保定市重點(diǎn)中學(xué)2025屆高三壓軸卷數(shù)學(xué)試卷請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．設(shè)函數(shù)若關(guān)于的方程有四個(gè)實(shí)數(shù)解，其中，則的取值范圍是（）A． B． C． D．2．設(shè)，則“”是“”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件3．如圖，中，點(diǎn)D在BC上，，將沿AD旋轉(zhuǎn)得到三棱錐，分別記，與平面ADC所成角為，，則，的大小關(guān)系是（）A． B．C．，兩種情況都存在 D．存在某一位置使得4．某幾何體的三視圖如圖所示，三視圖是腰長為1的等腰直角三角形和邊長為1的正方形，則該幾何體中最長的棱長為（）．A． B． C．1 D．5．已知是虛數(shù)單位，則（）A． B． C． D．6．在的展開式中，的系數(shù)為()A．-120 B．120 C．-15 D．157．已知復(fù)數(shù)z＝（1+2i）（1+ai）（a∈R），若z∈R，則實(shí)數(shù)a＝（）A． B． C．2 D．﹣28．某大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院的薛教授在2019年人工智能方向招收了6名研究生.薛教授欲從人工智能領(lǐng)域的語音識別、人臉識別，數(shù)據(jù)分析、機(jī)器學(xué)習(xí)、服務(wù)器開發(fā)五個(gè)方向展開研究，且每個(gè)方向均有研究生學(xué)習(xí)，其中劉澤同學(xué)學(xué)習(xí)人臉識別，則這6名研究生不同的分配方向共有（）A．480種 B．360種 C．240種 D．120種9．是邊長為的等邊三角形，、分別為、的中點(diǎn)，沿把折起，使點(diǎn)翻折到點(diǎn)的位置，連接、，當(dāng)四棱錐的外接球的表面積最小時(shí)，四棱錐的體積為（）A． B． C． D．10．函數(shù)的定義域?yàn)?，集合，則（）A． B． C． D．11．已知函數(shù)且，則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A． B． C． D．12．根據(jù)黨中央關(guān)于“精準(zhǔn)”脫貧的要求，我市某農(nóng)業(yè)經(jīng)濟(jì)部門派四位專家對三個(gè)縣區(qū)進(jìn)行調(diào)研，每個(gè)縣區(qū)至少派一位專家，則甲，乙兩位專家派遣至同一縣區(qū)的概率為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知，，，且，則的最小值為___________．14．已知函數(shù)，（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)），若關(guān)于x的方程恰有5個(gè)相異的實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________.15．動點(diǎn)到直線的距離和他到點(diǎn)距離相等，直線過且交點(diǎn)的軌跡于兩點(diǎn)，則以為直徑的圓必過_________.16．已知，為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，雙曲線的漸近線上存在點(diǎn)滿足，則的最大值為________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）為了打好脫貧攻堅(jiān)戰(zhàn)，某貧困縣農(nóng)科院針對玉米種植情況進(jìn)行調(diào)研，力爭有效地改良玉米品種，為農(nóng)民提供技術(shù)支援，現(xiàn)對已選出的一組玉米的莖高進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，獲得莖葉圖如圖（單位：厘米），設(shè)莖高大于或等于180厘米的玉米為高莖玉米，否則為矮莖玉米．（1）求出易倒伏玉米莖高的中位數(shù)；（2）根據(jù)莖葉圖的數(shù)據(jù)，完成下面的列聯(lián)表：抗倒伏易倒伏矮莖高莖（3）根據(jù)（2）中的列聯(lián)表，是否可以在犯錯(cuò)誤的概率不超過1%的前提下，認(rèn)為抗倒伏與玉米矮莖有關(guān)？附：，0.0500.0100.0013.8416.63510.82818．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，并在兩坐標(biāo)系中取相同的長度單位．已知曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ＝2cosθ，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)，α為直線的傾斜角)．(1)寫出直線l的普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程；(2)若直線l與曲線C有唯一的公共點(diǎn)，求角α的大?。?9．（12分）在△ABC中，角所對的邊分別為向量，向量，且.（1）求角的大小；（2）求的最大值.20．（12分）已知函數(shù)，.（Ⅰ）判斷函數(shù)在區(qū)間上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并證明；（Ⅱ）函數(shù)在區(qū)間上的極值點(diǎn)從小到大分別為，，證明：21．（12分）在中，，，.求邊上的高.①，②，③，這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在上面問題中并作答.22．（10分）設(shè)數(shù)列是等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為，且，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）證明：.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】

畫出函數(shù)圖像，根據(jù)圖像知：，，，計(jì)算得到答案.【詳解】，畫出函數(shù)圖像，如圖所示：根據(jù)圖像知：，，故，且.故.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)零點(diǎn)問題，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力，畫出圖像是解題的關(guān)鍵.2、C【解析】

根據(jù)充分條件和必要條件的定義結(jié)合對數(shù)的運(yùn)算進(jìn)行判斷即可．【詳解】∵a，b∈（1，+∞），∴a＞b?logab＜1，logab＜1?a＞b，∴a＞b是logab＜1的充分必要條件，故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，根據(jù)不等式的解法是解決本題的關(guān)鍵．3、A【解析】

