學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精數(shù)學(xué)人教B必修5第二章2。1。2數(shù)列的遞推公式(選學(xué))1．體會遞推公式是數(shù)列的一種表示方法．2．理解遞推公式的含義,能夠根據(jù)遞推公式寫出數(shù)列的前幾項．3．掌握由一些簡單的遞推公式求數(shù)列的通項公式．1．?dāng)?shù)列的遞推公式如果已知數(shù)列的______(或前幾項），且從第二項(或某一項)開始的________與它的前一項________（或前幾項)間的關(guān)系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數(shù)列的______公式．(1)與所有的數(shù)列不一定都有通項公式一樣，并不是所有的數(shù)列都有遞推公式．(2）遞推公式也是給出數(shù)列的一種重要方法．事實上,遞推公式與通項公式一樣,都是關(guān)于n的恒等式，我們可用符合要求的正整數(shù)依次去替換n，從而可以求出數(shù)列的各項．【做一做1】數(shù)列2，4，6,8,10，…的遞推公式是(）．A．a(chǎn)n＝an－1＋2（n≥2)B．a(chǎn)n＝2an－1（n≥2）C．a(chǎn)n＝an－1＋2,a1＝2(n≥2)D．a(chǎn)n＝2an－1，a1＝2（n≥2）2．通項公式與遞推公式的區(qū)別與聯(lián)系區(qū)別聯(lián)系通項公式項an是序號n的函數(shù)式an＝f（n）都是給出數(shù)列的方法，可求出數(shù)列中任意一項遞推公式已知a1（或前幾項)及相鄰項(或相鄰幾項）間的關(guān)系式【做一做2－1】已知在數(shù)列{an}中，a1＝2,an＝an－1＋2（n≥2），則{an}的通項公式是（)．A．3nB．2nC．nD．eq\f（1，2)n【做一做2－2】在數(shù)列{an}中，a1＝1，a2＝2，且an＋1－an＝1＋（－1）n（n≥2），則a10＝________.一、通項公式與遞推公式剖析:遞推公式是:已知數(shù)列{an}的第1項(或前幾項），且從第二項(或某一項)開始的任一項an與它的前一項an－1（或前幾項）間的關(guān)系可以用一個公式來表示,那么這個公式就叫做這個數(shù)列的遞推公式．通項公式是：一個數(shù)列{an｝的第n項an與項數(shù)n之間的關(guān)系，如果可以用一個公式an＝f(n)來表示，我們就把這個公式叫做這個數(shù)列的通項公式．通項公式反映的是項與項數(shù)之間的關(guān)系,而遞推公式反映的是相鄰兩項（或幾項)之間的關(guān)系．對于通項公式，只要將公式中的n依次取值1,2，3，…即可得到相應(yīng)的項；而遞推公式則要已知首項（或前幾項），才可求得其他的項．往往我們要利用各種方法將遞推公式轉(zhuǎn)化為通項公式，通項公式能夠更直接地研究數(shù)列．遞推公式也是給出數(shù)列的一種重要方法，有時并不一定要知道數(shù)列的通項公式，只要知道數(shù)列的遞推公式，即可解決問題，有的遞推公式與通項公式之間也可以進行互化．二、教材中的“？”(1)你能猜想出例1中這個數(shù)列的通項公式嗎？剖析:數(shù)列｛an}的通項公式為an＝eq\f（2,3－2n).（2）你能比較例2中an與an＋1的大小嗎?你能比較an與an＋2的大小嗎?剖析：不能比較an＋1與an的大?。?dāng)n為奇數(shù)時，an＋2＞an；當(dāng)n為偶數(shù)時,an＋2＜an。題型由遞推公式求通項公式【例】已知數(shù)列｛an},a1＝1，an＝an－1＋eq\f(1，nn－1）(n≥2)．(1）寫出數(shù)列｛an｝的前5項；（2)求數(shù)列{an｝的通項公式．