直線上的隨機(jī)游動(dòng)問題研究目錄TOC\o"1-2"\h\u3781直線上的隨機(jī)游動(dòng)問題研究 180431一維簡單隨機(jī)游動(dòng) 149901.1簡單隨機(jī)游動(dòng)的轉(zhuǎn)移概率 4225021.2簡單隨機(jī)游動(dòng)的概率分布 4124732直線上帶吸收壁的隨機(jī)游動(dòng) 5236282.1帶吸收壁的隨機(jī)游動(dòng)的轉(zhuǎn)移概率 5324802.2帶吸收壁的隨機(jī)游動(dòng)的吸收概率 643303具體應(yīng)用 7287833.1兩種方案的比較評估 7184661、模型分析 7308942、應(yīng)用實(shí)例 812494所以 1064233.2股票漲跌概率 159332參考文獻(xiàn) 17摘要：隨機(jī)游動(dòng)是隨機(jī)過程中的一個(gè)重要研究對象，它在排隊(duì)論、更新過程、擴(kuò)散過程等領(lǐng)域均有著廣泛的應(yīng)用，因而受到人們的極大關(guān)注。本文對隨機(jī)游動(dòng)的若干應(yīng)用進(jìn)行了探討。由于隨機(jī)游動(dòng)的應(yīng)用眾多，所以我們以其中的直線上、平面上的隨機(jī)游動(dòng)為代表，歸納了它們在無限制及帶吸收壁狀態(tài)下的轉(zhuǎn)移概率、概率分布和吸收概率。在應(yīng)用上，直線上的隨機(jī)游動(dòng)以兩種方案的比較評估和股票漲跌概率為例，運(yùn)用馬爾科夫鏈和帶吸收壁的吸收概率等知識解決問題。關(guān)鍵詞：隨機(jī)游動(dòng)；馬爾科夫鏈；轉(zhuǎn)移概率；概率分布1一維簡單隨機(jī)游動(dòng)假設(shè)一質(zhì)點(diǎn)在數(shù)軸的整點(diǎn)上左右運(yùn)動(dòng)，每隔一個(gè)單位時(shí)間移動(dòng)一次，并且每次只能以概率向右移動(dòng)一個(gè)單位，或以概率向左移動(dòng)一個(gè)單位，每次移動(dòng)的過程相互獨(dú)立，我們把質(zhì)點(diǎn)以這種方式運(yùn)動(dòng)的過程稱為直線上的隨機(jī)游動(dòng)。當(dāng)質(zhì)點(diǎn)可以在整個(gè)數(shù)軸的整點(diǎn)上隨機(jī)游動(dòng)時(shí)，稱為無限制的隨機(jī)游動(dòng)，即簡單隨機(jī)游動(dòng)。當(dāng)時(shí)，稱該隨機(jī)游動(dòng)為直線上的對稱隨機(jī)游動(dòng)。設(shè)表示時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)所在的位置，則是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，并且具有共同的分布。定義,，則稱是簡單隨機(jī)游動(dòng)，它的狀態(tài)空間為。其游動(dòng)過程如下圖2-1。pqn-1012i-1ii+1pqn-1012i-1ii+1圖2-1簡單隨機(jī)游動(dòng)的過程圖“有一類隨機(jī)過程，它具備所謂的‘無后效性’，即要確定過程將來的狀態(tài)，只要知道它此刻的情況就足夠了，不需要知道過去的狀態(tài)，這類過程稱為馬爾科夫過程”。當(dāng)馬爾科夫過程是離散狀態(tài)時(shí)稱為馬爾科夫鏈，隨機(jī)游動(dòng)就是離散狀態(tài)下的馬爾科夫過程。下面給出本文涉及到的馬爾科夫鏈的知識。設(shè)隨機(jī)過程，它的狀態(tài)空間，若對任意一個(gè)時(shí)刻，以及任意狀態(tài)，有，則稱為馬爾科夫鏈。當(dāng)馬爾科夫鏈的轉(zhuǎn)移概率只與，有關(guān)，而與無關(guān)時(shí)，即（該條件概率為馬爾科夫鏈的一步轉(zhuǎn)移概率），稱馬爾科夫鏈?zhǔn)驱R次的（時(shí)齊的），否則，稱為非齊次的（非時(shí)齊的）。另外，可以將轉(zhuǎn)移概率排成一個(gè)矩陣的形式，令，稱為轉(zhuǎn)移概率矩陣，簡稱為轉(zhuǎn)移矩陣，且其有如下性質(zhì)：(1)；(2)。稱狀態(tài)可達(dá)狀態(tài)，若存在使得，記為。若同時(shí)有狀態(tài)，則稱與互通，記為。