廣西壯族自治區(qū)玉林市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期1月期末教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題姓名：__________班級：__________考號：__________題號一二三四總分評分一、?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的.1．已知等比數(shù)列{an}中，aA．±2 B．1 C．2 D．42．已知曲線C：x22+A．(?1，+∞) B．(?∞，?1) C．3．如圖，在四面體OABC中，N是BC的中點.設(shè)OA=a，OB=b，OC=c，用a，A．AN=a+C．AN=?a+4．已知點A(0，3)，B(0，A．||MB|?C．|MB|?|MA|=5 D．|MB|?|MA|=85．若直線l在x軸?y軸上的截距相等，且直線l將圓x2+yA．x+y+1=0 B．x+y?1=0C．x+y+1=0或2x+y=0 D．x+y?1=0或2x+y=06．已知拋物線C：y2=2x的焦點為F，準(zhǔn)線l與x軸的交點為M，點P在拋物線上，且A．14 B．12 C．17．南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法》中有如下俯視圖所示的幾何體，后人稱之為“三角垛”.其最上層有1個球，第二層有3個球，第三層有6個球，第四層有10個球，…，則第三十五層球的個數(shù)為（）A．561 B．595 C．630 D．6668．已知F1，F(xiàn)2是雙曲線C1：x2a2?y2b2=1(A．53 B．55 C．12二、?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9．已知空間向量a=(2A．|a|=9 C．cos?a，b10．已知拋物線y2=4x的焦點為F，過點F的直線l交拋物線于A．拋物線的焦點坐標(biāo)是(2B．焦點到準(zhǔn)線的距離是2C．若點P的坐標(biāo)為(2，1)，則D．若Q為線段MN中點，則Q的坐標(biāo)可以是(311．?dāng)?shù)列{an}的前n項和為SA．{an}是遞減數(shù)列C．當(dāng)n>5時，an<0 D．當(dāng)n=4或5時，12．過點P(1，0)作兩條相互垂直的射線與圓O：x2A．165 B．4 C．5 三、?填空題：本題共4小題，包小題5分，共20分13．直線l1：x+(1+m)y=2?m與直線l214．?dāng)?shù)列{an}的前n項和為Sn，若a15．已知直線l：x+y+1=0經(jīng)過橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦點F16．在△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，BC=5，P為邊AB上的動點，沿CP將△ACP四、?解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程和演算步驟.17．已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a2=0，且▲在（注：如果選擇多個條件分別解答，則按第一個解答給分）（1）求數(shù)列{a（2）設(shè)bn=an+2a18．如圖，在正方體ABCD?A1B1C（1）求證：D1M∥平面（2）求點D1到平面B19．已知雙曲線C：x2a2（1）求雙曲線C的方程；（2）若點M(?1，0)，過雙曲線的右焦點F的直線l交雙曲線于A、B.以AB為直徑的圓是否恒過點20．如圖，在四棱錐P?ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，∠ADC=90°，AD∥BC，AB⊥AC，（1）求證，平面PAB⊥平面PAC；（2）若直線PC與平面PAB所成的角為60°，求二面角21．如圖，四邊形MNPQ是一塊長方形綠地，MQ=3km，MN=2km，RS是一條直路，交MN于點R，交MQ于點S，且MR=SQ=1km.現(xiàn)在該綠地上建一個標(biāo)志性建筑物，使建筑物的中心到P，R，S三個點的距離相等.以點（1）求出建筑物的中心C的坐標(biāo)；（2）由建筑物的中心到直路RS要開通一條路，已知路的造價為150萬元/km（附：參考數(shù)據(jù)2≈122．定義：若無窮數(shù)列{an}滿足{an+1?an}是公比為q（1）若b2=4，且數(shù)列{bn}（2）若數(shù)列{bn}是“M(2)數(shù)列”，是否存在正整數(shù)

答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】解：因為{an}為等比數(shù)列，所以an=a1qn-1.即a7=a1q6.

代入值得q6=4，q3=2或-2.a4=q3=2或-2.

故答案為：A

【分析】本題主要考查等比數(shù)列的基本計算.2．【答案】D【解析】【解答】解：根據(jù)焦點在x軸上的橢圓的性質(zhì)可知2>1-m>0，解得m∈-1，1，

3．【答案】D【解析】【解答】解：由N是BC的中點，可知ON=所以AN=故答案為：D.【分析】本題利用空間向量的線性運算直接得解.4．【答案】B【解析】【解答】解：因為雙曲線焦點在y軸上且只有下支，M點在下支上，A，B為雙曲線的焦點。所以M點到A的距離比M點到B點的距離更大。所以|MA|>|MB|，又由雙曲線的定義可得a<c，故答案為：B

【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合雙曲線的定義，即可求解．5．【答案】C【解析】【解答】解：若直線l在兩坐標(biāo)軸上的截距為0，則設(shè)直線的方程為y=kx，

由題意直線過圓心（1，-2）將坐標(biāo)代入直線方程可得2x+y=0.

