PAGE2-第4講直線、平面平行的判定及性質(zhì)基礎(chǔ)學(xué)問整合1．直線與平面平行(1)判定定理文字語言圖形語言符號語言判定定理平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行?a∥α(2)性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號語言性質(zhì)定理一條直線與一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行?a∥b2．平面與平面平行(1)判定定理文字語言圖形語言符號語言判定定理一個平面內(nèi)的兩條eq\x(\s\up1(07))相交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行(簡記為“線面平行?面面平行”)?α∥β(2)性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號語言性質(zhì)定理假如兩個平行平面同時和第三個平面eq\x(\s\up1(13))相交，那么它們的eq\x(\s\up1(14))交線平行?a∥b

1．垂直于同一條直線的兩個平面平行，即若a⊥α，a⊥β，則α∥β.2．垂直于同一個平面的兩條直線平行，即若a⊥α，b⊥α，則a∥b.3．平行于同一個平面的兩個平面平行，即若α∥β，β∥γ，則α∥γ.4．兩個平面平行，其中一個平面內(nèi)的隨意一條直線平行于另一個平面．5．夾在兩個平行平面之間的平行線段長度相等．6．經(jīng)過平面外一點有且只有一個平面與已知平面平行．7．兩條直線被三個平行平面所截，截得的對應(yīng)線段成比例．8．假如一個平面內(nèi)有兩條相交直線分別平行于另一個平面內(nèi)的兩條直線，那么這兩個平面平行．1．已知直線l和平面α，若l∥α，P∈α，則過點P且平行于l的直線()A．只有一條，不在平面α內(nèi)B．只有一條，且在平面α內(nèi)C．有多數(shù)條，肯定在平面α內(nèi)D．有多數(shù)條，不肯定在平面α內(nèi)答案B解析過直線外一點作該直線的平行線有且只有一條，因為點P在平面α內(nèi)，所以這條直線也應(yīng)當(dāng)在平面α內(nèi)．2．(2024·全國卷Ⅱ)設(shè)α，β為兩個平面，則α∥β的充要條件是()A．α內(nèi)有多數(shù)條直線與β平行B．α內(nèi)有兩條相交直線與β平行C．α，β平行于同一條直線D．α，β垂直于同一平面答案B解析若α∥β，則α內(nèi)有多數(shù)條直線與β平行，反之不成立；若α，β平行于同一條直線，則α與β可以平行也可以相交；若α，β垂直于同一平面，則α與β可以平行也可以相交，故A，C，D均不是充要條件．依據(jù)平面與平面平行的判定定理知，若一個平面內(nèi)有兩條相交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行，反之也成立．因此B中的條件是α∥β的充要條件．故選B.3．如圖，在下列四個正方體中，A，B為正方體的兩個頂點，M，N，Q為所在棱的中點，則在這四個正方體中，直線AB與平面MNQ不平行的是()答案A解析A項，作如圖①所示的協(xié)助線，其中D為BC的中點，則QD∥AB.∵QD∩平面MNQ＝Q，∴QD與平面MNQ相交，∴直線AB與平面MNQ相交．B項，作如圖②所示的協(xié)助線，則AB∥CD，CD∥MQ，∴AB∥MQ.又AB?平面MNQ，MQ?平面MNQ，∴AB∥平面MNQ.C項，作如圖③所示的協(xié)助線，則AB∥CD，CD∥MQ，∴AB∥MQ.又AB?平面MNQ，MQ?平面MNQ，∴AB∥平面MNQ.D項，作如圖④所示的協(xié)助線，則AB∥CD，CD∥NQ，∴AB∥NQ.又AB?平面MNQ，NQ?平面MNQ，∴AB∥平面MNQ.故選A.4．如圖所示，P為矩形ABCD所在平面外一點，矩形對角線的交點為O，M為PB的中點，給出下列五個結(jié)論：①PD∥平面AMC；②OM∥平面PCD；③OM∥平面PDA；④OM∥平面PBA；⑤OM∥平面PBC.其中正確的個數(shù)是()A．1 B．2C．3 D．4答案C解析因為矩形ABCD的對角線AC與BD交于點O，所以O(shè)為BD的中點．在△PBD中，因為M為PB的中點，所以O(shè)M為△PBD的中位線，OM∥PD，所以PD∥平面AMC，OM∥平面PCD，且OM∥平面PDA.因為M∈PB，所以O(shè)M與平面PBA，平面PBC相交．5．如圖，平面α∥平面β，△PAB所在的平面與α，β分別交于CD，AB，若PC＝2，CA＝3，CD＝1，則AB＝________.答案eq\f(5,2)解析∵平面α∥平面β，∴CD∥AB，∴eq\f(PC,PA)＝eq\f(CD,AB)，∴AB＝eq\f(PA·CD,PC)＝eq\f(5×1,2)＝eq\f(5,2).6．