（周期性）若集合非空，則稱它的最大公約數(shù)為狀態(tài)的周期。若，稱是周期的；若，稱是非周期的，并特別規(guī)定上述集合為空集時(shí)，稱的周期為無窮大。（常返性）對于任何狀態(tài)，，以記從出發(fā)經(jīng)步后首次到達(dá)的概率，則有，。令，若，稱狀態(tài)為常返狀態(tài)。若，稱為非常返狀態(tài)或瞬過狀態(tài)。對于常返態(tài)，定義，表示的是由出發(fā)再返回到所需的平均步數(shù)（時(shí)間），若，則稱為正常返態(tài)；若，則稱為零常返態(tài)，若正常返且是非周期的，則稱之為遍歷狀態(tài)。狀態(tài)為常返狀態(tài)當(dāng)且僅當(dāng)。對于不可約非周期的馬爾科夫鏈，若它是遍歷的，則是不變分布且是唯一的不變分布。1.1簡單隨機(jī)游動(dòng)的轉(zhuǎn)移概率一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在數(shù)軸上做無限制的隨機(jī)游動(dòng)，它的狀態(tài)是，雖然此狀態(tài)與馬爾科夫鏈的狀態(tài)不同，但是其本質(zhì)是相同的，當(dāng)時(shí)，等時(shí)刻后質(zhì)點(diǎn)所處的狀態(tài)只與有關(guān)，而與質(zhì)點(diǎn)在以前如何到達(dá)位置是完全無關(guān)的，所以它也是一個(gè)馬爾科夫鏈。其一步轉(zhuǎn)移概率為一步轉(zhuǎn)移矩陣為。1.2簡單隨機(jī)游動(dòng)的概率分布由上一節(jié)的內(nèi)容可知，當(dāng)時(shí)，表示次游動(dòng)之后，質(zhì)點(diǎn)離原點(diǎn)的距離為，即質(zhì)點(diǎn)在前次游動(dòng)的過程中，向右游動(dòng)的次數(shù)比向左游動(dòng)的次數(shù)多次。設(shè)質(zhì)點(diǎn)在前次游動(dòng)中向右移動(dòng)了次，向左移動(dòng)了次，則有，可以得到，因?yàn)椋紴檎麛?shù)，所以和必須是同奇偶性的。綜合上述，當(dāng)成立時(shí)，相當(dāng)于在前次游動(dòng)中有次向右移動(dòng)，有次向左移動(dòng)，由二項(xiàng)分布可以得到簡單隨機(jī)游動(dòng)的概率分布為。2直線上帶吸收壁的隨機(jī)游動(dòng)對于帶吸收壁的隨機(jī)游動(dòng)，可以分為帶一個(gè)吸收壁和兩個(gè)吸收壁的隨機(jī)游動(dòng)。帶一個(gè)吸收壁的隨機(jī)游動(dòng)是在與簡單隨機(jī)游動(dòng)相同游動(dòng)狀態(tài)的基礎(chǔ)上，多了一個(gè)條件，即質(zhì)點(diǎn)到達(dá)時(shí)，就停留在這個(gè)零狀態(tài)不再游動(dòng)。這個(gè)過程是一個(gè)齊次馬爾科夫鏈，其狀態(tài)空間為。其游動(dòng)過程如下圖2-2。qp×012i-1ii+1×qp×012i-1ii+1×圖2-2帶一個(gè)吸收壁的隨機(jī)游動(dòng)的過程圖相同的，若隨機(jī)游動(dòng)的狀態(tài)空間為，當(dāng)質(zhì)點(diǎn)到達(dá)時(shí)，就停留在這個(gè)狀態(tài)不再游動(dòng)，由于狀態(tài)0和為狀態(tài)空間的邊界，所以我們把這種過程稱為帶兩個(gè)吸收壁的隨機(jī)游動(dòng)。該過程也是一個(gè)齊次馬爾科夫鏈。其游動(dòng)過程如下圖2-3。×pq××pq××012i-1ii+1a-1a××012i-1ii+1a-1a×圖2-3帶兩個(gè)吸收壁的隨機(jī)游動(dòng)的過程圖2.1帶吸收壁的隨機(jī)游動(dòng)的轉(zhuǎn)移概率首先討論帶一個(gè)吸收壁的隨機(jī)游動(dòng)。一個(gè)質(zhì)點(diǎn)進(jìn)行帶一個(gè)吸收壁的隨機(jī)游動(dòng)，它的狀態(tài)是，其一步轉(zhuǎn)移概率為，一步轉(zhuǎn)移矩陣為。其次討論帶兩個(gè)吸收壁的隨機(jī)游動(dòng)。一個(gè)質(zhì)點(diǎn)進(jìn)行帶兩個(gè)吸收壁的隨機(jī)游動(dòng)，它的狀態(tài)是，其一步轉(zhuǎn)移概率為，一步轉(zhuǎn)移矩陣為。