第1頁/共1頁2024北京牛欄山一中高一（上）期中數(shù)學(xué)一、單選題（每小題4分，共40分）1.若集合，，則（）A. B. C. D.2.如果，那么下列不等式中正確的是（）A. B.C. D.3.命題“，”的否定為（）A.， B.，C.， D.，4.下列函數(shù)中，既是其定義域上的單調(diào)函數(shù)，又是奇函數(shù)的是（）A. B. C. D.5.已知，，則是的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件6.已知，，且，則的最小值為（）A. B. C. D.7.函數(shù)的圖象大致為（）A. B.C. D.8.已知，則下列不等式一定成立的是（）.A. B. C. D.9.已知函數(shù)在定義域上是單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.10.對于函數(shù)，若，則稱x為的“不動點”，若，則稱x為的“穩(wěn)定點”，記，，則下列說法錯誤的是（）A.對于函數(shù)，有成立B.若是二次函數(shù)，且A是空集，則B為空集C.對于函數(shù)，有成立D.對于函數(shù)，存在，使得成立二、填空題（每小題5分，共25分）11.函數(shù)的定義域為_____________.12.函數(shù)的值域為_____.13.已知，則__________．14.函數(shù)（且）的圖象必過定點的坐標(biāo)是______.15.設(shè)函數(shù).給出下列四個結(jié)論：①函數(shù)的值域是；②，有；③，使得；④若互不相等的實數(shù)滿足，則的取值范圍是.其中所有正確結(jié)論的序號是_________.三、解答題（共85分）16.已知集合，集合，集合.（1）求；（2）若，求的取值范圍.17.某公司計劃投資A，B兩種金融產(chǎn)品，根據(jù)市場調(diào)查與預(yù)測，A產(chǎn)品的利潤與投資金額x的函數(shù)關(guān)系為，B產(chǎn)品的利潤與投資金額x的函數(shù)關(guān)系為（注：利潤與投資金額單位：萬元）．現(xiàn)在該公司有100萬元資金，并全部投入A，B兩種產(chǎn)品中且均有投，其中x萬元資金投入A產(chǎn)品．（1）請把A，B兩種產(chǎn)品利潤總和y表示為x的函數(shù)，并直接寫出定義域；（2）在（1）的條件下，當(dāng)x取何值時才能使公司獲得最大利潤？18.已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)時，.（1）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，請根據(jù)條件將圖象補充完整，并寫出函數(shù)的解析式和單調(diào)遞減區(qū)間；（2）若關(guān)于的方程有個不相等的實數(shù)根，求實數(shù)的取值范圍．（只需寫出結(jié)論）（3）寫出解不等式的解集．19.已知（1）若當(dāng)時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍；（2）求關(guān)于的不等式的解集.20.已知函數(shù)是定義域為的奇函數(shù).（1）求函數(shù)的解析式；（2）用定義證明在定義域上是增函數(shù)；（3）求不等式的解集.21.已知集合（1）分別判斷、、是否屬于集合；（2）寫出所有滿足集合的不超過的正偶數(shù)；（3）已知集合，證明：“”是“”的充分不必要條件.

參考答案一、單選題（每小題4分，共40分）1.【答案】A【分析】根據(jù)并集運算直接求得結(jié)果.【詳解】因為，所以.故選：A.2.【答案】D【分析】特殊值判斷A、B、C；由不等式性質(zhì)判斷D.【詳解】若時，，，，即A、B、C錯；由，則恒成立，D對.故選：D3.【答案】C【分析】通過修改量詞和否定結(jié)論，即可得到命題的否定.【詳解】修改量詞，否定結(jié)論，可得原命題的否定為：.故選：C.4.【答案】D【分析】A選項，定義法得到不為奇函數(shù)；B選項，不滿足在定義域上單調(diào)；C選項，為非奇非偶函數(shù)；D選項，滿足在定義域上為單調(diào)函數(shù)，又是奇函數(shù)，D正確.【詳解】A選項，定義域為R，且，故不是奇函數(shù)，A錯誤；B選項，的定義域為，而在上單調(diào)遞減，故不在定義域上單調(diào)，B錯誤；C選項，的定義域為，不關(guān)于原點對稱，故為非奇非偶函數(shù)，C錯誤；D選項，的定義域為R，且，故為奇函數(shù)，且當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，又，故在定義域上單調(diào)遞增，為單調(diào)函數(shù)，D正確.故選：D5.【答案】B【分析】根據(jù)集合的包含關(guān)系判斷可得出結(jié)論.【詳解】因為，因此，是的必要不充分條件.故選：B.6.【答案】C【分析】將代數(shù)式與相乘，展開后利用基本不等式可求得的最小值.【詳解】因為，，且，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，即當(dāng)時，等號成立，故的最小值為.故選：C.7.【答案】A【分析】由題意首先確定函數(shù)的奇偶性，然后考查函數(shù)在特殊點的函數(shù)值排除錯誤選項即可確定函數(shù)的圖象.【詳解】由函數(shù)的解析式可得：，則函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于坐標(biāo)原點對稱，選項CD錯誤；當(dāng)時，，選項B錯誤.故選：A.【點睛】函數(shù)圖象的識辨可從以下方面入手：(1)從函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置．(2)從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢．(3)從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對稱性．(4)從函數(shù)的特征點，排除不合要求的圖象．利用上述方法排除、篩選選項．8.【答案】D【分析】利用不等式的性質(zhì)進(jìn)行推理分析即可.【詳解】由，兩邊同時除以得：，故A錯誤；由，兩邊同時乘以得：，故B錯誤；由，兩邊同時平方得：，故C錯誤；由，兩邊同時乘以得：，故D正確；故選：D.9.【答案】B【分析】根據(jù)分段函數(shù)和單調(diào)性相關(guān)知識直接求解.【詳解】因為函數(shù)在定義域上是單調(diào)函數(shù)，顯然函數(shù)在定義域上單調(diào)遞減，則，解得.故選：B10.【答案】D【分析】根據(jù)所給定義結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)一一判斷即可；【詳解】解：對于A：函數(shù)，，故A正確.對于B：若A是空集，則恒成立或恒成立.若恒成立，用代替x可得，同理可得，所以無解，即B為空集，故B正確.對于C：函數(shù)，設(shè)方程的解為，則，，即，因為函數(shù)在R上單調(diào)遞減，且，所以函數(shù)在R上單調(diào)遞增，且.又因為，所以是方程的唯一解，則，故C正確.對于D：函數(shù)，，，，故D錯誤.故選：D二、填空題（每小題5分，共25分）11.【答案】【分析】由函數(shù)有意義，列出不等式組求解即得.【詳解】函數(shù)有意義，則，解得且，所以函數(shù)的定義域為.故答案為：12.【答案】【分析】先求解出的值域，然后結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可求的值域.【詳解】令，則，因為在上單調(diào)遞減，所以，且當(dāng)時，，所以的值域為，故答案為：.13.【答案】【分析】在等式中，令可得的值.【詳解】在等式中，令，可得.故答案為：.14.【答案】【分析】令，計算出對應(yīng)的，則定點坐標(biāo)可知.【詳解】令，則，所以，所以圖象所過定點坐標(biāo)為.故答案為：.15.【答案】①③④【分析】對于①，利用二次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖像性質(zhì)畫出函數(shù)圖1，結(jié)合圖像即可判斷；對于②，舉反例排除即可；對于③，將問題轉(zhuǎn)化為與有交點，作出圖2即可判斷；對于④，結(jié)合圖1對進(jìn)行分析即可.