PAGE第4節(jié)直線、平面平行的判定及其性質考試要求1.以立體幾何的定義、公理和定理為動身點，相識和理解空間中線面平行的有關性質與判定定理；2.能運用公理、定理和已獲得的結論證明一些有關空間圖形的平行關系的簡潔命題.知識梳理1.直線與平面平行(1)直線與平面平行的定義直線l與平面α沒有公共點，則稱直線l與平面α平行.(2)判定定理與性質定理文字語言圖形表示符號表示判定定理平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線平行于此平面a?α，b?α，a∥b?a∥α性質定理一條直線和一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行a∥α，a?β，α∩β＝b?a∥b2.平面與平面平行(1)平面與平面平行的定義沒有公共點的兩個平面叫做平行平面.(2)判定定理與性質定理文字語言圖形表示符號表示判定定理一個平面內的兩條相交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行a?α，b?α，a∩b＝P，a∥β，b∥β?α∥β性質定理兩個平面平行，則其中一個平面內的直線平行于另一個平面α∥β，a?α?a∥β假如兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?a∥b3.與垂直相關的平行的判定(1)a⊥α，b⊥α?a∥b.(2)a⊥α，a⊥β?α∥β.[常用結論與易錯提示]1.平行關系的轉化2.平面與平面平行的六特性質(1)兩個平面平行，其中一個平面內的隨意一條直線平行于另一個平面.(2)夾在兩個平行平面間的平行線段長度相等.(3)經過平面外一點有且只有一個平面與已知平面平行.(4)兩條直線被三個平行平面所截，截得的對應線段成比例.(5)假如兩個平面分別和第三個平面平行，那么這兩個平面相互平行.(6)假如一個平面內有兩條相交直線分別平行于另一個平面內的兩條直線，那么這兩個平面平行.診斷自測1.推斷下列說法的正誤.(1)若一條直線和平面內一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行.()(2)若直線a∥平面α，P∈α，則過點P且平行于直線a的直線有多數(shù)條.()(3)假如一個平面內的兩條直線平行于另一個平面，那么這兩個平面平行.()(4)假如兩個平面平行，那么分別在這兩個平面內的兩條直線平行或異面.()解析(1)若一條直線和平面內的一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行或在平面內，故(1)錯誤.(2)若a∥α，P∈α，則過點P且平行于a的直線只有一條，故(2)錯誤.(3)假如一個平面內的兩條直線平行于另一個平面，則這兩個平面平行或相交，故(3)錯誤.答案(1)×(2)×(3)×(4)√2.(2024·浙江卷)已知平面α，直線m，n滿意m?α，n?α，則“m∥n”是“m∥α”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件解析若m?α，n?α，m∥n，由線面平行的判定定理知m∥α.若m∥α，m?α，n?α，不肯定推出m∥n，直線m與n可能異面，故“m∥n”是“m∥α”的充分不必要條件.故選A.答案A3.下列命題中正確的是()A.若a，b是兩條直線，且a∥b，那么a平行于經過b的任何平面B.若直線a和平面α滿意a∥α，那么a與α內的任何直線平行C.若直線a，b和平面α滿意a∥α，b∥α，那么a∥bD.若直線a，b和平面α滿意a∥b，a∥α，b?α，則b∥α解析依據(jù)線面平行的判定與性質定理知，選D.答案D4.(必修2P56練習2改編)如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1中，E為DD1的中點，則BD1與平面AEC的位置關系為________.解析連接BD，設BD∩AC＝O，連接EO，在△BDD1中，O為BD的中點，E為DD1的中點，所以EO為△BDD1的中位線，則BD1∥EO，而BD1?