根據(jù)題意作出垂線段，表示出所要求得、角，分別表示出其正弦值進(jìn)行比較大小，從而判斷出角的大小，即可得答案．【詳解】由題可得過點(diǎn)作交于點(diǎn)，過作的垂線，垂足為，則易得，．設(shè)，則有，，，可得，．，，；，；，，，．綜上可得，．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查空間直線與平面所成的角的大小關(guān)系，考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平．4、B【解析】

首先由三視圖還原幾何體，進(jìn)一步求出幾何體的棱長．【詳解】解：根據(jù)三視圖還原幾何體如圖所示，所以，該四棱錐體的最長的棱長為．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查由三視圖還原幾何體，考查運(yùn)算能力和推理能力，屬于基礎(chǔ)題．5、B【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算法則，直接計(jì)算，即可得出結(jié)果.【詳解】.故選B【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的乘法，熟記運(yùn)算法則即可，屬于基礎(chǔ)題型.6、C【解析】

寫出展開式的通項(xiàng)公式，令，即，則可求系數(shù)．【詳解】的展開式的通項(xiàng)公式為，令，即時(shí)，系數(shù)為．故選C【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式展開的通項(xiàng)公式，屬基礎(chǔ)題．7、D【解析】

化簡z＝（1+2i）（1+ai）=，再根據(jù)z∈R求解.【詳解】因?yàn)閦＝（1+2i）（1+ai）=，又因?yàn)閦∈R，所以，解得a＝-2.故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算及概念，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.8、B【解析】

將人臉識別方向的人數(shù)分成：有人、有人兩種情況進(jìn)行分類討論，結(jié)合捆綁計(jì)算出不同的分配方法數(shù).【詳解】當(dāng)人臉識別方向有2人時(shí)，有種，當(dāng)人臉識別方向有1人時(shí)，有種，∴共有360種.故選：B【點(diǎn)睛】本小題主要考查簡單排列組合問題，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，屬于基礎(chǔ)題.9、D【解析】

首先由題意得，當(dāng)梯形的外接圓圓心為四棱錐的外接球球心時(shí)，外接球的半徑最小，通過圖形發(fā)現(xiàn)，的中點(diǎn)即為梯形的外接圓圓心，也即四棱錐的外接球球心，則可得到，進(jìn)而可根據(jù)四棱錐的體積公式求出體積.【詳解】如圖，四邊形為等腰梯形，則其必有外接圓，設(shè)為梯形的外接圓圓心，當(dāng)也為四棱錐的外接球球心時(shí)，外接球的半徑最小，也就使得外接球的表面積最小，過作的垂線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，點(diǎn)必在上，、分別為、的中點(diǎn)，則必有，，即為直角三角形.對于等腰梯形，如圖：因?yàn)槭堑冗吶切危?、、分別為、、的中點(diǎn)，必有，所以點(diǎn)為等腰梯形的外接圓圓心，即點(diǎn)與點(diǎn)重合，如圖，，所以四棱錐底面的高為，.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查四棱錐的外接球及體積問題，關(guān)鍵是要找到外接球球心的位置，這個(gè)是一個(gè)難點(diǎn)，考查了學(xué)生空間想象能力和分析能力，是一道難度較大的題目.10、A【解析】

根據(jù)函數(shù)定義域得集合，解對數(shù)不等式得到集合，然后直接利用交集運(yùn)算求解.【詳解】解：由函數(shù)得，解得，即；又，解得，即，則.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了交集及其運(yùn)算，考查了函數(shù)定義域的求法，是基礎(chǔ)題.11、B【解析】

構(gòu)造函數(shù)，判斷出的單調(diào)性和奇偶性，由此求得不等式的解集.【詳解】構(gòu)造函數(shù)，由解得，所以的定義域?yàn)?，且，所以為奇函?shù)，而，所以在定義域上為增函數(shù)，且.由得，即，所以.故選：B【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性解不等式，屬于中檔題.12、A【解析】

每個(gè)縣區(qū)至少派一位專家，基本事件總數(shù)，甲，乙兩位專家派遣至同一縣區(qū)包含的基本事件個(gè)數(shù)，由此能求出甲，乙兩位專家派遣至同一縣區(qū)的概率.【詳解】派四位專家對三個(gè)縣區(qū)進(jìn)行調(diào)研，每個(gè)縣區(qū)至少派一位專家基本事件總數(shù)：甲，乙兩位專家派遣至同一縣區(qū)包含的基本事件個(gè)數(shù)：甲，乙兩位專家派遣至同一縣區(qū)的概率為：本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查概率的求法，考查古典概型等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

由，先將變形為，運(yùn)用基本不等式可得最小值，再求的最小值，運(yùn)用函數(shù)單調(diào)性即可得到所求值.【詳解】解：因?yàn)?，，，且，所以因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號，所以令，則，令，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以所以則所求最小值為故答案為：【點(diǎn)睛】此題考查基本不等式的運(yùn)用：求最值，注意變形和滿足的條件：一正二定三相等，考查利用單調(diào)性求最值，考查化簡和運(yùn)算能力，屬于中檔題.14、【解析】