2.2帶吸收壁的隨機(jī)游動(dòng)的吸收概率一質(zhì)點(diǎn)從軸上的某一點(diǎn)出發(fā)左右游動(dòng)，在和處各有一個(gè)吸收壁，當(dāng)?shù)竭_(dá)此處時(shí)，質(zhì)點(diǎn)被吸收不再游動(dòng)。則質(zhì)點(diǎn)被吸收的概率為,質(zhì)點(diǎn)被吸收的概率為，具體證明過程見2.3.2節(jié)。3具體應(yīng)用直線上的隨機(jī)游動(dòng)有眾多的應(yīng)用，下面給出兩個(gè)具體例子進(jìn)行討論。3.1兩種方案的比較評估在日常生活中，我們經(jīng)常需要對兩種不同的方案進(jìn)行比較評估，進(jìn)而選出較為合適的方案。對于這種情況，我們可以建立模型進(jìn)行比較。下面，我們給出模型分析和一個(gè)具體的應(yīng)用實(shí)例。1、模型分析設(shè)有，兩種方案，在這段相同的時(shí)間里，甲、乙兩人同時(shí)運(yùn)用方案，分別得到各自的結(jié)果，設(shè)為和。在這段時(shí)間中，甲繼續(xù)使用方案，乙換成使用方案，到時(shí)間后，同樣地分別統(tǒng)計(jì)各自的結(jié)果，設(shè)為和。結(jié)果可列成表2-1。表2-1甲在兩個(gè)時(shí)間段里使用A方案的結(jié)果A方案1x11x12x13···x1nA方案2x21x22x23···x2n表2-2乙在兩個(gè)時(shí)間段里使用A方案和B方案的結(jié)果A方案y11y12y13···y1nB方案y21y22y23···y2n按照表中數(shù)據(jù)，將結(jié)果分成合適的個(gè)等級，以表示時(shí)間段等級的數(shù)量，以表示由等轉(zhuǎn)到等的數(shù)量，由上述數(shù)據(jù)可以得到轉(zhuǎn)移概率矩陣,轉(zhuǎn)移矩陣也是類似。然后運(yùn)用馬爾科夫鏈的性質(zhì)，得出平穩(wěn)方程，經(jīng)過計(jì)算，就可以得到兩種方案的評估結(jié)果。2、應(yīng)用實(shí)例現(xiàn)有同品牌的兩家奶茶店，我們把這兩家奶茶店簡稱為甲、乙，它們位于人流量差不多的兩個(gè)地方。第一個(gè)月，甲、乙兩家店都運(yùn)用以往的銷售模式進(jìn)行銷售，每天統(tǒng)計(jì)各自的銷售量。第二個(gè)月，甲店還是運(yùn)用一樣的銷售模式不變，乙店更改為銷售模式，即將每款奶茶的價(jià)格稍稍上漲，但是進(jìn)行買二送一活動(dòng)，一個(gè)月后，同樣統(tǒng)計(jì)各自的銷售量。兩家店兩個(gè)月的銷售量如下表2-3和表2-4所示：表2-3甲店在A銷售模式下兩個(gè)月的銷售量（單位：杯）A模式1197190188165188190136184171170154180173184190A模式2162179164186161150152160170160130147182162172A模式1174180160114174146176172168186174185170184166A模式2183156156128177144178175174190168186161190157表2-4乙店在兩種銷售模式下兩個(gè)月的銷售量（單位：杯）A模式152165182190148170196137164179110156176156160B模式168173160166169164174178176171127136164142163A模式154182166189132140143178176151170144149159169B模式151169140176141162172166172160163150157166173試問兩種方案哪一種能帶來更大的銷售量？因?yàn)槟滩璧甑匿N售量是隨機(jī)的，屬于隨機(jī)游動(dòng)問題，所以我們可以運(yùn)用馬爾科夫鏈的知識解決該問題。首先將銷售量按照180及以上，160~179，140~159，120~139，120以下分為1、2、3、4、5五個(gè)等級，以表示第一個(gè)月等級的天數(shù)，以表示由等轉(zhuǎn)到等的天數(shù)，。由以上數(shù)據(jù)可以求得，甲店在銷售模式下第二個(gè)月平均銷售量為165杯，乙店在銷售模式下第二個(gè)月平均銷售量為162杯，似乎銷售模式更好，但是由于兩家店之前的銷售情況有所不同，因此不能這樣簡單下結(jié)論。