已知下列命題：①若直線與平面有兩個公共點，則直線在平面內(nèi)；②若直線l上有多數(shù)個點不在平面α內(nèi)，則l∥α；③若直線l與平面α相交，則l與平面α內(nèi)的隨意直線都是異面直線；④假如兩條異面直線中的一條與一個平面平行，則另一條直線肯定與該平面相交；⑤若直線l與平面α平行，則l與平面α內(nèi)的直線平行或異面；⑥若平面α∥平面β，直線a?α，直線b?β，則a∥b.上述命題正確的是________．答案①⑤解析①若直線與平面有兩個公共點，由公理1可得直線在平面內(nèi)，故①正確；②若直線l上有多數(shù)個點不在平面α內(nèi)，則l∥α或l與α相交，故②錯誤；③若直線l與平面α相交，則l與平面α內(nèi)的隨意直線可能是異面直線或相交直線，故③錯誤；④假如兩條異面直線中的一條與一個平面平行，則另一條直線可能與該平面平行或相交或在平面內(nèi)，故④錯誤；⑤若直線l與平面α平行，則l與平面α內(nèi)的直線無公共點，即平行或異面，故⑤正確；⑥若平面α∥平面β，直線a?α，直線b?β，則a∥b或a，b異面，故⑥錯誤．核心考向突破考向一有關(guān)平行關(guān)系的推斷例1(1)(2024·福建廈門其次次質(zhì)量檢查)如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N，P分別是C1D1，BC，A1D1的中點，則下列命題正確的是()A．MN∥APB．MN∥BD1C．MN∥平面BB1D1DD．MN∥平面BDP答案C解析取B1C1的中點為Q，連接MQ，NQ，由三角形中位線定理，得MQ∥B1D1，∴MQ∥平面BB1D1D，由四邊形BB1QN為平行四邊形，得NQ∥BB1，∴NQ∥平面BB1D1D，∴平面MNQ∥平面BB1D1D，又MN?平面MNQ，∴MN∥平面BB1D1D(2)(2024·廣東揭陽期末)已知兩條不同的直線a，b，兩個不同的平面α，β，有如下命題：①若a∥α，b?α，則a∥b；②若a∥α，b∥α，則a∥b；③若α∥β，a?α，則a∥β；④若α∥β，a?α，b?β，則a∥b.以上命題正確的個數(shù)為()A．3 B．2C．1 D．0答案C解析若a∥α，b?α，則a與b平行或異面，故①錯誤；若a∥α，b∥α，則a與b平行、相交或異面，故②錯誤；若α∥β，a?α，則a與β沒有公共點，即a∥β，故③正確；若α∥β，a?α，b?β，則a與b無公共點，得a，b平行或異面，故④錯誤．∴正確的個數(shù)為1.故選C.解決有關(guān)線面平行、面面平行的基本問題的留意點(1)判定定理與性質(zhì)定理中易忽視的條件，如線面平行的判定定理中，條件“線在面外”易忽視．(2)結(jié)合題意構(gòu)造或繪制圖形，結(jié)合圖形作出推斷．(3)舉反例否定結(jié)論或用反證法推斷命題是否正確．[即時訓(xùn)練]1.(2024·安徽江南十校綜合素養(yǎng)檢測)如圖所示，正方體ABCD－A1B1C1D1中，點E，F(xiàn)，G，P，Q分別為棱AB，C1D1，D1A1，D1D，C1A．直線BQ∥平面EFGB．直線A1B∥平面EFGC．平面APC∥平面EFGD．平面A1BQ∥平面EFG答案B解析過點E，F(xiàn)，G的截面如圖所示(其中H，I分別為AA1，BC的中點)．∵A1B∥HE，A1B?平面EFG，HE?平面EFG，∴A1B∥平面EFG，故選B.2．(2024·湖南聯(lián)考)已知m，n是兩條不同的直線，α，β，γ是三個不同的平面，下列命題中正確的是()A．若m∥α，n∥α，則m∥nB．若m∥α，m∥β，則α∥βC．若α⊥γ，β⊥γ，則α∥βD．若m⊥α，n⊥α，則m∥n答案D解析A中，兩直線可能平行、相交或異面；B中，兩平面可能平行或相交；C中，兩平面可能平行或相交；D中，由線面垂直的性質(zhì)定理可知結(jié)論正確，故選D.精準(zhǔn)設(shè)計考向，多角度探究突破考向二直線與平面平行的判定與性質(zhì)角度1用線線平行證明線面平行例2(1)(2024·豫東名校聯(lián)考)如圖，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，E為線段AD上的隨意一點(不包括A，D兩點)，平面CEC1與平面BB1D交于FG.證明：FG∥平面AA1B1B.證明在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，因為BB1∥CC1，BB1?平面BB1D，CC1?平面BB1D所以CC1∥平面BB1D.又因為CC1?平面CEC1，平面CEC1與平面BB1D交于FG，所以CC1∥FG.因為BB1∥CC1，所以BB1∥FG.而BB1?平面AA1B1B，F(xiàn)G?平面AA1B1B，所以FG∥平面AA1B1B.(2)(2024·山東日照模擬)如圖，在三棱臺DEF－ABC中，AB＝2DE，G，H分別為AC，BC的中點．