作出圖象，求出方程的根，分類討論的正負(fù)，數(shù)形結(jié)合即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，令，解得，所以當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，且，作出函數(shù)的圖象如圖：（1）當(dāng)時(shí)，方程整理得，只有2個(gè)根，不滿足條件；（2）若，則當(dāng)時(shí)，方程整理得，則，，此時(shí)各有1解，故當(dāng)時(shí)，方程整理得，有1解同時(shí)有2解，即需，，因?yàn)椋?），故此時(shí)滿足題意；或有2解同時(shí)有1解，則需，由（1）可知不成立；或有3解同時(shí)有0解，根據(jù)圖象不存在此種情況，或有0解同時(shí)有3解，則，解得，故，（3）若，顯然當(dāng)時(shí)，和均無解，當(dāng)時(shí)，和無解，不符合題意．綜上：的范圍是，故答案為：，【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)零點(diǎn)與函數(shù)圖象的關(guān)系，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力，屬于中檔題．15、【解析】

利用動點(diǎn)到直線的距離和他到點(diǎn)距離相等，,可知動點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)的拋物線,從而可求曲線的方程,將,代入,利用韋達(dá)定理,可得,從而可知以為直徑的圓經(jīng)過原點(diǎn)O.【詳解】設(shè)點(diǎn)，由題意可得，，，可得，設(shè)直線的方程為，代入拋物線可得，，，，以AB為直徑的圓經(jīng)過原點(diǎn).故答案為：（0,0）【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的定義，考查了直線和拋物線的交匯問題，同時(shí)考查了方程的思想和韋達(dá)定理，考查了運(yùn)算能力，屬于中檔題.16、【解析】

設(shè)，由可得，整理得，即點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上．又點(diǎn)到雙曲線的漸近線的距離為，所以當(dāng)雙曲線的漸近線與圓相切時(shí)，取得最大值，此時(shí)，解得．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）190（2）見解析（3）可以在犯錯(cuò)誤的概率不超過1%的前提下，認(rèn)為抗倒伏與玉米矮莖有關(guān)．【解析】

（1）排序后第10和第11兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)為中位數(shù)；（2）由莖葉圖可得列聯(lián)表；（3）由列聯(lián)表計(jì)算可得結(jié)論．【詳解】解：（1）．（2）抗倒伏易倒伏矮莖154高莖1016（3）由于，因此可以在犯錯(cuò)誤的概率不超過1%的前提下，認(rèn)為抗倒伏與玉米矮莖有關(guān)．【點(diǎn)睛】本題考查莖葉圖，考查獨(dú)立性檢驗(yàn)，正確認(rèn)識莖葉圖是解題關(guān)鍵．18、（1）當(dāng)時(shí)，直線l方程為x＝－1；當(dāng)時(shí)，直線l方程為y＝(x＋1)tanα；x2＋y2＝2x（2）或.【解析】

（1）對直線l的傾斜角分類討論，消去參數(shù)即可求出其普通方程；由，即可求出曲線C的直角坐標(biāo)方程；（2）將直線l的參數(shù)方程代入曲線C的直角坐標(biāo)方程，根據(jù)條件Δ＝0，即可求解.【詳解】(1)當(dāng)時(shí)，直線l的普通方程為x＝－1；當(dāng)時(shí)，消去參數(shù)得直線l的普通方程為y＝(x＋1)tanα.由ρ＝2cosθ，得ρ2＝2ρcosθ，所以x2＋y2＝2x，即為曲線C的直角坐標(biāo)方程．(2)把x＝－1＋tcosα，y＝tsinα代入x2＋y2＝2x，整理得t2－4tcosα＋3＝0.由Δ＝16cos2α－12＝0，得cos2α＝，所以cosα＝或cosα＝，故直線l的傾斜角α為或.【點(diǎn)睛】本題考查參數(shù)方程化普通方程，極坐標(biāo)方程化直角坐標(biāo)方程，考查直線與曲線的關(guān)系，屬于中檔題.19、（1）（2）2【解析】

（1）轉(zhuǎn)化條件得，進(jìn)而可得，即可得解；（2）由化簡可得，由結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可得解.【詳解】（1），，由正弦定理得，即，又，，又，，，由可得.（2）由（1）可得，，，，，，的最大值為2.【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量平行、正弦定理以及三角恒等變換的應(yīng)用，考查了三角函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題.20、（Ⅰ）函數(shù)在區(qū)間上有兩個(gè)零點(diǎn).見解析（Ⅱ）見解析【解析】

（Ⅰ）根據(jù)題意，，利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，分類討論在區(qū)間的單調(diào)區(qū)間和極值，進(jìn)而研究零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題；（Ⅱ）求導(dǎo)，，由于在區(qū)間上的極值點(diǎn)從小到大分別為，，求出，利用導(dǎo)數(shù)結(jié)合單調(diào)性和極值點(diǎn)，即可證明出.【詳解】解：（Ⅰ），，當(dāng)時(shí)，，，在區(qū)間上單調(diào)遞減，，在區(qū)間上無零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞增