)系？NBAC、ABC、ZACB有什么關(guān)系？

解：VZ1+ZBAC=18O°,z2+ZABC=180°,Z3+ZACB=180°,

AZ1+ZBAC+Z2+ZABC+Z3+ZACB=540°

XZBAC+ZABC+ZACB=180°

/.Zl+Z2+Z3==360°o

你能用語言敘述本例的結(jié)論嗎？

三角形外角的和等于360。。

五、課堂練習(xí)

課本15直練習(xí)；

六、課堂小結(jié)

1、什么是三角形外角？

2、三角形的外角有哪些性質(zhì)？

七、作業(yè)：

課本12W5、6；

八、教后記

第11頁共158頁

11.3.1多邊形

［教學(xué)目標(biāo)］

〔學(xué)問與技能〕

1、了解多邊形及有關(guān)概念，理解正多邊形的概念.2、區(qū)分凸多邊形與凹多邊形.

〔過程與方法〕

在視察、操作、推理、歸納等探究過程中，發(fā)展學(xué)生的合情推理實力，逐步養(yǎng)成數(shù)學(xué)推理的習(xí)慣

〔情感、看法與價值觀)

體會數(shù)學(xué)與現(xiàn)實生活的聯(lián)系，增加克服困難的忐氣和信念

［重點難點］多邊形及有關(guān)概念、正多邊形的概念是重點；區(qū)分凸多邊形與凹多邊形是難點。

I教學(xué)過程］

一、情景導(dǎo)入

［投影1］看下面的圖片，你能從中找出由?些線段圍成的圖形嗎？

二、多邊形及有關(guān)概念

這些圖形有什么特點？

由幾條線段組成：它們不在同?條直線上；苜尾順次相接.

這種在平面內(nèi)，由一些不在同一條直線上的線段首尾順次相接組成的圖形叫做多邊形,

多邊形按組成它的線段的條數(shù)分成三角形、四邊形、五邊形……、n邊形。這就是說，一個多邊形由

幾條線段組成，就叫做幾邊形，三角形是最簡潔的多邊形。

與三角形類似地，多邊形相鄰兩邊組成的角叫做多邊形的內(nèi)角，如圖中的NA、/B、NC、ND、Z

E。多邊形的邊與它的鄰邊的延長線組成的角叫做多邊形的外角.如圖中的N1是五邊形ABCDE的一個外

角，［投影2］

連接多邊形的不相鄰的兩個頂點的線段，叫做多邊形的對角線.

四邊形有幾條對角線？五邊形有幾條對角線？畫圖看看。

你能猜想n邊形有多少條對角線嗎？說說你的想法。

n邊形有l(wèi)/2n(n-3)條對角線。因為從n邊形的一個頂點可以引n—3條對角線，n個頂點共引n(n

-3)條對?角線，又由于連接隨意兩個頂點的兩條對角線是相同的，所以，n邊形有l(wèi)/2n(n-3)條對角線。

三、凸多邊形和凹多邊形

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［投影3］如圖，下面的兩個多邊形有什么不同？

在圖（1）中，畫出四邊形ABCD的任何一條邊所在的直線，整個圖形都在這條直線的同一側(cè)，這樣

的四邊形叫做凸四邊形，這樣的多邊形稱為凸多邊形；而圖（2）就不滿足上述凸多邊形的特征，因為我

們畫BD所在直線，整個多邊形不都在這條直線的同一側(cè)，我們稱它為凹多邊形.

留意：今后我們探討的多邊形指的都是凸多邊形.

四、正多邊形的概念

我們知道，等邊三角形、正方形的各個角都相等，各條邊都相等，像這樣各個角都相等，各條邊都相

等的多邊形叫做正多邊形。

［投影4］下面是正多邊形的一些例子.

五、課堂練習(xí)

課本21直練習(xí)1、2。

3、有五個人在告辭的時候相互各握了一次手，他們共握了多少次手？你能找到一個幾何模型來說明

六、課堂小結(jié)

1、多邊形及有關(guān)概念。

2、區(qū)分凸多邊形和凹多邊形。

3、正多邊形的概念。

4、n邊形對角線有l(wèi)/2n（n-3）條。

七、作業(yè)：

課本24直1。

八、教后記

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11.3.2多邊形的內(nèi)角和

［教學(xué)目標(biāo)］

〔學(xué)問與技能〕

1、了解多邊形的內(nèi)角、外角等概念；

2、2、能通過不同方法探究多邊形的內(nèi)角和與外角和公式，并會應(yīng)用它們進行有關(guān)計算.