若截距不等于0，設(shè)l方程為x+y=a，將圓心坐標(biāo)代入得到直線方程為x+y+1=0.

故答案為：C

【分析】先假設(shè)直線的方程，求出圓心，將圓心坐標(biāo)帶入直線方程即可.6．【答案】B【解析】【解答】解：根據(jù)拋物線的定義知點P到焦點F的距離等于點P到準(zhǔn)線l：x=-12的距離，

過P作l的垂線，垂足為N，所以PF=PN，又因為PM=2PF，

所以在直角三角形PMN中，PM=2PN，所以可得到三角形PMN為等腰直角三角形.

即可得到?PMN??PMF，又MF=1，所以7．【答案】C【解析】【解答】解：由題意可知，a1=1，a2=3=1+2，a3=1+2+3=6，故an=1+2++n=n(n+1)2，

所以a35=35×362=630，

8．【答案】A【解析】【解答】解：由題意設(shè)雙曲線實軸長為2a1，虛軸長為2b1，橢圓的長軸長為2a，短軸長為2b.

設(shè)|PF1|=m，|PF2|=n，由橢圓及雙曲線定義可知：m+n=2a，m-n=2a1，

兩式相加得m=a+a1.兩式相減得n=a-a1.又因為PF1⊥PF2，且O，M分別為PF1和F1F2的中點，

所以O(shè)M為?PF1F2的中位線，所以O(shè)M⊥PF1.

點F1到漸近線的距離d=MF1=b1.所以m=2b1，n=2a1，由定義解得a=3a1，

又因為PF1⊥PF2，可得m2+n2=4c2.所以（a+a1)2+（a-a1)2=4c2.

聯(lián)立兩式得109a2=2c2.解得e=9．【答案】A,B,D【解析】【解答】解：因為|a?|=22+（-1）2+22=9=3所以A不正確。

2a10．【答案】B,D【解析】【解答】解：因為拋物線y2=4x的焦點為F，所以焦點為F1,0，所以A錯；

因為拋物線的準(zhǔn)線為：x=-1，所以，焦點到準(zhǔn)線的距離是2，所以B對；

因為點P的坐標(biāo)為(2，1)，所以點P在拋物線內(nèi)部，由拋物線定義可得MF為點M到準(zhǔn)線的距離，

則|MP|+|MF|的最小值為點P到準(zhǔn)線的距離，即|MP|+|MF|的最小值為3，所以C錯；

假設(shè)點Q的坐標(biāo)是(3，2)，設(shè)點Mx1,y1,Nx2,y2,因為Q為線段MN中點，

所以x1+x22=3，y1+y22=2,即x1+x11．【答案】A,C,D【解析】【解答】解：因為數(shù)列an的前n項和為Sn=9n-n2，當(dāng)n≥2，an=Sn-Sn-1=10-2n，

又a1=9-1=8也成立，所以a12．【答案】A,B,C【解析】【解答】解：如圖，

圓的圓心為0，0，半徑為3，圓的直徑為6，連接過圓心的直線的端點A與點P，

再連接PB，不存在AP⊥BP的情況，否則點P在圓上，所以D錯；

當(dāng)AP⊥x軸時，AB>BP=4,所以B對；

當(dāng)AP與x軸正方向成45°角時，OA2=OP2+AP2-2OP×AP×cos135°,

13．【答案】1【解析】【解答】解：將兩直線方程化為一般式，因為兩直線平行，所以它們的斜率相等，且截距不相等，所以-11+m=-2m14．【答案】2024【解析】【解答】解：an=1nn+1=1n-115．【答案】23；【解析】【解答】解：設(shè)F1-c,0因為直線x+y+1=0過F1-c,0將點代入得c=1，又△MNF2周長為8，