平面ACE，EO?平面ACE，所以BD1∥平面ACE.答案平行5.用一個截面去截正三棱柱ABC－A1B1C1，交A1C1，B1C1，BC，AC分別于E，F(xiàn)，G，H四點，已知A1A>A1C1，則截面的形態(tài)可以是________(把你認為可能的結果都填上).解析由題意知，當截面平行于側棱時所得截面為矩形，當截面與側棱不平行時，所得的截面是梯形.答案矩形或梯形6.設α，β，γ為三個不同的平面，a，b為直線.(1)若α∥γ，β∥γ，則α與β的關系是________；(2)若a⊥α，b⊥β，a∥b，則α與β的關系是________.解析(1)由α∥γ，β∥γ?α∥β.(2)a⊥α，a∥b?b⊥α，又b⊥β，從而α∥β.答案(1)平行(2)平行考點一線面、面面平行的相關命題的真假推斷【例1】(1)(2024·全國Ⅱ卷)設α，β為兩個平面，則α∥β的充要條件是()A.α內有多數(shù)條直線與β平行B.α內有兩條相交直線與β平行C.α，β平行于同一條直線D.α，β垂直于同一平面(2)(一題多解)如圖，在下列四個正方體中，A，B為正方體的兩個頂點，M，N，Q為所在棱的中點，則在這四個正方體中，直線AB與平面MNQ不平行的是()解析(1)若α∥β，則α內有多數(shù)條直線與β平行，當多數(shù)條直線相互平行時，α與β可能相交；若α，β平行于同一條直線，則α與β可以平行也可以相交；若α，β垂直于同一個平面，則α與β可以平行也可以相交，故A，C，D中條件均不是α∥β的充要條件.依據(jù)兩平面平行的判定定理知，若一個平面內有兩條相交直線與另一個平面平行，則兩平面平行，反之也成立.因此B中條件是α∥β的充要條件.(2)法一對于選項B，如圖(1)所示，連接CD，因為AB∥CD，M，Q分別是所在棱的中點，所以MQ∥CD，所以AB∥MQ，又AB?平面MNQ，MQ?平面MNQ，所以AB∥平面MNQ.同理可證選項C，D中均有AB∥平面MNQ.因此A項不正確.圖(1)圖(2)法二對于選項A，其中O為BC的中點(如圖(2)所示)，連接OQ，則OQ∥AB，因為OQ與平面MNQ有交點，所以AB與平面MNQ有交點，即AB與平面MNQ不平行.A項不正確.答案(1)B(2)A規(guī)律方法(1)推斷與平行關系相關命題的真假，必需熟識線、面平行關系的各個定義、定理，無論是單項選擇還是含選擇項的填空題，都可以從中先選出最熟識最簡潔推斷的選項先確定或解除，再逐步推斷其余選項.(2)①結合題意構造或繪制圖形，結合圖形作出推斷.②特殊留意定理所要求的條件是否完備，圖形是否有特殊狀況，通過舉反例否定結論或用反證法推斷命題是否正確.【訓練1】(1)(2024·杭州質檢)已知三個不同的平面α，β，γ和直線m，n，若α∩γ＝m，β∩γ＝n，則“α∥β”是“m∥n”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件(2)設m，n是兩條不同的直線，α，β，γ是三個不同的平面，給出下列四個命題：①若m?α，n∥α，則m∥n；②若α∥β，β∥γ，m⊥α，則m⊥γ；③若α∩β＝n，m∥n，m∥α，則m∥β；④若m∥α，n∥β，m∥n，則α∥β.其中是真命題的是________(填上正確命題的序號).解析(1)可知當“α∥β”時有“m∥n”，反之，不肯定成立，則“α∥β”是“m∥n”的充分不必要條件，故選A.(2)①m∥n或m，n異面，故①錯誤；易知②正確；③m∥β或m?β，故③錯誤；④α∥β或α與β相交，故④錯誤.答案(1)A(2)②考點二直線與平面平行的判定與性質多維探究角度1直線與平面平行的判定【例2－1】如圖，四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M為線段AD上一點，AM＝2MD，N為PC的中點.(1)證明：MN∥平面PAB；(2)求四面體N－BCM的體積.(1)證明由已知得AM＝eq\f(2,3)AD＝2.