〔過程與方法〕

在視察、操作、推理、歸納等探究過程中，發(fā)展學(xué)生的合情推理實力，逐步養(yǎng)成數(shù)學(xué)推坦的習(xí)慣

〔情感、看法與價值觀〕

體會數(shù)學(xué)與現(xiàn)實生活的聯(lián)系，增加克服困難的志氣和信念

［重點難點上多邊形的內(nèi)角和與多邊形的外角和公式是重點；多邊形的內(nèi)角和定理的推導(dǎo)是難點。

［教學(xué)過程］

一、復(fù)習(xí)導(dǎo)入

我們已經(jīng)證明白三角形的內(nèi)角和為180。，在小學(xué)我們用量角器量過四邊形的內(nèi)角的度數(shù)，知道四邊

形為角的和為360°,現(xiàn)在你能利用三角形的內(nèi)角和定理證明嗎？

二、多邊形的內(nèi)角和

〔投影1〕如圖，從四邊形的一個頂點動身可以引幾條對角線？它們將四邊形分成幾個三角形？那么

四邊形的內(nèi)角和等于多少度？

可以引一條對角線：它將四邊形分成兩個三角形；因此，四邊形的內(nèi)角和二ZiABD的內(nèi)角和+ZXBDC的

內(nèi)角和=2X180°=360°.

類似地，你能知道五邊形、六邊形……n邊形的內(nèi)角和是多少度嗎？

〔投影2〕視察下面的圖形，填空：

五邊形六邊形

從五邊形一個頂點動身可以引對角線，它們將五邊形分成三角形，五邊形的內(nèi)角和等

于;

從六邊形一個頂點動身可以引對角線，它們將六邊形分成三角形，六邊形的內(nèi)角和等

于;

〔投影3〕從n邊形一個頂點動身，可以引—對角線，它們將n邊形分成三角形，n邊形的內(nèi)角

和等于o

n邊形的內(nèi)角和等于（n—2）?180°.

從上面的探討我們知道，求n邊形的內(nèi)角和可以將n邊形分成若干個三角形來求?，F(xiàn)在以五邊形為例,

你還有其它的分法嗎？

分法一〔投影3〕如圖1,在五邊形ABCDE內(nèi)任取一點0,連結(jié)OA、OB、OC、OD、OE,則得五個三

第14頁共158頁

角形。

,五邊形的內(nèi)角和為5X180°-2X180°=(5—2)X180°=540°。

分法二〔投影4〕如圖2,在邊AB上取一點0,連OE、0D.0C,則可以(5-1)個三角形。

二五邊形的內(nèi)角和為(5—1)X1800—180°=(5—2)X180°

假如把五邊形換成n邊形，用同樣的方法可以得到n邊形內(nèi)角和=(n-2)X180°.

三、例題

〔投影6〕例1假如一個四邊形的一組對角互補，那么另一組對角有什么關(guān)系？

如圖，己知四邊形ABCD中，ZA+ZC=180°,求NB與ND的關(guān)

分析：NA、NB、NC、ND有什么關(guān)系？

解：VZA+ZB+ZC+ZD=(4-2)X180°=360°

又NA+NC=180°

.\ZB4-ZD=360°-(ZA4-ZC)=180°

這就是說，假如四邊形一組對角互補，那么另一組對角也互補.

〔投影7〕例2如圖，在六邊形的每個頂點處各取一個外角，這些外角的和叫做六邊形的外角和.六

邊形的外處和等于多少？

如圖，已知/I,Z2,Z3,N4,Z5,N6分別為六邊形ABCDEF的外角，求N1+/2+/3+N4+N5+

Z6的值.

