無窮級(jí)數(shù)無窮級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)無窮級(jí)數(shù)是研究函數(shù)的工具表示函數(shù)研究性質(zhì)數(shù)值計(jì)算

常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念和性質(zhì)11.1常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念

11.2收斂級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)11.1常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念

引例這是一個(gè)無窮個(gè)數(shù)和的形式，即級(jí)數(shù).定義11.1.1給定一個(gè)數(shù)列將各項(xiàng)即稱上式為無窮級(jí)數(shù)，其中第n項(xiàng)叫做級(jí)數(shù)的一般項(xiàng).依次相加,簡(jiǎn)記為級(jí)數(shù)的前

n項(xiàng)和稱為級(jí)數(shù)的部分和.收斂,則稱并稱S

為級(jí)數(shù)的和,記作定義11.1.2數(shù)列叫做級(jí)數(shù)的部分和數(shù)列.如果數(shù)列有極限S，無窮級(jí)數(shù)如果數(shù)列沒有極限

，則稱無窮級(jí)數(shù)發(fā)散.注顯然級(jí)數(shù)與它的部分和數(shù)列有相同的收斂性.例11.1.1討論等比級(jí)數(shù)(q

稱為公比)的收斂性.

解從而因此級(jí)數(shù)收斂,部分和其和為(1)若從而級(jí)數(shù)發(fā)散.且(2)若因此級(jí)數(shù)發(fā)散;因此n為奇數(shù)n為偶數(shù)從而∴時(shí),時(shí),則級(jí)數(shù)成為不存在,因此級(jí)數(shù)發(fā)散.級(jí)數(shù)收斂;級(jí)數(shù)發(fā)散;例11.1.2

判定級(jí)數(shù)的收斂性:解所以級(jí)數(shù)收斂,其和為1.例2

判定級(jí)數(shù)的收斂性:解所以級(jí)數(shù)發(fā)散.

例11.1.4證明調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散.證明發(fā)散.時(shí)，11.1.2收斂級(jí)數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)1收斂于S,(k為常數(shù))則級(jí)數(shù)也收斂,證明則這說明收斂,注

級(jí)數(shù)各項(xiàng)乘以非零常數(shù)后其斂散性不變.其和為kS.令其和為kS.

若級(jí)數(shù)性質(zhì)2

設(shè)兩個(gè)級(jí)數(shù)與均收斂，則級(jí)數(shù)也收斂,證明則這說明級(jí)數(shù)也收斂,令其和為注(2)若兩級(jí)數(shù)中一個(gè)收斂一個(gè)發(fā)散,則必發(fā)散.但若二級(jí)數(shù)都發(fā)散,不一定發(fā)散.例如,

(1)性質(zhì)2表明收斂級(jí)數(shù)可逐項(xiàng)相加或相減.(用反證法可證)性質(zhì)3在級(jí)數(shù)中去掉、加上或改變有限項(xiàng),級(jí)數(shù)的斂散性.將級(jí)數(shù)的前k項(xiàng)去掉,的部分和為數(shù)斂散性相同.當(dāng)級(jí)數(shù)收斂時(shí),

(但收斂級(jí)數(shù)的和可能會(huì)發(fā)生改變.)極限狀況相同,故新舊兩級(jí)所得新級(jí)數(shù)證明僅證在級(jí)數(shù)前面去掉有限項(xiàng)的情形不會(huì)改變其和的關(guān)系為性質(zhì)4

仍收斂，且其和不變.證明略.收斂級(jí)數(shù)任意加括號(hào)后所成的級(jí)數(shù)例4判定級(jí)數(shù)的收斂性:解發(fā)散,從而原級(jí)數(shù)發(fā)散.考慮加括號(hào)后的級(jí)數(shù)如果級(jí)數(shù)收斂，級(jí)數(shù)收斂的必要非充分條件

則證明

性質(zhì)5

注(1)并非級(jí)數(shù)收斂的充分條件.雖然但此級(jí)數(shù)發(fā)散.例如例如,其一般項(xiàng)為不趨于0,因此這個(gè)級(jí)數(shù)發(fā)散.若級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)不趨于0,(2)則級(jí)數(shù)必發(fā)散.內(nèi)容小結(jié)1常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念

則稱級(jí)數(shù)收斂.2收斂級(jí)數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)1性質(zhì)2性質(zhì)3性質(zhì)43級(jí)數(shù)收斂的必要條件4等比級(jí)數(shù)的收斂性：時(shí)