如圖，取BP的中點T，連接AT，TN，由N為PC中點知TN∥BC，TN＝eq\f(1,2)BC＝2.又AD∥BC，故TN綉AM，所以四邊形AMNT為平行四邊形，于是MN∥AT.因為AT?平面PAB，MN?平面PAB，所以MN∥平面PAB.(2)解因為PA⊥平面ABCD，N為PC的中點，所以N到平面ABCD的距離為eq\f(1,2)PA.如圖，取BC的中點E，連接AE.由AB＝AC＝3得AE⊥BC，AE＝eq\r(AB2－BE2)＝eq\r(5).由AM∥BC得M到BC的距離為eq\r(5)，故S△BCM＝eq\f(1,2)×4×eq\r(5)＝2eq\r(5).所以四面體N－BCM的體積VN－BCM＝eq\f(1,3)×S△BCM×eq\f(PA,2)＝eq\f(4\r(5),3).角度2直線與平面平行性質定理的應用【例2－2】如圖，四棱錐P－ABCD的底面是邊長為8的正方形，四條側棱長均為2eq\r(17).點G，E，F(xiàn)，H分別是棱PB，AB，CD，PC上共面的四點，平面GEFH⊥平面ABCD，BC∥平面GEFH.(1)證明：GH∥EF；(2)若EB＝2，求四邊形GEFH的面積.(1)證明因為BC∥平面GEFH，BC?平面PBC，且平面PBC∩平面GEFH＝GH，所以GH∥BC.同理可證EF∥BC，因此GH∥EF.(2)解如圖，連接AC，BD交于點O，BD交EF于點K，連接OP，GK.因為PA＝PC，O是AC的中點，所以PO⊥AC，同理可得PO⊥BD.又BD∩AC＝O，且AC，BD都在底面ABCD內，所以PO⊥底面ABCD.又因為平面GEFH⊥平面ABCD，且PO?平面GEFH，所以PO∥平面GEFH.因為平面PBD∩平面GEFH＝GK，PO?平面PBD.所以PO∥GK，且GK⊥底面ABCD，又EF?平面ABCD，從而GK⊥EF.所以GK是梯形GEFH的高.由AB＝8，EB＝2及EK∥AD，得EB∶AB＝KB∶DB＝1∶4，從而KB＝eq\f(1,4)DB＝eq\f(1,2)OB，即K為OB的中點.再由PO∥GK得GK＝eq\f(1,2)PO，即G是PB的中點，且GH＝eq\f(1,2)BC＝4.由已知可得OB＝4eq\r(2)，PO＝eq\r(PB2－OB2)＝eq\r(68－32)＝6，所以GK＝3.故四邊形GEFH的面積S＝eq\f(GH＋EF,2)·GK＝eq\f(4＋8,2)×3＝18.規(guī)律方法(1)推斷或證明線面平行的常用方法有：①利用反證法(線面平行的定義)；②利用線面平行的判定定理(a?α，b?α，a∥b?a∥α)；③利用面面平行的性質定理(α∥β，a?α?a∥β)；④利用面面平行的性質(α∥β，a?β，a∥α?a∥β).(2)利用判定定理判定線面平行，關鍵是找平面內與已知直線平行的直線.常利用三角形的中位線、平行四邊形的對邊或過已知直線作一平面找其交線.【訓練2】在四棱錐P－ABCD中，AD∥BC，AB＝BC＝eq\f(1,2)AD，E，F(xiàn)，H分別為線段AD，PC，CD的中點，AC與BE交于O點，G是線段OF上一點.(1)求證：AP∥平面BEF；(2)求證：GH∥平面PAD.證明(1)連接EC，∵AD∥BC，BC＝eq\f(1,2)AD，E為AD的中點，∴BC綉AE，∴四邊形ABCE是平行四邊形，∴O為AC的中點，又∵F是PC的中點，∴FO∥AP，又FO?平面BEF，AP?平面BEF，∴AP∥平面BEF.(2)連接FH，OH，∵F，H分別是PC，CD的中點，∴FH∥PD，又PD?平面PAD，F(xiàn)H?平面PAD，∴FH∥平面PAD.又∵O是BE的中點，H是CD的中點，∴OH∥AD，又∵AD?平面PAD，OH?平面PAD，∴OH∥平面PAD.又FH∩OH＝H，∴平面OHF∥平面PAD.又∵GH?平面OHF，∴GH∥平面PAD.考點三面面平行的判定與性質變式遷移【例3】(經典母題)如圖所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，AC，A1B1，A1C1的中點，求證：(1)B，C，H，G四點共面；(2)平面EFA1∥平面BCHG.