由橢圓定義得4a=8，a=2，又因為a2=b2+c2得b=3，所以短軸長2b=23，

所以橢圓方程為x24+y16．【答案】2【解析】【解答】解：作A'D⊥CP于點D，連接BD，

設(shè)∠ACP=α，則∠PCB=π2-α,所以A'D=2sinα,CD=2cosα,

在△BCD中，由余弦定理可得BD2=CD2+BC2-2CD·BCcosπ2-α=4cos2α+25-10sin2α,

因為A'?CP?B為直二面角，所以，A'D⊥平面BCP,所以，A'D⊥BD,17．【答案】（1）設(shè)等差數(shù)列{an}的首項為a若選擇條件①S7=a解得a1∴若選擇條件②a1由題可得a1解得a1∴（2）由（1）知，選擇兩個條件中的任何一個，都有an=n?2∴=n(?1+n?2)【解析】【分析】（1）本題主要考查等差數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)及公式，選擇條件①，需要分別用等差數(shù)列的通項公式及數(shù)列的前n項和公式將a2和條件①展開成只含有a1和公差d的式子，求出a1和d的值代入通項公式an=a1+n-1d中即可得到結(jié)果。若選擇條件②，同樣將條件2和a218．【答案】（1）解法一：證明：以A為坐標(biāo)原點，AD所在直線為x軸，AB所在直線為y軸，AA1所在直線為∵B(0，∴設(shè)面BC1D∴a+c=0令a=1，則b=1，D1M?n∴D1解法二：如圖，連接D∵D1D∥B1DD1B1?平面BC1D，且D1B1∩D又M為AB1的中點，∴D1解法三：連接CD1交C1D交于點∵M(jìn)為平面ABB1A1的中心∵A1D1∵M(jìn)是A1B的中點，N是CD∴四邊形BMD1N∵D1M?平面BC（2）解法一：設(shè)D1到面BC1∴d=|解法二：設(shè)D1到面BCS由VD1?BC【解析】【分析】（1）第一問主要考查線面平行的內(nèi)容，解法一采取向量法，證明直線D1M所在的方向向量與平面BC1D的法向量垂直即可得到。解法二則是利用線面平行的判定定理，做輔助線在平面B19．【答案】（1）因為雙曲線的一條漸近線傾斜角為π3，所以故b=3a4a（2）雙曲線的右焦點為F2(2，0)，當(dāng)直線l斜率不為零時，設(shè)直線l的方程為：x=ty+2，設(shè)由x=ty+23x△>0恒成立，yMA(t即以AB直徑的圓恒過M點.當(dāng)直線l斜率為零時，此時以AB為直徑的圓為x2+綜上，以AB直徑的圓恒過M點.【解析】【分析】（1）第一問；將點代入雙曲線方程得到一個關(guān)于a,b的等式，由漸近線傾斜角得到關(guān)于a,b的另一個等式，兩式聯(lián)立解出a,b得到方程.

（2）第二問；分類討論直線l斜率為0時，顯然成立。當(dāng)直線斜率不為0時，假設(shè)直線方程為x=ty+2，假設(shè)出A，B兩點的坐標(biāo)x1,y1x20．【答案】（1）證明：∵PA⊥平面ABCD，AC?平面∴PA⊥AC，∵AB⊥AC，∵AC?平面PAC，∴平面PAB⊥平面（2）解法一：∵AB=AC=6，且AB⊥AC，∵AD∥BC，∵∠ADC=90∴AD=DC=32，取BC中點G，連接AG∴AG⊥BC，即AG⊥AD，由（1）可得PA⊥AG，以A為坐標(biāo)原點，AG所在直線為x軸，AD所在直線為y軸，AP所在直線為z軸建立如圖所示的坐標(biāo)系，由（1）可得，CA⊥平面PAB，∴∠APC為直線PC與平面PAB所成角，即∠APC=60∴AP=3又AE=2ED，所以A(0，∴EP設(shè)平面PBE的法向量為n=(a∴n⊥EP，n∵x軸⊥平面PAE，∴平面PAE的法向量設(shè)θ為二面角A?PE?B的平面角，且θ為銳角，∴cosθ=|m?n|解法二：∵AB=AC=6，且AB⊥AC，∵AD∥BC，∵∠ADC=90°，由（1）可得，CA⊥平面PAB，∴∠APC為直線PC與平面PAB所成角，即∴AP=33AC=2過B作BM垂直于DA的延長線交于M，過M作MN⊥PE交PE于N，則BM=3∵PA⊥平面ABCD，BM?又DA∩PA=A，∴BM⊥又∵M(jìn)N⊥PE，BM∩MN=M∴∠BNM為二面角A?PE?B的平面角∵PA⊥AE，由S△PME=1∴tan∠BNM=BMMN=32【解析】【分析】（1）第一問，利用面面垂直的判定定理即可得證.

（2）第二問：解法一采取向量法，求出兩個平面的法向量，求出兩個法向量的夾角，二面角和法向量夾角相等或互補，利用觀察法得到余弦值。解法二采取直接法，利用圖形作垂線找到二面角的平面角，求出三角形各邊邊長即可得到二面角的余弦值.21．【答案】（1）解法一：由題可知R(1，由題可知經(jīng)過點R，S，設(shè)圓C的方程為x2則1+D+F=04+2E+F=0解得D=?3E=?3∴圓C的方程為x2+y∴建筑物的中心的坐標(biāo)為C(3解法二：由題可知R(1，由題可知經(jīng)過點R，S，線段SP中點為(1，52)，且kSP線段RS中點為(12，1)，且kRS聯(lián)立y=?2x+92y=1（2）因為C(3設(shè)線段RS的中點為H，由垂徑定理得CH的長度為點C到RS的最小距離，∵|RS|=12+22∴點C到RS的距離為(10∴開通的這條路的最低造價為52【解析】【分析】（1）建筑物中心C即為過R，S，P三點的外接圓的圓心，將R，S，P三點的坐標(biāo)代入圓的方程，從而得到圓心C的坐標(biāo).

（2）當(dāng)這條路最短的時候造價最低