線性方程組教學要求：掌握矩陣的運算,掌握初等行變換及其應用（求逆矩陣、矩陣的秩、以及求解方程組的解）.掌握向量的線性組合與線性表出的方法、求向量組的秩和矩陣的秩的方法、用矩陣初等行變換方法判斷齊次與非齊次線性方程組解的情況、齊次線性方程組基礎解和通解的求法、求非齊次線性方程組通解的方法.矩陣是什么？矩陣的應用如何？矩陣（數(shù)表）研究線性方程組矩陣及其運算地基毛坯室外室內(nèi)5%/天5%/天5%/天5%/天100元/天80元/天150元/天70元/天1組2組地基105毛坯2010室外57室內(nèi)53工程決算由m

n個數(shù)排m成n行列，并括

以方括號（或圓或?。┑臄?shù)表行列稱m行n列矩陣.記為：A=[aij]m

n或A矩陣定義Am×nm=1

A1×n

行矩陣n=1

Am×1

列矩陣元素全為零0

零矩陣n=mAn×n

方陣主對角線下方

的元素全為零上三角

矩陣主對角線上方

的元素全為零下三角

矩陣主對角線上的元

素全為1，其余的

元素全為零I

單位矩陣|A|矩陣的行列式線性方程組應用應用其他···特殊矩陣

若兩個矩陣A=[aij]s×p,B=[bij]r×q,

且滿足：s=r,p=q,

aij=bij,i,j=1,2,···,s;j=1,2,···,p,

則A=B相等運算解：由矩陣相等的定義

x=3,y=-2,z=2已知A=B,其中求x,y,z的值例題（矩陣相等）

設記為都是矩陣，矩陣為A與B的和。則稱其中矩陣加法

設有矩陣A=(aij)m

n,C=kA

cij=(kaij),i=1,2,3,

,m,j=1,2,3,

,n數(shù)乘矩陣設有矩陣A=(aij)m

n,B=(bij)m

n,

C=(cij)m

n，

(1)(A+B)+C=A+(B+C)

(2)A+B=B+A

(3)A+0=0+A=A

(4)A+(-A)=(-A)+A=0

(5)k(A+B)=kA+kB,(k+l)A=kA+lA

(6)(kl)A=k(lA),1A=A性質(zhì)1

設有矩陣A=(aij)mn,B=(bij)n

l,

則C=AB=(cij)ml

,其中

cij=ai1b1j+ai2b2j+···+ainbnj說明:(1)左矩陣A的列數(shù)等于右矩陣B行數(shù);

(2)cij為左矩陣A的第i行的元素與右矩陣B的第j列對應元素的乘積的和。矩陣的乘法矩陣的乘法一般不滿足交換律！不滿足交換律(1)(AB)C=A(BC)結(jié)合律

(2)A(B+C)=AB+AC

左分配律

(B+C)A=BA+CA

右分配律

(3)k(AB)=(kA)B對稱矩陣的乘積矩陣不一定是對稱矩陣性質(zhì)2當且一般推不出

時矩陣的乘法一般不滿足消去律！若AB=0,不能得出A=0或B=0若A為n階方陣，則AkAl=Ak+l不滿足消去律特殊的對角矩陣----數(shù)量矩陣數(shù)量矩陣行換成列--矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣的轉(zhuǎn)置(1)(A+B)T=AT+BT

(2)(kA)T=kAT

(3)(AB)T=BTAT

(4)(AT)T=A性質(zhì)3矩陣的初等行變換是指：（1）將矩陣的兩行對換位置（2）將矩陣的某一行遍乘一個非零常數(shù)k（3）將矩陣的某一行遍乘一個非零常數(shù)k加到另一行任何可逆矩陣均能經(jīng)過初等行變換化為單位矩陣矩陣的初等行變換

第1、2行

交換位置第1行乘2

加到第2行第3行加

到第2行例題例用矩陣的初等行變換求矩陣的秩矩陣A矩陣的初等行變換階梯矩陣秩(A)=非零行行數(shù)求矩陣的秩若AB=BA=I,則稱矩陣A與B互逆。記為：A-1=B或B-1=A方陣A可逆的充分必要條件為A非奇異,即|A|