分析：多邊形的一個外角同與它相鄰的內(nèi)角有什么關(guān)系？六邊形的內(nèi)角和是多少度？

解：VZ1+ZBAF=18O°N2+NABC=l800Z3+ZBAI)=180°

Z4+ZCDE=180°Z5+ZDEF=180°Z6+ZEFA=180°

.*.Z1+ZBAF+Z2+ZABC+Z3+ZBAD+Z4+ZCI)E+Z5+ZDEF+Z6+ZEFA=6X180°

又N1+N2+N3+N4+N5+N6=4X1800

AZBAF+ZABC+ZBAD+ZCDE+ZDEF+ZEFA=6X1800-4X180°=360°

這就是說，六邊形形的外角刃為360°。

假如把六邊形換成n邊形可.以得到同樣的結(jié)果：

n邊形的外角和等于360°。

對此，我們也可以這樣來理解?！餐队?〕如圖，從多邊形的一個頂點A動身，沿多邊形各邊走過各頂

點，再回到A點，然后轉(zhuǎn)向動身時的方向，在行程中所轉(zhuǎn)的各個角的和就是多邊形的外角和，由于走了一

周，所得的各個角的和等于一個周角，所以多邊形的外角和等于360°.

四、課堂練習(xí)

課本24M1、2、3題。

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五、課堂小結(jié)

n邊形的內(nèi)角和是多少度？

n邊形的外角和是多少度？

六、作業(yè)：

課本24M2s3；

七、教后記

本章小結(jié)

一、學(xué)問結(jié)構(gòu)

二、回顧與思索

1、什么是三角形？什么是多邊形？什么是正多邊形？

三角形是不是多邊形？

2、什么是三角形的高、中線、角平分線？什么是對角線？

三角形有對角線嗎？n邊形的的對角線有多少條？

3、三角形的三條高，三條中線，三條角平分線各有什么特點？

4、三角形的內(nèi)角和是多少？n邊形的內(nèi)角和是多少？

你能用三角形的內(nèi)角和說明n邊形的內(nèi)角和嗎？

5、三角形的外角和是多少？n邊形的外角和是多少？

你能說明為什么多邊形的外角和與邊數(shù)無關(guān)嗎？

6、怎樣才算是平面鑲嵌？平面鑲嵌的條件是什么？能單獨進行平面鑲嵌的多邊形有哪些？

你能舉?個幾個多邊形進行平面鑲嵌的例子嗎？

三、例題導(dǎo)引

例1如圖,在AABC中，ZA：ZB:ZC=3：4：5,BD、CE分別是邊AC、AB上的高，BD、CE相交于

點H.求NBHC的度數(shù)。

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例2如圖，把aABC沿DE折疊，當(dāng)點A落在四邊鄉(xiāng)癡E，部時,

探究NA與N1+N2有什么數(shù)量關(guān)系？并說明理由。

DC

例3如圖所示,在AABC中,AABC的內(nèi)角平分線與外角平分線交于點P,試說明NP=1/2NA.

四、鞏固練習(xí)

課本28—29直復(fù)習(xí)題7（第3題可不做）.

五、教后記

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第十二章全等三角形

單元要點分析

教學(xué)內(nèi)容

本章的主要內(nèi)容是全等三角形.主要學(xué)習(xí)全等三角形的性質(zhì)以及探究判定三角形全等的方法，并學(xué)會

怎樣應(yīng)用全等三角形進行證明，本章劃分為三個小節(jié)，第一節(jié)學(xué)習(xí)三角形全等的概念、性質(zhì)；其次節(jié)學(xué)習(xí)

三角形全等的判定方法和直角三角形全等的特別判定方法；第三節(jié)利用三角形全等證明角的平分線的性

質(zhì)，會利用角的平分線的性質(zhì)進行證明.

教材分析

教材力求創(chuàng)設(shè)現(xiàn)實、好玩的問題情境，使學(xué)生經(jīng)驗從現(xiàn)實活動中抽象出幾何模型和運用所學(xué)內(nèi)容解決

實際問題的過程.在內(nèi)容呈現(xiàn)上，把探討三角形全等條件的重點放在第一個條件上，通過“邊邊邊”條件

探究什么是三角形的判定，如何判定，怎樣進行推理論證，怎樣正確地表達證明過程.學(xué)生起先學(xué)習(xí)三角

形判定定理時的困難在于定理的證明，而這些推理證明并不要求學(xué)生駕馭.為了突出判定方法這條主渠道，

教材都作為基本領(lǐng)實提出來，在畫圖、試驗中讓學(xué)生知道它們的正確性就可以了.在“角的平分線的性質(zhì)”

一節(jié)中的兩個互逆定理，只要求學(xué)生了解其條件與結(jié)論之間的關(guān)系，不必介紹互逆命題、互逆定理等內(nèi)容，

這將在“勾股定理”中介紹.

