課時作業(yè)23解三角形應用舉例一、選擇題1．(2018·武漢三中月考)如圖，兩座燈塔A和B與海岸觀察站C的距離相等，燈塔A在觀察站南偏西40°方向上，燈塔B在觀察站南偏東60°方向上，則燈塔A在燈塔B的()A．北偏東10°方向上B．北偏西10°方向上C．南偏東80°方向上D．南偏西80°方向上解析：由條件及題圖可知，∠A＝∠ABC＝40°，因為∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°，因此燈塔A在燈塔B南偏西80°方向上．答案：D2．如圖，飛機的航線和山頂在同一個鉛垂面內(nèi)，若飛機的高度為海拔18km，速度為1000km/h，飛行員先看到山頂?shù)母┙菫?0°，經(jīng)過1min后又看到山頂?shù)母┙菫?5°，則山頂?shù)暮０胃叨葹?精確到0.1km)()A．11.4kmB．6.6kmC．6.5kmD．5.6km解析：∵AB＝1000×1000×eq\f(1,60)＝eq\f(50000,3)m，∴BC＝eq\f(AB,sin45°)·sin30°＝eq\f(50000,3\r(2))m.∴航線離山頂h＝eq\f(50000,3\r(2))×sin75°≈11.4km.∴山高為18－11.4＝6.6km.答案：B3．某船開始看見燈塔在南偏東30°方向，后來船沿南偏東60°的方向航行15km后，看見燈塔在正西方向，則這時船與燈塔的距離是()A．5kmB．10kmC．5eq\r(3)kmD．5eq\r(2)km解析：作出示意圖(如圖)，點A為該船開始的位置，點B為燈塔的位置，點C為該船后來的位置，所以在△ABC中，有∠BAC＝60°－30°＝30°，B＝120°，AC＝15，由正弦定理，得eq\f(15,sin120°)＝eq\f(BC,sin30°)，即BC＝eq\f(15×\f(1,2),\f(\r(3),2))＝5eq\r(3)，即這時船與燈塔的距離是5eq\r(3)km.答案：C4．在四邊形ABCD中，∠B＝∠C＝120°，AB＝4，BC＝CD＝2，則該四邊形的面積等于()A．7eq\r(3)B．6eq\r(3)C．5eq\r(3)D.eq\r(3)解析：如圖，取AB中點G，連接DG，則DG∥BC，∠AGD＝120°.分別過B，C作DG的垂線，可求得BE＝CF＝eq\r(3)，DG＝4，所以四邊形面積S＝S△AGD＋S四邊形GBCD＝eq\f(1,2)AG×DG×sin120°＋eq\f(1,2)×(DG＋BC)×BE＝5eq\r(3).答案：C5．如圖，在離地面高400m的熱氣球上，觀測到山頂C處的仰角為15°，山腳A處的俯角為45°，已知∠BAC＝60°，則山的高度BC為()A．700mB．640mC．600mD．560m解析：根據(jù)題意，可得在Rt△AMD中，∠MAD＝45°，MD＝400，所以AM＝eq\f(MD,sin45°)＝400eq\r(2).因為△MAC中，∠AMC＝45°＋15°＝60°，∠MAC＝180°－45°－60°＝75°，所以∠MCA＝180°－∠AMC－∠MAC＝45°，由正弦定理，得AC＝eq\f(MAsin∠AMC,sin∠MCA)＝eq\f(400\r(2)×\f(\r(3),2),\f(\r(2),2))＝400eq\r(3)，在Rt△ABC中，BC＝ACsin∠BAC＝400eq\r(3)×eq\f(\r(3),2)＝600(m)．答案：C二、填空題6．(2018·福州畢業(yè)班檢測)在距離塔底分別為80m,160m,240m的同一水平面上的A，B，C處，依次測得塔頂?shù)难鼋欠謩e為α，β，γ.若α＋β＋γ＝90°，則塔高為________m.解析：本題考查三角恒等變換．設(shè)塔高為hm，則tanα＝eq\f(h,80)，tanβ＝eq\f(h,160)，tanγ＝eq\f(h,240).又由α＋β＋γ＝90°，得tan(α＋β)＝tan(90°－γ)＝eq\f(1,tanγ)，則eq\f(\f(h,80)＋\f(h,160),1－\f(h2,80×160))＝eq\f(240,h)，解得h＝80.本題的突破點是利用兩角和的正切公式建立方程．答案：807．如圖，一棟建筑物的高為(30－10eq\r(3))m，在該建筑物的正東方向有一個通信塔CD.在它們之間的地面點M(B，M，D三點共線)處測得樓頂A，塔頂C的仰角分別為15°和60°，在樓頂A處測得塔頂C的仰角為30°，則通信塔CD的高為________m.解析：在Rt△ABM中，AM＝eq\f(AB,sin∠AMB)＝eq\f(30－10\r(3),sin15°)＝eq\f(30－10\r(3),sin45°－30°)＝eq\f(30－10\r(3),\f(\r(6)－\r(2),4))＝20eq\r(6).