【詳解】對于①，因為，所以由二次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖像性質(zhì)可畫出函數(shù)圖象，如圖1，由的圖像易知的值域是，故①正確；對于②，易得，，顯然在上并不單調(diào)遞增，所以②說法不成立，故②錯誤；對于③，假設(shè)存在，，則，即，即與有交點，作出圖像，如圖2，顯然假設(shè)成立，故③正確；對于④，由圖1易知，則，因為，所以，即，解得，所以，即的取值范圍是，故④正確；綜上：①③④正確.故答案為：①③④.三、解答題（共85分）16.【答案】（1）（2）或【分析】（1）先求解出一元二次不等式的解集為集合，再根據(jù)補集運算求解出，最后根據(jù)交集運算可求；（2）先根據(jù)條件分析出，然后討論和兩種情況，列出對應(yīng)不等式組，求解出結(jié)果.【小問1詳解】因為，解得或，所以或x>5，所以，因為，所以.【小問2詳解】因為，所以，當(dāng)時，成立，此時，即；當(dāng)時，若，則需，解得，綜上所述，的取值范圍是或.17.【答案】（1）（2）時，利潤最大.【分析】（1）A，B對于投資金額下的利潤求和得到總利潤的函數(shù)關(guān)系式即可；（2）結(jié)合函數(shù)式特點利用均值不等式求函數(shù)最值.【小問1詳解】由題意，萬元投入A產(chǎn)品，則萬元投入B產(chǎn)品，則，.【小問2詳解】由（1）得，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，所以當(dāng)時，公司利潤最大.18.【答案】（1）答案見解析（2）（3）【分析】（1）利用奇函數(shù)的性質(zhì)，即可畫出函數(shù)的圖象，再根據(jù)圖象求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；利用函數(shù)是奇函數(shù)，求函數(shù)的解析式；（2）利用數(shù)形結(jié)合，轉(zhuǎn)化為y=fx與的圖象有個交點，從而得解；（3）分，兩種情況，數(shù)形結(jié)合可得出原不等式的解集.【小問1詳解】解：因為是定義在R上的奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點對稱，則補充圖象如圖，結(jié)合圖象可知，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為和1,+∞．因為當(dāng)時，，所以當(dāng)時，，所以，因為是定義在R上的奇函數(shù)，所以，所以當(dāng)時，，故的解析式為.【小問2詳解】解：因為有個不相等的實數(shù)根，等價于y=fx與的圖象有個交點，結(jié)合（1）中y=fx的圖象可知，當(dāng)時，y=fx與的圖象有個交點，所以.【小問3詳解】解：當(dāng)時，可得，結(jié)合圖象可得；當(dāng)時，可得，結(jié)合圖象可得.綜上所述，不等式的解集為.19.【答案】（1）（2）答案見解析【分析】（1）將問題轉(zhuǎn)化為“x∈2,4時，”，利用基本不等式求解出最小值，由此可求的范圍；（2）先化簡不等式，然后根據(jù)與的關(guān)系進(jìn)行分類討論，由此求解出不等式的解集.【小問1詳解】因為x∈2,4時，恒成立，所以x∈2,4時，恒成立，所以x∈2,4時，即可，因為，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以，所以，所以的取值范圍是.【小問2詳解】，當(dāng)，即時，此時不等式為和，解集為；當(dāng)或時，此時，的解集為；當(dāng)或時，此時，的解集為；綜上所述，時，解集為；時，解集為；時，解集為.20.【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）．【分析】（1）由奇偶性的函數(shù)的定義域關(guān)于0對稱求得，由奇函數(shù)的性質(zhì)求得得解析式；（2）根據(jù)單調(diào)性的定義證明；（3）由單調(diào)性的性質(zhì)及定義域列不等式組求解．【小問1詳解】由題意，，，又，滿足題意．所以；【小問2詳解】設(shè)任意的且，，又，所以，所以，，所以在定義域上是增函數(shù)；【小問3詳解】由（2）得，解得．解集為．21.【答案】（1）、、都屬于集合，理由見解析（2）、、（3）證明見解析【分析】（1）根據(jù)集合中元素的特征判斷即可；（2）由集合的描述：，討論、同奇或同偶、一奇一偶，即可確定的奇偶性，進(jìn)而寫出所有滿足集合的不超過的正偶數(shù)；（3）由，即可得到充分性成立，再利用特殊值判斷必要性不成立.【小問1詳解】解：因為，，，所以，、、都