0,且A-1=|A|-1A*矩陣的逆例題（存在性）（1）(A-1)-1=A

（2）(kA)-1=k-1A-1

（3）(AB)-1=B-1A-1

（4）(AT)-1=(A-1)T

（5）設A、B為n方陣，若AB=I,

則A與B都可逆,且A-1=B,B-1=A性質(zhì)4例用矩陣的初等行變換求可逆矩陣的逆矩陣求逆矩陣方法作矩陣矩陣初等行變換Aij是A中去掉aij所在行所在列的元素剩下的元素按照原來的排列順序組成的n-1階行列式伴隨矩陣設問：當a、b、c、d滿足什么條件時，矩陣A可逆？當矩陣A可逆時，求A-1答案例題例設對角矩陣A=diag[abcd]，判別A是否可逆？當A可逆時，求A-1答案若A-1=AT,則稱A為正交矩陣如若A為正交矩陣，則

AAT=ATA=I

AA-1=A-1A=I

|A|=1或-1正交矩陣

線性方程組高斯消元法基礎解系解法設AX=0(秩(A)=r)的基礎解系為X1,X2,···Xn-r,

AX=B的特解為X0,則AX=B的全部解為

X=X0+k1X1+k2

X2+···+kn-r

Xn-r線性方程組則矩陣方程高斯消元法高斯消元法其中CHIr解：

×(-1)+

×(-2)+

×(-1)+×(-1)+x3為自由未知量例1解非齊次線性方程組因x3為自由未知量，所以x3可取k用基礎解系表示解解×(-3)+

×(-1)+

×(-2)+

×(-1)+

×(-1)+

(,)×(-1)+例2解齊次線性方程組×(1/2)

×(-2)+k1

、k2

為任意常數(shù)（1）對增廣矩陣[A|B](而不是系數(shù)矩陣A）進行初等行變換后的矩陣不能與前面的矩陣寫等號“=”，而只能寫箭頭“”；（2）最后的矩陣一定要化成階梯矩陣或行簡化階梯矩陣；（3）不要認為方程個數(shù)小于（大于）未知量個數(shù)的線性方程組一定有解（無解）用消元法解線性方程組應注意的問題：

n維向量:=(a1,a2,…,an)T線性組合：線性相關(guān)n維向量線性相關(guān)線性無關(guān)等價定義

（2）向量組（1）含有零向量的向量組必線性相關(guān)。組線性無關(guān)則向量若齊次線性方程組線性相關(guān)若齊次線性方程組有非零解，則向量組只有零解，結(jié)論（3）向量組（4）若n維向量的向量組中向量的個數(shù)超過n，則該向量組一定線性相關(guān)。設矩陣若則向量組線性無關(guān)若則向量組線性相關(guān)列向量（4）若n維向量的向量組中向量的個數(shù)超過n，則該向量組一定線性相關(guān)。（5）若向量組的一個部分組線性相關(guān)則整個向量組線性相關(guān)（6）向量組線性無關(guān)則向量組的一個部分組線性無關(guān)線性相關(guān)不全為0（1）線性無關(guān)單位向量例判斷向量組的相關(guān)性證明：設即所以，向量組e1,e2,e3,e4線性無關(guān)

易證明任意一個四維向量均可由向量組e1,e2,e3,e4線性表出同樣n維單位向量組e1,e2,e3,···,en線性無關(guān)

易證明任意一個n維向量均可由向量組e1,e2,e3,···,en線性表出(2)解：作矩陣每一個向量作成一列+可化為單位矩陣因為r=3=s,所以線性無關(guān)

極大無關(guān)組：若向量組S中的部分向量組S0滿足:S0線性無關(guān)；S中的每一個向量都是S0中向量的線性組合。則稱部分向量組為向量組的極大無關(guān)組.

性質(zhì)：對于一個向量組，其所有極大無關(guān)組所含向量的個數(shù)都相同。向量組中每一個向量由極大無關(guān)組向量線性表出的表達式是唯一的。向量組的秩：對于向量組S，其極大無關(guān)組所含向量個數(shù)稱為向量組S的秩。用矩陣求向量組秩的方法：把向量作為矩陣的列構(gòu)成一個矩陣，用初等變換將其化為階梯陣，則非零行的數(shù)目即為向量組的秩，主元所在列對應的原來向量組即為極大無關(guān)組。極大無關(guān)組與向量組的秩例設向量組求向量組的秩及其一個極大無關(guān)組解作矩陣A初等行變換階梯矩陣

1

，

2

，

4

為其中的一個極大無關(guān)組秩（

1

2

3

4

5）=3結(jié)論：（1）矩陣A的秩=矩陣A列向量組的秩=矩陣A行向量組的秩。（2）向量組中每一個向量由其極大無關(guān)組向量線性表出的表達式是唯一確定的。1.線性方程組的相容性AX=B

