PAGE§6平面對(duì)量的應(yīng)用6.1余弦定理與正弦定理第1課時(shí)余弦定理課后篇鞏固提升基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)練1.(2024山東高一月考)已知△ABC的角A,B,C所對(duì)的邊為a,b,c,c=7,b=1,C=2π3,則a=(A.5 B.2 C.3 D.3解析由余弦定理推論可得,cosC=a2+b2-c22ab=a2+1-72a答案B2.(2024北京十五中高一期中)△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.若a=3,b=4,C=60°,則c的值等于()A.5 B.13 C.13 D.37解析由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC=9+16-24×12=13,所以c=13.故選C答案C3.(2024海南高二期末(文))在△ABC中,AB=3,BC=7,A=120°,則AC=()A.5 B.6 C.8 D.79解析依據(jù)余弦定理AC2+AB2-BC2=2·AB·AC·cosA,代入數(shù)據(jù),得到AC2+3AC-40=0,解得AC=5.故選A.答案A4.(2024廣東執(zhí)信中學(xué)高三月考(理))在△ABC中,已知B=3π4,BC邊上的高恰為BC邊長(zhǎng)的一半,則cosA=(A.255 B.55 C.2解析作AH⊥CB交CB延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)H,又知∠ABC=3π4.所以△AHB為等腰直角三角形,設(shè)BC=2a,則AB=2a,AH=a,CH=3a,由勾股定理得AC=10a,依據(jù)余弦定理得cos∠BAC=2a2答案A5.(2024中心民族高校附屬中學(xué)高一月考)在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且b2+c2=a2+bc,則角A的大小為.

解析因?yàn)閎2+c2=a2+bc,由余弦定理得cosA=b2因?yàn)锳為△ABC的內(nèi)角,所以A=60°.答案60°6.(2024北京人大附中高三開(kāi)學(xué)考試)在△ABC中,a=3,b=13,B=60°,則c=,△ABC的面積為.

解析由余弦定理,得9+c2-2×3c×12=13,解得c=4;由三角形的面積公式,得S=12acsinB=12×3×4×32答案433實(shí)力提升練1.若△ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)應(yīng)的邊a,b,c滿(mǎn)意(a+b)2-c2=4,且C=60°,則ab的值為()A.8-43 B.1 C.43 D.解析因?yàn)椤鰽BC的邊a,b,c滿(mǎn)意(a+b)2-c2=4,所以c2=(a+b)2-4=a2+b2+2ab-4.又C=60°,由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC=a2+b2-ab,所以2ab-4=-ab,所以ab=43.故選C答案C2.(2024四川閬中中學(xué)高三月考(理))在解三角形的問(wèn)題中,其中一個(gè)比較困難的問(wèn)題是如何由三角形的三邊a,b,c干脆求三角形的面積.據(jù)說(shuō)這個(gè)問(wèn)題最早是由古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德解決的,他得到了海倫公式即S=p(p-a)(p-b)(p-c),其中p=12(a+b+c).我國(guó)南宋聞名數(shù)學(xué)家秦九韶(約1202—A.a+c+C.c2+a解析因?yàn)閏2+a2所以14(c2a2-答案C3.(2024北京清華附中高三月考(理))在△ABC中,A=60°,a=7,b=3,則c=.

解析由余弦定理可得,(7)2=32+c2-2×3c×12,整理得c2-3c+2=0,解得c=1或2答案1或24.(2024白城市第四中學(xué)高一月考)在鈍角三角形ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a,b,c,若a=1,b=3,則最大邊c的取值范圍是.

解析由題意知3-1<c<3+1,即2<c<4,又△ABC為鈍角三角形,C為最大邊,所以cosC<0,所以依據(jù)余弦定理得,a2+b2-c2<0,即c2>10,解得c>10.所以10<c<4,故最大邊c的取值范圍是(10,4).答案(10,4)5.(2024北京市第十三中學(xué)高三開(kāi)學(xué)考試)已知△ABC同時(shí)滿(mǎn)意下列四個(gè)條件中的三個(gè):①A=π3;②cosB=-23;③a=7;④b=(1)請(qǐng)指出這三個(gè)條件,并說(shuō)明理由;(2)求△ABC的面積.解(1)△ABC同時(shí)滿(mǎn)意①③④.理由如下:因?yàn)閏osB=-23<-12,且B∈(0,所以B>2π若△ABC同時(shí)滿(mǎn)意①②,則A+B>π,明顯不成立.所以△ABC只能同時(shí)滿(mǎn)意③,④.所以a>b,所以A>B,故△ABC不滿(mǎn)意②.故△ABC滿(mǎn)意①③④.(2)由余弦定理得,a2=b2+c2-2bccosA,即72=32+c2-2×3×c×12解得c=8或c=-5(舍去).所以△ABC的面積S=12bcsinA=63素養(yǎng)培優(yōu)練如圖,在地面上共線(xiàn)的三點(diǎn)A,B,C處測(cè)得一建筑物的仰角分別為30°,45°,60°,且AB=BC=60m,則建筑物的高度為多少?解設(shè)建筑物的高度為hm,由題圖知,PA=(2h)m,PB=(2h)m,PC=23在△PBA和△PBC中,分