三維目標(biāo)

1.學(xué)問與技能

在探究全等三角形的性質(zhì)與判定中，提高認(rèn)知水平，積累數(shù)學(xué)活動閱歷.

2.過程與方法

經(jīng)驗探究三角形全等的判定的，發(fā)展空間觀念和有條理的表達實力，駕馭兩個三角形全筆的判定并應(yīng)

用于實際之中.

3.情感、看法與價值觀

培育良好的視察、操作、想象、推理實力，感悟幾何學(xué)的內(nèi)涵.

重、難點與關(guān)鍵

1.重點：使學(xué)生理解證明的基本過程，駕馭用綜合法證明的格式.

2.難點：領(lǐng)悟證明的分析思路，學(xué)會運用綜合法證明的格式.

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3.關(guān)鍵；突出三角形全等的判定方法這條t線，淡化對定理的證明.

教學(xué)建議

1.留意使學(xué)生經(jīng)驗探究三角形性質(zhì)及三角形全等的判定的過程.在教學(xué)中激勵學(xué)生視察、操作、推

理，運用多種方式探究三角形有關(guān)性質(zhì).

2.留意創(chuàng)設(shè)具有現(xiàn)實性、趣味性和挑戰(zhàn)性的情境，體現(xiàn)三角形的廣泛應(yīng)用.

3.留意直觀操作與說理的結(jié)合，逐步培育學(xué)生有條理的思索和表達.

課時劃分

本單元共分成9課時.

12.1全等三角形1課時

12.2三角形全等的性質(zhì)5課時

12.3角的平分線的性質(zhì)2課時

復(fù)習(xí)與溝通1課時

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12.1全等三角形

教學(xué)內(nèi)容

本節(jié)課主要介紹全等三角形的概念和性質(zhì).

教學(xué)目標(biāo)

1.學(xué)問與技能

領(lǐng)悟全等三角形對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等的有關(guān)概念.

2.過程與方法

經(jīng)驗探究全等三角形性質(zhì)的過程，能在全等三角形中正確找出對應(yīng)邊、對應(yīng)角.

3.情感、看法與價值觀

培育視察、操作、分析實力，體會全等三角形的應(yīng)用價值.

重、難點與關(guān)鍵

1.重點：會確定全等三角形的對應(yīng)元素.

2.難點：駕馭找對應(yīng)邊、對應(yīng)角的方法.

3.關(guān)鍵：找對應(yīng)邊、對應(yīng)角有下面兩種方法：（1）全等三角形對應(yīng)角所對的邊是對應(yīng)邊，兩個對應(yīng)

角所夾的邊是對應(yīng)邊：（2）對應(yīng)邊所對的角是對應(yīng)角，兩條對應(yīng)邊所夾的角是對應(yīng)角.

教具打算

四張大小一樣的紙片、直尺、剪刀.

教學(xué)方法

采納“直觀一感悟”的教學(xué)方法，讓學(xué)生自己舉出形態(tài)、大小相同的實例，加深相識.

教學(xué)過程

一、動手操作，導(dǎo)入課題

1.先在其中一張紙上畫出隨意一個多邊形，再用剪刀剪下，思索得到的圖形有何特點？

2.重新在一張紙板上畫出隨意一個三角形，再用剪刀剪下，思索得到的圖形有何特點？

【學(xué)生活動】動手操作、用痼思索、與同伴探討，得出結(jié)論.

【老師活動】指導(dǎo)學(xué)生用剪刀剪出重疊的兩個多邊形和三角形.

學(xué)生在操作過程中，老師要讓學(xué)生事先在紙上畫出三角形，然后固定重槌的兩張紙，留意整個過程要

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細(xì)心.