證明(1)∵G，H分別是A1B1，A1C1的中點，∴GH是△A1B1C1的中位線，則GH∥B1C1.又∵B1C1∥BC，∴GH∥BC，∴B，C，H，G四點共面.(2)∵E，F(xiàn)分別為AB，AC的中點，∴EF∥BC，∵EF?平面BCHG，BC?平面BCHG，∴EF∥平面BCHG.又G，E分別為A1B1，AB的中點，A1B1綉AB，∴A1G綉EB，∴四邊形A1EBG是平行四邊形，∴A1E∥GB.∵A1E?平面BCHG，GB?平面BCHG，∴A1E∥平面BCHG.又∵A1E∩EF＝E，∴平面EFA1∥平面BCHG.【變式遷移1】如圖，在本例條件下，若點D為BC1的中點，求證：HD∥平面A1B1BA.證明如圖所示，連接A1B.∵D為BC1的中點，H為A1C1的中點，∴HD∥A1B，又HD?平面A1B1BA，A1B?平面A1B1BA，∴HD∥平面A1B1BA.【變式遷移2】在本例中，若將條件“E，F(xiàn)，G，H分別是AB，AC，A1B1，A1C1的中點”變?yōu)椤包cD，D1分別是AC，A1C1上的點，且平面BC1D∥平面AB1D1”，試求eq\f(AD,DC)的值.解連接A1B交AB1于O，連接OD1.由平面BC1D∥平面AB1D1，且平面A1BC1∩平面BC1D＝BC1，平面A1BC1∩平面AB1D1＝D1O，所以BC1∥D1O，則eq\f(A1D1,D1C1)＝eq\f(A1O,OB)＝1.又由題設eq\f(A1D1,D1C1)＝eq\f(DC,AD)，∴eq\f(DC,AD)＝1，即eq\f(AD,DC)＝1.規(guī)律方法(1)判定面面平行的主要方法①利用面面平行的判定定理.②線面垂直的性質(垂直于同始終線的兩平面平行).(2)面面平行的性質定理①兩平面平行，則一個平面內的直線平行于另一平面.②若一平面與兩平行平面相交，則交線平行.提示利用面面平行的判定定理證明兩平面平行時須要說明是一個平面內的兩條相交直線與另一個平面平行.【訓練3】在如圖所示的幾何體中，D是AC的中點，EF∥DB.(1)已知AB＝BC，AE＝EC.求證：AC⊥FB；(2)已知G，H分別是EC和FB的中點.求證：GH∥平面ABC.證明(1)因為EF∥DB，所以EF與DB確定平面BDEF，如圖①，連接DE.因為AE＝EC，D為AC的中點，圖①所以DE⊥AC.同理可得BD⊥AC.又BD∩DE＝D，所以AC⊥平面BDEF.因為FB?平面BDEF，所以AC⊥FB.(2)如圖②，設FC的中點為I，連接GI，HI.圖②在△CEF中，因為G是CE的中點，所以GI∥EF.又EF∥DB，所以GI∥DB.在△CFB中，因為H是FB的中點，所以HI∥BC.又HI∩GI＝I，所以平面GHI∥平面ABC，因為GH?平面GHI，所以GH∥平面ABC.基礎鞏固題組一、選擇題1.設m，n是不同的直線，α，β是不同的平面，且m，n?α，則“α∥β”是“m∥β且n∥β”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件解析若m，n?α，α∥β，則m∥β且n∥β；反之若m，n?α，m∥β且n∥β，則α與β相交或平行，即“α∥β”是“m∥β且n∥β”的充分不必要條件.答案A2.如圖所示的三棱柱ABC－A1B1C1中，過A1B1的平面與平面ABC交于DE，則DE與AB的位置關系是()A.異面 B.平行C.相交 D.以上均有可能解析在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB∥A1B1，∵AB?平面ABC，A1B1?平面ABC，∴A1B1∥平面ABC，∵過A1B1的平面與平面ABC交于DE.∴DE∥A1B1，∴DE∥AB.答案B3.有下列命題：①若直線l平行于平面α內的多數(shù)條直線，則直線l∥α；②若直線a在平面α外，則a∥α；③若直線a∥b，b∥α，則a∥α；④若直線a∥b，b∥α，則a平行于平面α內的多數(shù)條直線.其中真命題的個數(shù)是()A.1 B.2C.3 D.4解析命題①l可以在平面α內，不正確；命題②直線a與平面α可以是相交關系，不正確；命題③a可以在平面α內，不正確；命題④正確.