2024-2025學(xué)年遼寧省沈陽126中教育集團(tuán)九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）1．（3分）已知一個幾何體如圖所示，則該幾何體的俯視圖是A． B． C． D．2．（3分）在反比例函數(shù)圖象上的點的坐標(biāo)是A． B． C． D．3．（3分）下列命題中，真命題是A．一組對邊相等且一組對角相等的四邊形是平行四邊形 B．對角線相等的四邊形是矩形 C．對角線垂直的四邊形是菱形 D．對角線相等且互相垂直平分的四邊形是正方形4．（3分）已知，則的值是A． B． C． D．5．（3分）以下說法合理的是A．小明做了3次擲圖釘?shù)膶嶒?，發(fā)現(xiàn)2次釘尖朝上，由此他說釘尖朝上的概率是 B．某彩票的中獎概率是，那么買100張彩票一定有5張中獎 C．某射擊運動員射擊一次只有兩種可能的結(jié)果：中靶與不中靶，所以他擊中靶的概率是 D．小明做了3次擲均勻硬幣的實驗，其中有一次正面朝上，2次正面朝下，他認(rèn)為再擲一次，正面朝上的概率還是6．（3分）用配方法解一元二次方程，此方程可變形為A． B． C． D．7．（3分）有兩根電線桿在地面上形成了各自的影子，若以電線桿與其影子分別作為三角形的兩邊，可以得到兩全等三角形，則這種投影現(xiàn)象為A．平行投影 B．中心投影 C．既不是平行投影也不是中心投影 D．可能是平行投影也可能是中心投影8．（3分）如圖，，，其中，的長為A． B． C． D．69．（3分）如圖，矩形為一個正在倒水的水杯的截面圖，，杯中水面與的交點為，當(dāng)水杯底面與水平面的夾角為時，杯中水的最大深度為A．9 B．15 C． D．10．（3分）如圖，四邊形和都是平行四邊形，點在邊上，且，連接分別交，于點，，設(shè)△與△面積的比為，則的值為A． B． C． D．二、填空題（本題共5小題，每小題3分，共15分）11．（3分）在一個不透明的袋子里有紅球、黃球共15個，這些球除顏色外都相同，小明通過多次實驗發(fā)現(xiàn)，摸到紅球的頻率穩(wěn)定在0.4左右，則袋子中黃球的個數(shù)可能是個．12．（3分）若為銳角，且，則的值為．13．（3分）三個頂點的坐標(biāo)分別為，，，以原點為位似中心，相似比為，將縮小，則點的對應(yīng)點的坐標(biāo)是．14．（3分）如圖，點在反比例函數(shù)的圖象上，點在軸正半軸上，直線交軸于點，若，△的面積為3，則的值為．15．（3分）如圖，，，，，，，，求．三、解答題（本題共8道小題，共75分）16．（10分）（1）計算：．（2）解方程：．17．（8分）某校一年級開設(shè)人數(shù)相同的四個班級，分別是1班，2班，3班，4班，甲、乙兩位學(xué)生是該校一年級新生，開學(xué)初學(xué)校對所有一年級新生進(jìn)行電腦隨機分班．（1）“學(xué)生甲分到1班”的概率是；（2）請用畫樹狀圖法或列表法，求甲、乙兩名新生分到相鄰兩個班級的概率．18．（7分）如圖，中，點是的中點，連結(jié)并延長交的延長線于點．（1）求證：；（2）點是線段上一點，滿足，交于點，若，，求的長．19．（10分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于、兩點．（1）求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式；（2）觀察圖象，直接寫出不等式的解集；（3）若是軸上一點，且滿足△是直角三角形，直接寫出點的坐標(biāo)．20．