分析:(1)中只需利用代入法依次求出a2，a3，a4，a5即可；(2）利用下列關(guān)系式①an＝(an－an－1）＋(an－1－an－2)＋…＋（a3－a2）＋（a2－a1)＋a1;②eq\f(1，nn－1）＝eq\f（1，n－1)－eq\f(1,n）。進行累加與裂項相消即可求出{an}的通項公式．反思：(1)根據(jù)遞推公式寫出數(shù)列的前幾項，要弄清楚公式中各部分的關(guān)系，依次代入計算即可．另外，解答這類問題時還需注意：若知道的是首項，通常將所給公式整理成用前面的項表示后面的項的形式;若知道的是末項,通常將所給公式整理成用后面的項表示前面的項的形式．（2)累加法當(dāng)an－an－1＝f（n)滿足一定條件時,常用an＝（an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1）＋a1累加來求通項公式an.1下列說法錯誤的是（)．A．遞推公式也是數(shù)列的一種表示方法B．a(chǎn)n＝an－1，a1＝1（n≥2）是遞推公式C．給出數(shù)列的方法只有圖象法、列表法、通項公式D．a(chǎn)n＝2an－1，a1＝2（n≥2）是遞推公式2已知數(shù)列{an}的首項a1＝1，且an＝3an－1＋1（n≥2），則a4為(）．A．13B．15C．30D．403已知數(shù)列{an}的第1項是1，第2項是2，以后各項由an＝an－1＋an－2（n＞2）給出，則該數(shù)列的第5項等于（)．A．6B．7C．8D．94一個數(shù)列｛an}的首項a1＝1，a2＝2，從第二項起每一項等于它的前一項的2倍再加上后一項，請寫出構(gòu)成這個數(shù)列的遞推公式an＝________________.5已知數(shù)列{an}滿足eq\f(an＋1＋an－1,an＋1－an＋1)＝n(n為正整數(shù)），且a2＝6,則數(shù)列｛an}的通項公式為an＝________.答案：基礎(chǔ)知識·梳理1．第1項任一項anan－1遞推【做一做1】C【做一做2－1】B【做一做2－2】10由題意，知a10－a9＝1＋(－1)9，a9－a8＝1＋(－1)8，a8－a7＝1＋(－1）7，…，a3－a2＝1＋(－1)2，累加上述各式,可得a10－a2＝8.又因為a2＝2，所以a10＝10。典型例題·領(lǐng)悟【例】解:(1）a1＝1;a2＝a1＋eq\f（1，2×1）＝eq\f(3，2)；a3＝a2＋eq\f（1,3×2)＝eq\f（5，3)；a4＝a3＋eq\f(1，4×3）＝eq\f（7，4);a5＝a4＋eq\f(1，5×4）＝eq\f(9,5).(2)由an＝an－1＋eq\f（1，n（n－1）)，得an－an－1＝eq\f（1,n（n－1)）（n≥2)，∴an＝（an－an－1）＋(an－1－an－2）＋…＋(a3－a2)＋(a2－a1）＋a1＝eq\f（1,n（n－1）)＋eq\f(1,(n－1)（n－2）)＋…＋eq\f（1，3×2)＋eq\f(1,2×1）＋1＝（eq\f(1,n－1)－eq\f（1,n））＋(eq\f（1,n－2）－eq\f（1,n－1）)＋…＋(eq\f(1,2)－eq\f（1,3))＋(1－eq\f（1，2))＋1＝－eq\f（1,n)＋1＋1＝2－eq\f(1，n）＝eq\f(2n－1，n）(n∈N＋）．隨堂練習(xí)·鞏固1．C通過圖象、列表、通項公式我們可以確定一個數(shù)列，另外根據(jù)遞推公式，并且知道數(shù)列的第一項,我們也可以確定數(shù)列，它也是給出數(shù)列的一種方法．a(chǎn)n＝an－1（n≥2）與an＝2an－1（n≥2）,這兩個關(guān)系式雖然比較特殊，但都表示的是數(shù)列中的任意項與它的前后項間的關(guān)系，且都已知a1，所以都是遞推公式．2．D利用遞推式可逐個求出a2，a3,a4。3．C∵a1＝1