答案A4.下列四個正方體圖形中，A，B為正方體的兩個頂點，M，N，P分別為其所在棱的中點，能得出AB∥平面MNP的圖形的序號是()A.①③ B.①④C.②③ D.②④解析①中，易知NP∥AA′，MN∥A′B，又MN∩NP＝N.∴平面MNP∥平面AA′B，可得出AB∥平面MNP(如圖).④中，NP∥AB，NP?平面MNP，AB?平面MNP，能得出AB∥平面MNP.在②③中不能判定AB∥平面MNP.答案B5.已知m，n表示兩條不同直線，α表示平面，下列說法正確的是()A.若m∥α，n∥α，則m∥n B.若m⊥α，n?α，則m⊥nC.若m⊥α，m⊥n，則n∥α D.若m∥α，m⊥n，則n⊥α解析若m∥α，n∥α，則m，n平行、相交或異面，A錯；若m⊥α，n?α，則m⊥n，因為直線與平面垂直時，它垂直于平面內任始終線，B正確；若m⊥α，m⊥n，則n∥α或n?α，C錯；若m∥α，m⊥n，則n與α可能相交，可能平行，也可能n?α，D錯.答案B6.在四面體ABCD中，截面PQMN是正方形，則在下列結論中錯誤的是()A.AC⊥BDB.AC∥截面PQMNC.AC＝BDD.異面直線PM與BD所成的角為45°解析因為截面PQMN是正方形，所以MN∥QP，又PQ?平面ABC，MN?平面ABC，則MN∥平面ABC，由線面平行的性質知MN∥AC，又MN?平面PQMN，AC?平面PQMN，則AC∥截面PQMN，同理可得MQ∥BD，又MN⊥QM，則AC⊥BD，故A，B正確.又因為BD∥MQ，所以異面直線PM與BD所成的角等于PM與QM所成的角，即為45°，故D正確.答案C二、填空題7.在四面體A－BCD中，M，N分別是△ACD，△BCD的重心，則MN與平面ABD的位置關系是________；與平面ABC的位置關系是________.解析如圖，取CD的中點E.連接AE，BE，由于M，N分別是△ACD，△BCD的重心，所以AE，BE分別過M，N，則EM∶MA＝1∶2，EN∶BN＝1∶2，即EM∶MA＝EN∶BN，所以MN∥AB.因為AB?平面ABD，MN?平面ABD，AB?平面ABC，MN?平面ABC，所以MN∥平面ABD，MN∥平面ABC.答案平行平行8.如圖，四棱錐P－ABCD的底面是始終角梯形，AB∥CD，BA⊥AD，CD＝2AB，PA⊥底面ABCD，E為PC的中點，則BE與平面PAD的位置關系為________.解析取PD的中點F，連接EF，AF，在△PCD中，EF綉eq\f(1,2)CD.又∵AB∥CD且CD＝2AB，∴EF綉AB，∴四邊形ABEF是平行四邊形，∴EB∥AF.又∵EB?平面PAD，AF?平面PAD，∴BE∥平面PAD.答案平行9.設m，n是兩條不同的直線，α，β，γ是三個不同的平面，給出下列四個命題：①若m?α，n∥α，則m∥n；②若α∥β，β∥γ，m⊥α，則m⊥γ；③若α∩β＝n，m∥n，則m∥α，且m∥β；④若α⊥γ，β⊥γ，則α∥β.其中真命題的個數(shù)為__________.解析若m?α，n∥α，則m，n可能平行或異面，①錯誤；若α∥β，β∥γ，則α∥γ，又m⊥α，則m⊥γ，②正確；若α∩β＝n，m∥n，則m∥α或m∥β或m?α或m?β，③錯誤；若α⊥γ，β⊥γ，則α，β可能平行或相交，④錯誤，則真命題個數(shù)為1.答案110.如圖所示，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G，H分別是棱CC1，C1D1，D1D，DC的中點，N是BC的中點，點M在四邊形EFGH及其內部運動，則M只需滿意條件________時，就有MN∥平面B1BDD1.(注：請?zhí)钌夏阏J為正確的一個條件即可，不必考慮全部可能狀況)解析連接HN，F(xiàn)H，F(xiàn)N，則FH∥DD1，HN∥BD，易知平面FHN∥平面B1BDD1，只需M∈FH，則MN?平面FHN，∴MN∥平面B1BDD1.答案點M在線段FH上(或點M與點H重合)三、解答題11.一個正方體的平面綻開圖及該正方體的直觀圖的示意圖如圖所示.