(A

0)有解

r(A)=r([A|B])r(A)=n

唯一解r(A)<n

無窮多解無解

r(A)r([A|B])AX=0只有零解

r(A)=n(m=n,|A|0)非零解

r(A)<n(m=n,|A|=0)線性方程組的相容性和解的結(jié)構(gòu)②若齊次線性方程組AX=0的解向量組X1，X2

，X3，

，Xs

是AX=0的所有解向量組的一個極大無關(guān)組（基礎解系），則齊次線性方程組AX=0的全部解為：k1X1+k2X2+···+ksXs①若X1和X2為齊次線性方程組AX=0的解，則k1X1+k2X2也是AX=0的解。③當A為m

n矩陣，秩(A)=r時，方程組AX=0的每一個基礎解系含有n-r個解向量。若X1,X2,X3,,Xn-r為AX=0的一個基礎解系，則AX=0的全部解為：k1X1+k2X2+···+kn-rXn-r齊次線性方程組AX=0有解的性質(zhì)第一步，寫出系數(shù)矩陣A；

第二步，對系數(shù)矩陣A施行初等行變換化為階梯矩陣（行簡化階梯矩陣）；

第三步，寫出同解方程組的一般解；

第四步，分別令自由元中一個為１其余為０的辦法，求得n-r個解向量____基礎解系。求齊次線性方程組AX=0基礎解系方法

設X0是非齊次線性方程組AX=B的一個解,X1,X2,X3,,Xn-r為相應的齊次線性方程組AX=0的一個基礎解系，則AX=B的通解為:

X0+k1X1+k2X2+···+kn-rXn-rK1,

k2,

···,kn-r為任意常數(shù)。非齊次線性方程組AX=B解的性質(zhì)問

，

為何值時，方程組無解？有唯一解？有無窮多解？例題1（無解、唯一解、無窮多解判別）解+

×(-2)++r(A)=2當=5時3當5時r([A|B])=2當=5且=-3時3其他當=5而-3時，方程組無解當5時，方程組有唯一解當=5而=-3時，方程組有無窮多解設齊次線性方程組求其基礎解系和通解例題2（求基礎解系和通解）解系數(shù)矩陣A×2+

+

×(-3)+各個元素要準確！×(-2)+×(-1)+×(-1/5)階梯矩陣×3+行簡化階梯矩陣單位矩陣對應的線性方程組為一般解x3,x4,x5為自由元令(

x3,x4,x5)=(5,0,0),得X1=(-4,7,5,0,0)T令(

x3,x4,x5)=(0,5,0),得X2=(1,-3,0,5,0)T令(

x3,x4,x5)=(0,0,5),得X3=(-11,-2,0,0,5)T這樣令主要是使基礎解系中得解向量為整數(shù)型該齊次線性方程組的一個基礎解系為X1=(-4,7,5,0,0)T

X2=(1,-3,0,5,0)T

X3=(-11,-2,0,0,5)T全部解為X=k1X1+k2X2+k3X3=k1(-4,7,5,0,0)T+k2(1,-3,0,5,0)T+k3(-11,-2,0,0,5)Tk1,k2,k3為任意常數(shù)設非齊次線性方程組當a,b為何值時方程組無解？有唯一解？有無窮多解？有解時，求其解。此方程組稱含參數(shù)的線性方程組例題3（含參數(shù)的線性方程組求解問題）解增廣矩陣[A|B](,)×(-a)+

×(-1)+(,)×(ab-1)/b

+(b0)(1)若b0,a=1且4b-2ab-10時,即b0,b1/2,a=1時,r(A)r([A|B]),方程組無解當b=0時,原方程組中第2,3方程矛盾,方程組無解(2)若b0,a1時,r(A)=r([A|B])=3=n,方程組有唯一解，且解為(3)若b0,a=1且4b-2ab-1=0時,即a=1,b=1/2時，r(A)=r([A|B])=2<3=n,方程組有無窮多解，這時通解為X=(2,2,0)T+k(-1,0,1)T(k為任意常數(shù))

為何值時，下列非齊次線性方程組有解？有解時求出它的通解例題4（含參數(shù)的線性方程組求解問題）解（1）增廣矩陣[A|B]

當=0時，線性方程組有解，一般解為x3,x4

為自由元令(x3,x4)=(0,0)得X0=(3/5,1/5,0,0)T（2）對應得齊次線性方程組的同解線性方程組為取消非齊次線性方程組的一般解中的常數(shù)項得到x3,x4

為自由元令(x3,x4)=(5,0)得X1=(-7,1,5,0)T令(x3