于是我們運(yùn)用馬爾科夫鏈知識，由上述數(shù)據(jù)可得轉(zhuǎn)移概率矩陣如下，。①②①②③④⑤1111圖2-4甲馬爾科夫鏈①①②③④⑤1111圖2-5乙馬爾科夫鏈先討論甲店的情況，對于狀態(tài)，因?yàn)?，，，，，所以狀態(tài)為非常返狀態(tài)。而，，對于，它們的最大公約數(shù)為1，即，狀態(tài)非周期，所以總的來說，為非常返非周期狀態(tài)。對于狀態(tài)，因?yàn)?，，，，，所以狀態(tài)為非常返狀態(tài)。而，，，對于，它們的最大公約數(shù)為1，即，狀態(tài)非周期，所以總的來說，為非常返非周期狀態(tài)。對于狀態(tài)，因?yàn)?，，，所以狀態(tài)為常返狀態(tài)。又因?yàn)?，狀態(tài)為正常返。另外，，，對于，它們的最大公約數(shù)為1，即，狀態(tài)非周期，所以總的來說，為正常返非周期，即遍歷狀態(tài)。對于狀態(tài)，因?yàn)?，，，，，所以狀態(tài)為常返狀態(tài)。又因?yàn)椋厦鎯墒较鄿p得到得到，狀態(tài)為正常返。另外，，，，，對于，它們的最大公約數(shù)為1，即，狀態(tài)非周期，所以總的來說，為正常返非周期，即遍歷狀態(tài)。對于狀態(tài)，因?yàn)樵谌我獾臈l件下，，所以我們不討論其周期性。又因?yàn)椋誀顟B(tài)為非常返狀態(tài)。綜合上述情況，，所以是非常返非周期互通狀態(tài)集，是遍歷狀態(tài)集，是非常返狀態(tài)集。因?yàn)槭潜闅v狀態(tài)集，則它的不變分布滿足，解得，所以最終概率分別為，，，即有最終分布。對于乙店，用相同的方法可以得到：、是非常返狀態(tài)集，是遍歷狀態(tài)集。因?yàn)槭潜闅v狀態(tài)集，則它的不變分布滿足，解得，所以最終概率分別為，，，，即有最終分布。由上所示，如果按照現(xiàn)在的銷售情況繼續(xù)下去，最終銷售模式所記銷售量為1，2，3，4，5五個(gè)等級的概率分別為，而銷售模式的概率分別為。如果五個(gè)等級分別以190，170，150，130，60取中值，則，兩種銷售模式所售奶茶數(shù)量分別為，由上述可知，銷售模式的銷售量明顯低于銷售模式。當(dāng)然，銷售量的多少除了與銷售模式有關(guān)外，還與其他種種因素有關(guān)，但是，如果其他因素都相同，就這兩個(gè)月的銷售量來看銷售模式比銷售模式好。3.2股票漲跌概率隨機(jī)游動(dòng)可以運(yùn)用于許多方面，其中一方面可以運(yùn)用于股票問題。下面探討隨機(jī)游動(dòng)在股票問題中的應(yīng)用，給出問題分析、模型建立及求解?！霸O(shè)某種股票的股價(jià)波動(dòng)如同簡單隨機(jī)游動(dòng)，每天上漲的概率為，小王在股價(jià)為10元時(shí)買入該股票，他的目標(biāo)是在股價(jià)跌到5元之前漲到15元，考慮股價(jià)跌到5元之前漲到15元的概率”。1、問題分析該問題可轉(zhuǎn)化為帶兩個(gè)吸收壁的隨機(jī)游動(dòng)問題，我們把股票的價(jià)格當(dāng)成一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，該質(zhì)點(diǎn)從軸的某一點(diǎn)出發(fā)，隨機(jī)地在直線上游動(dòng)，每次股票上漲即質(zhì)點(diǎn)向右移動(dòng)一個(gè)單位的概率為，股票下跌即質(zhì)點(diǎn)向左移動(dòng)一個(gè)單位的概率為。當(dāng)質(zhì)點(diǎn)游動(dòng)到或時(shí)，被吸收壁和吸收，停止游動(dòng)。則該問題轉(zhuǎn)化為求質(zhì)點(diǎn)從出發(fā)游動(dòng)到吸收壁被吸收的概率。模型建立及求解由上述問題分析，我們顯然可以得到，。為了簡單起見，記，由全概率公式，可以得到=（2-1）因?yàn)?，所以式?-1）可改寫成，整理后得到，這里令，，于是得到，此時(shí)，從而有===（2-2）因?yàn)椋?，所以?dāng)時(shí)，由式（2-2）可推出，即，因此可以得到（2-3）整理上述問題的數(shù)據(jù)，有代入式（2-3）得到，即股價(jià)跌到5元之前漲到15元的概率為0.73。參考