易知∠MAC＝30°＋15°＝45°，又∠AMC＝180°－15°－60°＝105°，從而∠ACM＝30°.在△AMC中，由正弦定理得eq\f(MC,sin45°)＝eq\f(20\r(6),sin30°)，解得MC＝40eq\r(3).在Rt△CMD中，CD＝MC×sin60°＝60，故通信塔CD的高為60m.答案：608．(2018·惠州市第三次調(diào)研考試)如圖所示，在一個坡度一定的山坡AC的頂上有一高度為25m的建筑物CD，為了測量該山坡相對于水平地面的坡角θ，在山坡的A處測得∠DAC＝15°，沿山坡前進50m到達B處，又測得∠DBC＝45°，根據(jù)以上數(shù)據(jù)可得cosθ＝________.解析：由∠DAC＝15°，∠DBC＝45°可得∠BDA＝30°，∠DBA＝135°，∠BDC＝90°－(15°＋θ)－30°＝45°－θ，由內(nèi)角和定理可得∠DCB＝180°－(45°－θ)－45°＝90°＋θ，根據(jù)正弦定理可得eq\f(50,sin30°)＝eq\f(DB,sin15°)，即DB＝100sin15°＝100×sin(45°－30°)＝25eq\r(2)(eq\r(3)－1)，又eq\f(25,sin45°)＝eq\f(25\r(2)\r(3)－1,sin90°＋θ)，即eq\f(25,sin45°)＝eq\f(25\r(2)\r(3)－1,cosθ)，得到cosθ＝eq\r(3)－1.答案：eq\r(3)－1三、解答題9．(2018·河南六市聯(lián)考，17)如圖，在一條海防警戒線上的點A，B，C處各有一個水聲檢測點，B，C到A的距離分別為20千米和50千米，某時刻B收到來自靜止目標P的一個聲波信號，8秒后A，C同時接收到該聲波信號，已知聲波在水中的傳播速度是1.5千米/秒．(1)設(shè)A到P的距離為x千米，用x表示B，C到P的距離，并求出x的值；(2)求P到海防警戒線AC的距離．解析：(1)依題意，有PA＝PC＝x，PB＝x－1.5×8＝x－12.在△PAB中，AB＝20，cos∠PAB＝eq\f(PA2＋AB2－PB2,2PA·AB)＝eq\f(x2＋202－x－122,2x·20)＝eq\f(3x＋32,5x)，同理，在△PAC中，AC＝50，cos∠PAC＝eq\f(PA2＋AC2－PC2,2PA·AC)＝eq\f(x2＋502－x2,2x·50)＝eq\f(25,x).∵cos∠PAB＝cos∠PAC，∴eq\f(3x＋32,5x)＝eq\f(25,x)，解得x＝31.(2)作PD⊥AC于D，在△ADP中，由cos∠PAD＝eq\f(25,31)，得sin∠PAD＝eq\r(1－cos2∠PAD)＝eq\f(4\r(21),31)，∴PD＝PAsin∠PAD＝31×eq\f(4\r(21),31)＝4eq\r(21).故靜止目標P到海防警戒線AC的距離為4eq\10.在一次海上聯(lián)合作戰(zhàn)演習中，紅方一艘偵察艇發(fā)現(xiàn)在北偏東45°方向，相距12nmile的水面上，有藍方一艘小艇正以每小時10nmile的速度沿南偏東75°方向前進，若紅方偵察艇以每小時14nmile的速度，沿北偏東45°＋α方向攔截藍方的小艇．若要在最短的時間內(nèi)攔截住，求紅方偵察艇所需的時間和角α的正弦值．解析：如圖，設(shè)紅方偵察艇經(jīng)過x小時后在C處追上藍方的小艇，則AC＝14x，BC＝10x，∠ABC＝120°.根據(jù)余弦定理得(14x)2＝122＋(10x)2－240xcos120°，解得x＝2.故AC＝28，BC＝20.根據(jù)正弦定理得eq\f(BC,sinα)＝eq\f(AC,sin120°)，解得sinα＝eq\f(20sin120°,28)＝eq\f(5\r(3),14).所以紅方偵察艇所需要的時間為2小時，角α的正弦值為eq\f(5\r(3),14).[能力挑戰(zhàn)]11．(2018·黑龍江哈爾濱六中開學考試)“德是”號飛船返回艙順利到達地球后，為了及時將航天員救出，地面指揮中心在返回艙預計到達的區(qū)域安排了同一條直線上的三個救援中心(記為B，C，D)．當返回艙在距地面1萬米的P點時(假定以后垂直下落，并在A點著陸)，C救援中心測得飛船位于其南偏東60°方向，仰角為60°，B救援中心測得飛船位于其南偏西30°方向，仰角為30°，D救援中心測得著陸點A位于其正東方向．(1)求B、C兩救援中心間的距離；(2)求D救援中心與著陸點A間的距離．解析：(1)由題意知PA⊥AC，PA⊥AB，則△PAC，△PAB均為直角三角形在Rt△PAC中，PA＝1，∠PCA＝60°，解得AC＝eq\f(\r(3),3)，在Rt△PAB中，PA＝1，∠PBA＝30°，解得AB＝eq\r(3)，又∠CAB＝90°，BC＝eq\r(AC2＋BC2)＝eq\f(\r(30),3)萬米．