（9分）如圖，在中，，，，動點從點出發(fā)沿邊向點以的速度移動，同時動點從點出發(fā)沿邊向點以的速度移動，當(dāng)運動到點時、兩點同時停止運動，設(shè)運動時間為．（1）；；（用的代數(shù)式表示）（2）是的中點，連接、，為何值時的面積為？21．（9分）大連市中山公園原址為一個叫做劉家屯的小山頭，1898年沙俄強占旅大期間，將這里改為綠地．日占時期改為圣德公園，圣德公園多次作為我地下黨的接頭地點，傳遞了許多抗日情報．大連解放后的1945年11月，大連市政府為紀(jì)念孫中山先生，改名中山公園，并歷經(jīng)多年修建了5個小亭，其中敬閑亭位于山頭最高處．“勿忘國恥，懷念先烈，吾輩自強”．某中學(xué)超越小組的同學(xué)們，帶著測量工具來到中山公園，為測量敬閑亭設(shè)計了如下方案，請你根據(jù)以下材料，完成項目任務(wù)．項目測量敬閑亭的高度及底面圓的半徑測量工具測角儀、皮尺等測量說明：點為亭底面圓圓心，在、處分別測得亭頂端的仰角為、，、測角儀高度，測角儀所在位置與亭底部邊緣距離，點、、、在同一條直線上．參考數(shù)據(jù)，，，，，最后結(jié)果保留．項目任務(wù)（1）求敬閑亭的高度的長．（2）直接寫出敬閑亭底面圓的半徑的長，約米．（3）直接寫出的距離，約米．22．（13分）【初識圖形】（1）如圖1，、分別為正方形邊和邊上的點，連接、，且．則．（2）如圖2，矩形中，點、分別在邊、上，連接、，且，，，求的值．【類比探究】（3）如圖3，△中，、分別為、邊上的點，，，為中點，連接，作交于點，交于．直接寫出的長為．【拓展遷移】（4）在矩形中，，，點、分別為線段和線段邊上的一點，以為折痕，將四邊形翻折，得到四邊形，直線和直線分別交直線于點和點，且，．①請直接寫出線段的長．②若點、分別為線段和線段邊上的動點，滿足．且直線始終經(jīng)過一個定點，求的最大值．23．（9分）定義：在平面直角坐標(biāo)系中，點是某函數(shù)圖象上的一點，作該函數(shù)圖象中自變量大于的部分關(guān)于直線的軸對稱圖形，與原函數(shù)圖象中自變量大于或等于的部分共同構(gòu)成一個新函數(shù)的圖象，則這個新函數(shù)叫做原函數(shù)關(guān)于點的“友好函數(shù)”．例如：圖①是函數(shù)的圖象，則它關(guān)于點的“友好函數(shù)”的圖象如圖②所示，且它的“友好函數(shù)”的解析式為．（1）直接寫出函數(shù)關(guān)于點的“友好函數(shù)”的解析式．（2）如圖③，點是函數(shù)的圖象上的一點，設(shè)點的橫坐標(biāo)為，是函數(shù)關(guān)于點的“友好函數(shù)”．①當(dāng)時，若函數(shù)的函數(shù)值取值范圍是，直接寫出自變量的取值范圍；②如圖④，當(dāng)以點、、、為頂點的矩形與函數(shù)的圖象只有1個公共點時，直接寫出的取值范圍．（3）①當(dāng)（2）②中的函數(shù)的圖象與矩形有且僅有一個公共點時，在函數(shù)上是存在一點，使△是以為直角邊的直角三角形，請直接寫出所有符合條件的點的坐標(biāo)；②當(dāng)（2）中“主題干”中的函數(shù)的對稱軸左側(cè)圖象與（2）②中矩形的邊所圍成的三角形圖形中，其面積為時，直接寫出點的坐標(biāo)．