(1)請將字母F，G，H標記在正方體相應的頂點處(不需說明理由)；(2)推斷平面BEG與平面ACH的位置關系，并證明你的結論.解(1)點F，G，H的位置如圖所示.(2)平面BEG∥平面ACH，證明如下：因為ABCD－EFGH為正方體，所以BC∥FG，BC＝FG，又FG∥EH，F(xiàn)G＝EH，所以BC∥EH，BC＝EH，于是四邊形BCHE為平行四邊形，所以BE∥CH.又CH?平面ACH，BE?平面ACH，所以BE∥平面ACH.同理BG∥平面ACH.又BE∩BG＝B，所以平面BEG∥平面ACH.12.如圖，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD為等腰梯形，AD∥BC，AD＝2BC，M為邊AD的中點，求證：C1M∥平面A1ABB1.證明在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，有B1C1∥BC且B1C1＝BC，又M為邊AD的中點，所以BC∥AM，即B1C1∥AM，又AD＝2BC，所以BC＝AM，即B1C1＝AM，所以四邊形B1C1MA為平行四邊形，則C1M∥B1A，又B1A?平面AA1B1B，C1M?平面AA1B1B，所以C1M∥平面AA1B1B.實力提升題組13.給出下列關于互不相同的直線l，m，n和平面α，β，γ的三個命題：①若l與m為異面直線，l?α，m?β，則α∥β；②若α∥β，l?α，m?β，則l∥m；③若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，l∥γ，則m∥n.其中真命題的個數(shù)為()A.3 B.2C.1 D.0解析①中當α與β不平行時，也可能存在符合題意的l，m；②中l(wèi)與m也可能異面；③中eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l∥γ,l?α,α∩γ＝n))?l∥n，同理，l∥m，則m∥n，正確.答案C14.如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為1，E，F(xiàn)分別是棱AA1，CC1的中點，過EF的平面與棱BB1，DD1分別交于點G，H.設BG＝x，x∈[0，1].①四邊形EGFH肯定是菱形；②AC∥平面EGFH；③四邊形EGFH的面積S＝f(x)在區(qū)間[0，1]上具有單調性；④四棱錐A－EGFH的體積為定值.以上結論正確的個數(shù)是()A.4 B.3C.2 D.1解析由正方體的性質易得D1H＝BG＝x，則四邊形A1D1HE、四邊形ABGE、四邊形CBGF、四邊形C1D1HF為四個全等的直角梯形，則HE＝EG＝GF＝FH，即四邊形EGFH為菱形，①正確；因為AC∥EF，EF?平面EGFH，AC?平面EGFH，所以AC∥平面EGFH，②正確；在線段DD1上取DM＝x，則易得△HMG為直角三角形，且HM＝1－2x，則GH＝eq\r(HM2＋GM2)＝eq\r(（1－2x）2＋2)，則菱形EGFH的面積S＝f(x)＝eq\f(1,2)EF·GH＝eq\f(\r(2),2)eq\r(（1－2x）2＋2)，易得其在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))上單調遞減，在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))上單調遞增，在[0，1]上不具有單調性，③錯誤；V四棱錐A－EGFH＝V三棱錐A－EFH＋V三棱錐A－EGF＝V三棱錐F－AEH＋V三棱錐F－AEG＝eq\f(1,3)×1×eq\f(1,2)×1×eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)×1×eq\f(1,2)×1×eq\f(1,2)＝eq\f(1,6)，為定值，④正確.綜上所述，正確結論的個數(shù)是3，故選B.答案B15.如圖所示，棱柱ABC－A1B1