【互動溝通】剪出的多邊形司三角形，可以看出：形態(tài)、大小相同，能夠完全重合.這樣的兩個圖形

叫做全等形，用“空”表示.

概念：能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形.

【老師活動】在紙版上隨意剪下一個三角形，要求學(xué)生手拿一個三角形，做如下運動：平移、翻折、

旋轉(zhuǎn)，視察其運動前后的三角形會全等嗎？

【學(xué)生活動】動手操作，實踐感知，得出結(jié)論：兩個三角形全等.

【老師活動】要求學(xué)生用字母表示出每個剪下的三角形，同時相互指出每個三角形的頂點、三個角、

三條邊、每條邊的邊角、每個角的對邊.

【學(xué)生活動】把兩個三角形按上述要求標(biāo)上字母，并隨意放置，與同桌溝通：（1）何時能完全重在一

起？（2）此時它們的頂點、邊、角有何特點？

【溝通探討】通過同桌溝通，試驗得出下面結(jié)論：

1.隨意放置時，并小確定完全重合，只有當(dāng)把相同的角旋轉(zhuǎn)到一起時才能完全重合.

2.這時它們的三個頂點、三條邊和三個內(nèi)角分別重合了.

3.完全重合說明三條邊對應(yīng)相等，三個內(nèi)角對應(yīng)相等，對應(yīng)頂點在相對應(yīng)的位置.

【老師活動】依據(jù)學(xué)生溝通的狀況，賜予補充和語言上的規(guī)范.

1.概念：把兩個全等的三角形重合到一起，重合的頂點叫做對應(yīng)頂點，重合的邊叫做對應(yīng)邊，重合

的角叫做對應(yīng)角.

2.證兩個三角形全等時，通常把表示對應(yīng)頂點的字母寫在對應(yīng)的位置上，假如本圖11.1-24ABC

和ADBC全等，點A和點D,點B和點B,點C和點C是對應(yīng)頂點，記作△ABCgADBC.

課本圖11.1-1課本圖11.1-2

【問題提出】課本圖11.1—1中，△ABCg/\DEF,對應(yīng)邊有什么關(guān)系？對應(yīng)角呢？

【學(xué)生活動】經(jīng)過視察得到下面性質(zhì)：

1.全等三角形對應(yīng)邊相等；

2.全等三角形對應(yīng)角相等.

二、隨堂練習(xí)，鞏固深化

課本P37練習(xí).

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【探研時空】

1.如圖1所示，△ACF^Z\DBE,NE=NF,若AD=20cm,BC=8cm,你能求出線段AB的長嗎？與同伴溝

通,（AB=6）

圖1圖2

2.如圖2所示，ZXABC經(jīng)△AEC,ZB=30°,ZACB=85°,求出aAEC各內(nèi)角的度數(shù).（/AEC=30。，

ZEAC=65°,NECA=85°）

三、課堂總結(jié)，發(fā)展?jié)撃?/p>

1.什么叫做全等三角形？

2.全等三角形具有哪些性質(zhì)？

四、布置作業(yè)，專題突破

課本P43習(xí)題12.1第1,2,3,4題.

五、板書設(shè)計

把黑板分成左、中、右三部分，左邊板書本節(jié)課概念，中間部分板書“思索”中的問題，右邊部分板

書學(xué)生的練習(xí).

疑難解析

由于兩個三角形的位置關(guān)系不同，在找對應(yīng)邊、對應(yīng)角時，可以針對兩個三角形不同的位置關(guān)系，找

尋對應(yīng)邊、角的規(guī)律：（1）有公共邊的，公共邊確定是對應(yīng)邊；（2）有公共角的，公共角確定是對應(yīng)角；

（3）有對頂角的，對頂角確定是對應(yīng)角：兩個全等三角形中一對最長的邊（或最大的角）是對應(yīng)邊（或

角），一對最短的邊（或最小的隹）是對?應(yīng)邊（或角）

六、教后記

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12.2.1三角形全等的判定(SSS)

教學(xué)內(nèi)容

本節(jié)課主要內(nèi)容是探究三角形全等的條件(555),及利用全等三角形進行證明.