參考答案一、選擇題（本題共10小題，每小題3分，共30分）1．（3分）已知一個幾何體如圖所示，則該幾何體的俯視圖是A． B． C． D．解：從上面可看，是一個矩形，矩形的中間有一條縱向的實線，實線的兩側(cè)分別有一條縱向的虛線．故選：．2．（3分）在反比例函數(shù)圖象上的點的坐標(biāo)是A． B． C． D．解：對于選項，當(dāng)時，，點不是反比例函數(shù)數(shù)圖象上的點；對于選項，當(dāng)時，，點是反比例函數(shù)圖象上的點；對于選項，當(dāng)時，，點不是反比例函數(shù)圖象上的點；對于選項，當(dāng)時，，點不是反比例函數(shù)圖象上的點．故選：．3．（3分）下列命題中，真命題是A．一組對邊相等且一組對角相等的四邊形是平行四邊形 B．對角線相等的四邊形是矩形 C．對角線垂直的四邊形是菱形 D．對角線相等且互相垂直平分的四邊形是正方形解：、一組對邊相等且一組對角相等的四邊形是平行四邊形；假命題；、對角線相等的四邊形是矩形；假命題；、對角線垂直的四邊形是菱形；假命題；、對角線相等且互相垂直平分的四邊形是正方形；真命題；故選：．4．（3分）已知，則的值是A． B． C． D．解：設(shè)，則，，；故選：．5．（3分）以下說法合理的是A．小明做了3次擲圖釘?shù)膶嶒?，發(fā)現(xiàn)2次釘尖朝上，由此他說釘尖朝上的概率是 B．某彩票的中獎概率是，那么買100張彩票一定有5張中獎 C．某射擊運動員射擊一次只有兩種可能的結(jié)果：中靶與不中靶，所以他擊中靶的概率是 D．小明做了3次擲均勻硬幣的實驗，其中有一次正面朝上，2次正面朝下，他認(rèn)為再擲一次，正面朝上的概率還是解：小明做了3次擲圖釘?shù)膶嶒?，發(fā)現(xiàn)2次釘尖朝上，由此他說釘尖朝上的概率是是錯誤的，3次試驗不能總結(jié)出概率，故選項錯誤，某彩票的中獎概率是，那么買100張彩票可能有5張中獎，但不一定有5張中獎，故選項錯誤，某射擊運動員射擊一次只有兩種可能的結(jié)果：中靶與不中靶，所以他擊中靶的概率是不正確，中靶與不中靶不是等可能事件，故選項錯誤，小明做了3次擲均勻硬幣的實驗，其中有一次正面朝上，2次正面朝下，他認(rèn)為再擲一次，正面朝上的可能性是，故選項正確，故選：．6．（3分）用配方法解一元二次方程，此方程可變形為A． B． C． D．解：，，，，故選：．7．（3分）有兩根電線桿在地面上形成了各自的影子，若以電線桿與其影子分別作為三角形的兩邊，可以得到兩全等三角形，則這種投影現(xiàn)象為A．平行投影 B．中心投影 C．既不是平行投影也不是中心投影 D．可能是平行投影也可能是中心投影解：根據(jù)題意只知道電線桿與其影子分別作為三角形的兩邊，可以得到兩全等三角形，平行投影和中心投影都可能出現(xiàn)這種情況，所以可能是平行投影也可能是中心投影．故選．8．（3分）如圖，，，其中，的長為A． B． C． D．6解：，，，，，．故選：．9．（3分）如圖，矩形為一個正在倒水的水杯的截面圖，，杯中水面與的交點為，當(dāng)水杯底面與水平面的夾角為時，杯中水的最大深度為A．9 B．15 C． D．解：過點作，垂足為．如圖．四邊形為矩形，．，．在中，，．故選：．10．（3分）如圖，四邊形和都是平行四邊形，點在邊上，且，連接分別交，于點，，設(shè)△與△面積的比為，則的值為A． B． C． D．解：四邊形是平行四邊形，，且，，四邊形是平行四邊形，，且，，，，是△的中位線，，，設(shè)，，，，，，，△△，，，，，，，而△和△同高，，．故選：．二、填空題（本題共5小題，每小題3分，共15分）11．（3分）在一個不透明的袋子里有紅球、黃球共15個，這些球除顏色外都相同，小明通過多次實驗發(fā)現(xiàn)，摸到紅球的頻率穩(wěn)定在0.4左右，則袋子中黃球的個數(shù)可能是9個．解：摸到紅球的頻率穩(wěn)定在0.4左右，袋子中紅球的個數(shù)可能是（個，袋子中黃球的個數(shù)可能（個，故答案為：9．12．（3分）若為銳角，且，則的值為．解：為銳角，，，，．