4.3.2（1）等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式

國際象棋起源于古印度．相傳國王要獎(jiǎng)賞國際象棋的發(fā)明者，問他想要什么．發(fā)明者說：“請(qǐng)?jiān)谄灞P的第1個(gè)格子里放上1顆麥粒，第2個(gè)格子里放上2顆麥粒，第3個(gè)格子里放上4顆麥?！来祟愅?，每個(gè)格子里放的麥粒數(shù)都是前一個(gè)格子里放的麥粒數(shù)的2倍，直到第64個(gè)格子．請(qǐng)給我足夠的麥粒以實(shí)現(xiàn)上述要求."

國王覺得這個(gè)要求不高，就欣然同意了.已知一千顆麥粒的質(zhì)量約為40g，據(jù)查，2016—2017年度世界小麥產(chǎn)量約為7.5億噸，根據(jù)以上數(shù)據(jù)，判斷國王是否能實(shí)現(xiàn)他的諾言.【情景引入】“請(qǐng)?jiān)谄灞P的第1個(gè)格子里放上1顆麥粒，第2個(gè)格子里放上2顆麥粒，第3個(gè)格子里放上4顆麥粒……依此類推，每個(gè)格子里放的麥粒數(shù)都是前一個(gè)格子里放的麥粒數(shù)的2倍，直到第64個(gè)格子．請(qǐng)給我足夠的麥粒以實(shí)現(xiàn)上述要求."【情景引入】各個(gè)格子里的麥粒數(shù)依次是：發(fā)明者要求的麥?？倲?shù)：等比數(shù)列等比數(shù)列前64項(xiàng)和S64

=1+21+22+……+261+262+263【思考1】觀察相鄰兩項(xiàng)的特征，有何聯(lián)系？如果我們把每一項(xiàng)都乘以2，就變成了與它相鄰的后一項(xiàng)【思考2】將上述①式兩邊同乘以2，得到②式，比較①、②兩式，你有什么發(fā)現(xiàn)？?jī)墒接疫呏虚g的一些項(xiàng)是相同的①

2S64

=②21+22+23+……+262+263+264由②–①

得：S64

=264–1

已知一千顆麥粒的質(zhì)量約為40g，據(jù)查，2016—2017年度世界小麥產(chǎn)量約為7.5億噸，根據(jù)以上數(shù)據(jù)，判斷國王是否能實(shí)現(xiàn)他的諾言.故國王不能實(shí)現(xiàn)他的諾言.【思考】上述方法能否推廣到求一個(gè)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和？縱觀全過程，①式兩邊為什么要乘以2？S64

=1+21+22+……+261+262+263①

2S64

=②21+22+23+……+262+263+264

【問題2】設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，求{an}的前n項(xiàng)和Sn.Sn

=a1+a2+a3+……+an-2

+an-1+an①乘公比錯(cuò)位排列②相減錯(cuò)位相減法一、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式

——用等比性質(zhì)推導(dǎo)一、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)欣賞

當(dāng)q≠1時(shí)，a1=a2=…=an當(dāng)q=1時(shí)，此時(shí)Sn=na1

——借助和式的代數(shù)特征進(jìn)行恒等變形當(dāng)q=1時(shí)，當(dāng)q≠1時(shí)，一、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)欣賞

若q未知，用公式時(shí)要考慮q是否為1

若q未知，用公式時(shí)要考慮q是否為1

若q未知，用公式時(shí)要考慮q是否為1

法1：若q未知，用公式時(shí)要考慮q是否為1法2：【問題3】你能發(fā)現(xiàn)等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式

的函數(shù)特征嗎？

二、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的函數(shù)特征

1.q≠1時(shí)，設(shè)，Sn=

，即Sn是n的指數(shù)型函數(shù).2.q=1時(shí)，因?yàn)閍1≠0，所以Sn=

，Sn是n的正比例型函數(shù).

na1注意點(diǎn)：等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)即qn的系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)

互為相反數(shù).【練習(xí)】數(shù)列{an}是等比數(shù)列，且其前n項(xiàng)和為Sn＝3n＋1－2k，則實(shí)數(shù)k＝____.【例2】Sn