教學(xué)目標(biāo)

1.學(xué)問與技能

了解三角形的穩(wěn)定性，會應(yīng)用“邊邊邊”判定兩個三角形全等.

2.過程與方法

經(jīng)驗探究“邊邊邊”判定全等三角形的過程，解決簡潔的問題.

3.情感、看法與價值觀

培育有條理的思索和表達實力，形成良好的合作意識.

重、難點與關(guān)鍵

1.重點：駕馭“邊邊邊”判定兩個三角形全等的方法.

2.難點：理解證明的基本過程，學(xué)會綜合分析法.

3.關(guān)鍵：駕馭圖形特征，找尋適合條件的兩個三角形.

教具打算

一塊形態(tài)如圖1所示的硬紙片，直尺，圓規(guī).

(1)(2)

教學(xué)方法

采納“操作一試驗”的教學(xué)方法，讓學(xué)生親自動手，形成直觀形象.

教學(xué)過程

一、設(shè)疑求解，操作感知

【老師活動】(出示教具)

問題提出：一塊三角形的玻璃損壞后，只剩下如圖2所示的殘片，你對圖中的殘片作哪些測量，就

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可以割取符合規(guī)格的三角形玻璃，與同伴溝通.

【學(xué)生活動】視察，思索，回答老師的問題.方法如下：可以將圖1的玻璃碎片放在一塊紙板上，然

后用直尺和鉛筆或水筆畫出i塊完整的三角形.如圖2,剪下模板就可去割玻璃了.

【理論認(rèn)知】

假如△ABCgZXA'B'C',那么它們的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等.反之，假如AABC與4A'B'C'

滿足三條邊對應(yīng)相等，三個角對應(yīng)相等，即AB=A'B',BC=BZC',CA=CfAz,ZA=ZAZ,ZB=ZBZ,

ZC=ZCf.

這六個條件，就能保證△ABCgZXA'B'C'，從剛才的實踐我們可以發(fā)覺：只要兩個三角形三條對

應(yīng)邊相等，就可以保證這兩塊三角形全等.

信不信？

【作圖驗證】（用直尺和圓規(guī)）

先隨意畫出一個AABC,再畫一個AA'B'C',使A'B'=AB,B'C'=BC,CA'=CA.把畫出的AA'

BzC'剪下來，放在AABC上，它們能完全重合嗎？（即全等嗎）

【學(xué)生活動】拿出直尺和圓規(guī)按上面的要求作圖，并驗證.（如課本圖11.2-2所示）

畫一個AA'B'C,使A'B'=AB',A'C=AC,B'C'=BC：

I.畫線段取B'Cf=BC；

2.分別以B'、Cz為圓心，線段AB、AC為半徑畫弧，兩弧交于點A'；

3.連接線段A'B'、A'C'.

【老師活動】巡察、指導(dǎo)，引入課題：“上述的生活實例和尺規(guī)作圖的結(jié)果反映了什么規(guī)律？”

【學(xué)生活動】在思索、實踐的基礎(chǔ)上可以歸納出下面判定兩個三角形全等的定理.

（1）判定方法：三邊對應(yīng)相等的兩個三角膨全等（簡寫成“邊邊邊”或“SSS”）.

（2）推斷兩個三角形全等的推理過程，叫做證明三角形全等.

【評析】通過學(xué)生全過程的畫圖、視察、比較、溝通等，逐步探究出最終的結(jié)論一邊邊邊，在這個

過程中，學(xué)生不僅得到了兩個三角形全等的條件，同時增加了數(shù)學(xué)體驗.

二、范例點擊，應(yīng)用所學(xué)

【例1】如課本圖11.2—3所示，^ABC是一個鋼架，AB=AC,AD是連接點A與BC中點D的支架，求

證4ABDgZXACD.（老師板書）

【老師活動】分析例1,分析：要證明△ABDg/XACD,可看這兩個三角形的三條邊是否對應(yīng)相等.

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證明：???D是BC的中點,

，BD二CD

在aABD和△/"口中

AB=AC,

<BD=CD,

AD=AD.

AAABD^AACD（SSS）.