故答案為：．13．（3分）三個頂點的坐標(biāo)分別為，，，以原點為位似中心，相似比為，將縮小，則點的對應(yīng)點的坐標(biāo)是或．解：以原點為位似中心，相似比為，將縮小，，點的對應(yīng)點的坐標(biāo)為，或，，即或，故答案為：或．14．（3分）如圖，點在反比例函數(shù)的圖象上，點在軸正半軸上，直線交軸于點，若，△的面積為3，則的值為．解：作軸于，設(shè)點坐標(biāo)為，則，，，，，，，．故答案為：．15．（3分）如圖，，，，，，，，求．解：過點作于，過點作于，在上取一點，使，如圖所示：，，，四邊形是矩形，，，，，，，在△中，由勾股定理得：，點是的中點，，，，是線段的垂直平分線，，設(shè)，，，，，，，又，△△，，，，，，，又，△△，，，，，，，解得：．．故答案為：．三、解答題（本題共8道小題，共75分）16．（10分）（1）計算：．（2）解方程：．解：（1）原式．（2），，，，則，所以．17．（8分）某校一年級開設(shè)人數(shù)相同的四個班級，分別是1班，2班，3班，4班，甲、乙兩位學(xué)生是該校一年級新生，開學(xué)初學(xué)校對所有一年級新生進(jìn)行電腦隨機分班．（1）“學(xué)生甲分到1班”的概率是；（2）請用畫樹狀圖法或列表法，求甲、乙兩名新生分到相鄰兩個班級的概率．解：（1）由題意知，共有4種等可能的結(jié)果，其中“學(xué)生甲分到1班”的結(jié)果有1種，“學(xué)生甲分到1班”的概率為，故答案為：；（2）畫樹狀圖如下：共有16種等可能的結(jié)果，其中甲、乙兩名新生分到相鄰兩個班級的結(jié)果有6種，甲、乙兩名新生分到相鄰兩個班級的概率．18．（7分）如圖，中，點是的中點，連結(jié)并延長交的延長線于點．（1）求證：；（2）點是線段上一點，滿足，交于點，若，，求的長．【解答】（1）證明：四邊形是平行四邊形，，，，，是的中點，，，，，，；（2）解：，，，，四邊形是平行四邊形，，，，，，，，，即，，．19．（10分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于、兩點．（1）求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式；（2）觀察圖象，直接寫出不等式的解集或；（3）若是軸上一點，且滿足△是直角三角形，直接寫出點的坐標(biāo)．解：（1）將點、的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)表達(dá)式得：，則，，即點，反比例函數(shù)表達(dá)式為：，由題意得：，解得：，則一次函數(shù)的表達(dá)式為：；（2）觀察圖象知，直接寫出不等式的解集為：或，故答案為：或；（3）設(shè)點，由、、的坐標(biāo)得，，，，當(dāng)為斜邊時，則，則，即點；當(dāng)或為斜邊時，同理可得：或，解得：或3或，即點或或，綜上，或或或，故答案為：或或或．20．（9分）如圖，在中，，，，動點從點出發(fā)沿邊向點以的速度移動，同時動點從點出發(fā)沿邊向點以的速度移動，當(dāng)運動到點時、兩點同時停止運動，設(shè)運動時間為．（1）；；（用的代數(shù)式表示）（2）是的中點，連接、，為何值時的面積為？解：（1）根據(jù)題意得：，，所以，故答案為：；；（2）如圖，過點作于，，即．．又是的中點，，是的中位線．．根據(jù)題意，得，整理，得．解得：，，即當(dāng)或4時，的面積是．21．（9分）大連市中山公園原址為一個叫做劉家屯的小山頭，1898年沙俄強占旅大期間，將這里改為綠地．