求證：BD∥平面FGH.證明證法一：連接DG，CD，設(shè)CD∩GF＝M，連接MH.在三棱臺DEF－ABC中，由AB＝2DE，G為AC的中點，可得DF∥GC，DF＝GC，所以四邊形DFCG為平行四邊形，則M為CD的中點，又因為H為BC的中點，所以HM∥BD.因為HM?平面FGH，BD?平面FGH，所以BD∥平面FGH.證法二：在三棱臺DEF－ABC中，由BC＝2EF，H為BC的中點，可得BH∥EF，BH＝EF，所以四邊形HBEF為平行四邊形，BE∥HF.在△ABC中，因為G為AC的中點，H為BC的中點，所以GH∥AB.又因為GH∩HF＝H，所以平面FGH∥平面ABED.因為BD?平面ABED，所以BD∥平面FGH.角度eq\o(\s\up7(),\s\do5(2))用線面平行證明線線平行例3如圖所示，四邊形ABCD是平行四邊形，點P是平面ABCD外一點，M是PC的中點，在DM上取一點G，過G和AP作平面交平面BDM于GH.求證：AP∥GH.證明如圖所示，連接AC交BD于點O，連接MO，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴O是AC的中點，又M是PC的中點，∴AP∥OM.又MO?平面BMD，PA?平面BMD，∴PA∥平面BMD.∵平面PAHG∩平面BMD＝GH，且PA?平面PAHG，∴PA∥GH.1．推斷或證明線面平行的常用方法(1)利用線面平行的定義(無公共點)．(2)利用線面平行的判定定理(a?α，b?α，a∥b?a∥α)．(3)利用面面平行的性質(zhì)(α∥β，a?α?a∥β)．(4)利用面面平行的性質(zhì)(α∥β，a?α，a?β，a∥α?a∥β)．2．證明線線平行的3種方法(1)利用平行公理(a∥b，b∥c?a∥c)．(2)利用線面平行的性質(zhì)定理(a∥α，a?β，α∩β＝b?a∥b)．(3)利用面面平行的性質(zhì)定理(α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?a∥b)．[即時訓(xùn)練]3．如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，PA＝3，F(xiàn)是棱PA上的一個動點，E為PD的中點，O為AC的中點．(1)求證：OE∥平面PAB；(2)若AF＝1，求證：CE∥平面BDF.證明(1)因為四邊形ABCD為菱形，O為AC的中點，所以O(shè)為BD的中點，又因為E為PD的中點，所以O(shè)E∥PB.因為OE?平面PAB，PB?平面PAB，所以O(shè)E∥平面PAB.(2)過E作EG∥FD交AP于點G，連接CG，F(xiàn)O.因為EG∥FD，EG?平面BDF，F(xiàn)D?平面BDF.所以EG∥平面BDF.因為E為PD的中點，EG∥FD，所以G為PF的中點，因為AF＝1，PA＝3，所以F為AG的中點，又因為O為AC的中點，所以O(shè)F∥CG.因為CG?平面BDF，OF?平面BDF，所以CG∥平面BDF.因為EG∩CG＝G，EG?平面CGE，CG?平面CGE，所以平面CGE∥平面BDF，又因為CE?平面CGE，所以CE∥平面BDF.考向三面面平行的判定與性質(zhì)例4如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，AC，A1B1，A1C1(1)B，C，H，G四點共面；(2)平面EFA1∥平面BCHG.證明(1)因為GH是△A1B1C1的中位線，所以GH∥B1C又因為B1C1∥BC所以GH∥BC，所以B，C，H，G四點共面．(2)因為E，F(xiàn)分別為AB，AC的中點，所以EF∥BC.因為EF?平面BCHG，BC?平面BCHG，所以EF∥平面BCHG.因為A1G與EB所以四邊形A1EBG是平行四邊形．所以A1E∥GB.因為A1E?平面BCHG，GB?平面BCHG.所以A1E∥平面BCHG.因為A1E∩EF＝E，所以平面EFA1∥平面BCHG.證明面面平行的方法(1)面面平行的定義．(2)面面平行的判定定理：一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行．(3)利用垂直于同一條直線的兩個平面平行．(4)假如兩個平面同時平行于第三個平面，那么這兩個平面平行．(5)利用“線線平行”“線面平行”“面面平行”的相互轉(zhuǎn)化．[即時訓(xùn)練]4.如圖，在四棱錐P－ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD＝60°，PA⊥平面ABCD，PA＝2，AB＝1.設(shè)M，N分別為PD，AD的中點．(1)求證：平面CMN∥平面PAB；(2)求三棱錐P－ABM的體積．解(1)證明：∵M(jìn)，N分別為PD，AD的中點，∴MN∥PA，又MN?平面PAB