【評析】符號“???”表示“因為”，“???”表示“所以"；從例1可以看出，證明是由題設(shè)（已知）動

身，經(jīng)過一步步的推理，最終推出結(jié)論（求證）正確的過程.書寫中留意對應(yīng)頂點要寫在同一個位置上，

哪個三角形先寫，哪個三角形的邊就先寫.

三、實踐應(yīng)用，合作學(xué)習(xí)

【問題思索】

已知AC=FE.BC=DE,點A、I）、13、F在直線卜,AD=FB（加圖所示）,要用“邊邊邊”訐明AABC^AFDE,

除了已知中的AC=FE,BC二DE以外，還應(yīng)當(dāng)有什么條件？怎樣才能得到這個條件？

【老師活動】提出問題，巡察、引導(dǎo)學(xué)生，并請學(xué)生說說自己的想法.

【學(xué)生活動】先獨立思索后，再發(fā)言：“還應(yīng)當(dāng)有AB=FD,只要AD=FB兩邊都加上DB即可得到AB=FD.”

【教學(xué)形式】先獨立思索，再合作溝通，師生互動.

四、隨堂練習(xí)，鞏固深化

課本P37練習(xí).

【探研時空】

如圖所示，AB=DF,AC=DE,BE=CF,BC與EF相等嗎？你能找到一對全等三角形嗎？說明你的理

五、課堂總結(jié)，發(fā)展?jié)撃?/p>

1.全等三角形性質(zhì)是什么？

2.正確地推斷出全等二角形的對應(yīng)邊、對應(yīng)角，利用全等二角形處埋問題的基礎(chǔ)，你是怎樣駕馭推

第25頁共158頁

斷對應(yīng)邊、對應(yīng)角的方法？

3.“邊邊邊”判定法告知我，‘門什么呢？（答：只要一個三角形三邊長度確定了，則這個三角形的形

態(tài)大小就完全確定了，這就是三角形的穩(wěn)定性）

六、布置作業(yè)，專題突破

1.課本P15習(xí)題11.2第1,2題.

2.選用課時作業(yè)設(shè)計.

七、板書設(shè)計

把黑板平均分成三份，左邊部分板書“邊邊邊”判定法，中間部分板書例題，右邊部分板書練習(xí).

八、教后記

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12.2.2三角形全等判定(SAS)

教學(xué)內(nèi)容

本節(jié)課主要內(nèi)容是探究三角形全等的條件(SAS),及利用全等三角形證明.

教學(xué)目標(biāo)

1.學(xué)問與技能

領(lǐng)悟“邊角邊”判定兩個三角形的方法.

2.過程與方法

經(jīng)驗探究三角形全等的判定方法的過程，學(xué)會解決簡潔的推理問題.

3.情感、看法與價值觀

培育合情推理實力，感悟三角形全等的應(yīng)用價值.

重、難點及關(guān)鍵

1.重點：會用“邊角邊”證明兩個三角形全等.

2.難點：應(yīng)用結(jié)合法的格式表達問題.

3.關(guān)鍵：在實踐、視察中正確選擇判定三角形全等的方法.

教具打算投影儀、直尺、圓規(guī).

教學(xué)方法采納“操作一試驗”的教學(xué)方法，讓學(xué)生有一個直觀的感受.

教學(xué)過程

一、回顧溝通，操作分析

【動手畫圖】

【投影】作一個角等于已知角.

【學(xué)生活動】動手用直尺、圓規(guī)畫圖.

已知：ZAOB.

求作：ZAiOiB1,使NAQiB尸NAOB.

【作法】(I)作射線OIAI；(2)以點O為圓心，以適當(dāng)長為半徑畫弧，交OA?于點C,?交OB于點

D；(3)以點Oi為圓心，以O(shè)C長為半徑畫弧，交OIAI于點G；(4)以點C1為圓心，以CD?長為半徑

畫弧，交前面的弧于點Di；(5)過點DI作射線OIB”NAQIBI就是所求的角.

【導(dǎo)入課題】

第27頁共158頁

老師敘述；請同學(xué)們連接CD、C.Di，回憶作圖過程，分析ACOD和△CQQi?中相等的條件.

【學(xué)生活動】與同伴溝通，發(fā)覺下面的相等量：

OD=O）Di，OLOiG，ZCOD=ZCiOiDi，△COD—