日占時期改為圣德公園，圣德公園多次作為我地下黨的接頭地點，傳遞了許多抗日情報．大連解放后的1945年11月，大連市政府為紀(jì)念孫中山先生，改名中山公園，并歷經(jīng)多年修建了5個小亭，其中敬閑亭位于山頭最高處．“勿忘國恥，懷念先烈，吾輩自強”．某中學(xué)超越小組的同學(xué)們，帶著測量工具來到中山公園，為測量敬閑亭設(shè)計了如下方案，請你根據(jù)以下材料，完成項目任務(wù)．項目測量敬閑亭的高度及底面圓的半徑測量工具測角儀、皮尺等測量說明：點為亭底面圓圓心，在、處分別測得亭頂端的仰角為、，、測角儀高度，測角儀所在位置與亭底部邊緣距離，點、、、在同一條直線上．參考數(shù)據(jù)，，，，，最后結(jié)果保留．項目任務(wù)（1）求敬閑亭的高度的長．（2）直接寫出敬閑亭底面圓的半徑的長，約4米．（3）直接寫出的距離，約米．解：（1）延長交于點，由題意得：，，，設(shè)，，，，在△中，，，在△中，，，，解得：，，，敬閑亭的高度的長約為；（2）由（1）可得：，敬閑亭底面圓的半徑的長，約，故答案為：4；（3）由題意得：，，，，的距離，約，故答案為：22．22．（13分）【初識圖形】（1）如圖1，、分別為正方形邊和邊上的點，連接、，且．則1．（2）如圖2，矩形中，點、分別在邊、上，連接、，且，，，求的值．【類比探究】（3）如圖3，△中，、分別為、邊上的點，，，為中點，連接，作交于點，交于．直接寫出的長為．【拓展遷移】（4）在矩形中，，，點、分別為線段和線段邊上的一點，以為折痕，將四邊形翻折，得到四邊形，直線和直線分別交直線于點和點，且，．①請直接寫出線段的長．②若點、分別為線段和線段邊上的動點，滿足．且直線始終經(jīng)過一個定點，求的最大值．解：（1）四邊形是正方形，，，，，，，在△和△中，，△△，，，故答案為：1；（2）如圖，過點作于點，四邊形是矩形，，，，，，四邊形是矩形，，，于點，，，，，即，，；（3）如圖所示，過點作于點，△是直角三角形，，，，，點是的中點，，在△中，，，，設(shè)，，，△△，，即，，，，，，，又，△△，，即，解得，，故答案為：；（4）①四邊形是矩形，，，四邊形翻折，得到四邊形，，，，，第一種情況，如圖，過點作于點，，，，，，，，四邊形是矩形，，，，且，△△，，即，，，，；第二種情況，如圖，設(shè)與交于點，同理，，，，，，，△△，，即，，，，，，，△△，，即，，，；綜上所述，的長為或；故答案為：或；②如圖，四邊形是矩形，，，直線始終經(jīng)過一個定點，延長，交于點，△△，，且，，解得，如圖，以點坐標(biāo)原點，為正方向作橫軸，方向為縱軸作平面直角坐標(biāo)系，，設(shè)，則，，，即，，令，，函數(shù)圖象開口向上，隨的增大而增大，當(dāng)時，有最大值，且最大值為，的最大值為，故答案為：．23．（9分）定義：在平面直角坐標(biāo)系中，點是某函數(shù)圖象上的一點，作該函數(shù)圖象中自變量大于的部分關(guān)于直線的軸對稱圖形，與原函數(shù)圖象中自變量大于或等于的部分共同構(gòu)成一個新函數(shù)的圖象，則這個新函數(shù)叫做原函數(shù)關(guān)于點的“友好函數(shù)”．例如：圖①是函數(shù)的圖象，則它關(guān)于點的“友好函數(shù)”的圖象如圖②所示，且它的“友好函數(shù)”的解析式為．（1）直接寫出函數(shù)關(guān)于點的“友好函數(shù)”的解析式．（2）如圖③，點是函數(shù)的圖象上的一點，設(shè)點的橫坐標(biāo)為，是函數(shù)關(guān)于點的“友好函數(shù)”．①當(dāng)時，若函數(shù)的函