2022-2023學(xué)年北師大八年級數(shù)學(xué)下冊精選壓軸題培優(yōu)卷

專題05勾股定理

一.選擇題（共10小題，滿分20分，每小題2分）

1.（2分）（2022秋?長安區(qū)校級期末）如圖，小巷左右兩側(cè)是豎直的墻，一架梯子斜靠在左墻時，梯子底

端到左墻角的距離員為0.7處梯子頂端到地面的距離/C為2.4加如果保持梯子底端位置不動，將梯子

斜靠在右墻時，梯子頂端到地面的距離為1.5處則小巷的寬為（）

A.2mB.2.5/77C.2.61nD.2.Im

解：在中，由勾股定理得：^=VAC2+BC2=>/2.42+0.72=2-5（加，

6=45=2.5米，

22=2

在雙△/'BD中,由勾股定理得：BD-B2_A/D2=^2.5-l.5（加，

Z.CD^BC+BD^2+Q.7=2.7（加，

即小巷的寬為2.7米，

故選：D.

2.（2分）（2022秋?城關(guān)區(qū)校級期末）以下列各組數(shù)為邊長，能構(gòu)成直角三角形的是（）

A.如、炳、巫B.a、y、Vsc.a、遍、VVD.加、M、V

解：力、（V2）2+（V3）2#（V6）2,不能構(gòu)成直角三角形；

B、（V3）2+（V4）2W（V5）2,不能構(gòu)成直角三角形；

a（V3）2+（V4）2=（7際）②，能構(gòu)成直角三角形，故本選項正確；

D、（V2）2+（V3）2六（JZ）2,不能構(gòu)成直角三角形.

故選：C.

3.（2分）（2022春?溫州校級月考）如圖，在口△/回中，ZC=90°,以回的三邊為邊向外做正方形

ACDE,正方形CBGF,正方形AHIB,連結(jié)6cCG,悴CPLCG交IH于點、P,記正方形/儂和正方形/次?

的面積分別為&,$,若&=4,$=7,則狐?：叢砂等于（）

A.2：V3B.4：3C.行V3D.7：4

解：如圖所示，過點尸作冏吐。，交%的延長線于點瓶作根。，交窗的延長線于點兒

由題可得，/BCG=45°,CP1CG,

:"BC—45°,

又?：NACB=9Q°,

AZACP=45°,即爐平分/應(yīng)況

又‘：PMLBC,PNLAC,

：.PM=PN,

,正方形4a定和正方形/以8的面積分別為耳，S2,且，=4,星=7,

二正方形6C%的面積=7-4=3,

正方形4。場和正方形aFG的面積之比為4：3,

：.AC-.BC=2：V3>

yXACXPN

AC=_2_

yXBCXPMBC不

即S1\ACP：S^BCP等千2：A/3-

故選：4

D

4.（2分）（2022春?海安市期中）《九章算術(shù)》中記載了一個“折竹抵地”問題今有竹高一丈，末折抵地，

去本三尺，問折者高幾何？題意是一根竹子原高1丈（1丈=10尺），中部有一處折斷，竹梢觸地面處

離竹根3尺，試問折斷處離地面多高？設(shè)折斷處離地面的高度為x尺，則可列方程為（）

A.4-3=（10-x）2B.y-32=（10-x）2

C./+3=（10-x）2D.^+32=（10-x）2

解：設(shè)折斷處離地面x尺，

根據(jù)題意可得：^+32=（10-x）2,

故選：D.

5.（2分）（2022春?南崗區(qū)校級期中）如圖，在四邊形岫力中，/ABC=9Q°,AB=\,BC=2,CD=2近,

A.V3+1B.4C.V5+1D.V15+1

解：連接4G

■:/ABC=90°,AB=\,BC=2,

AC=VAB2+BC2=Vl2+22=炳'

■.?浙26AD=Vl7>

ACff+A（?=（2愿）2+（遙）2=17,必=2=17,

，Cff+AC?^Aff,

.?.△45是直角三角形，

，四邊形ABCD的面積是：BC+^AC'CD=工X1X2+工義灰乂2芯=1+J15.

2222

故選：D.

6.（2分）（2022秋?榕城區(qū)期中）勾股定理是一個古老的數(shù)學(xué)定理，它有很多種證明方法，如圖所示四幅

幾何圖形中，不能用于證明勾股定理的是（）

解：A.根據(jù)圖形可知：S大正方形=4X，*ab+（b-a）2

=2a>A2-2a隊建

=岸+&,

??2

.S大正方形=c，

:,充+存=儀;故/選項不符合題意；

B.不能用于證明勾股定理，故方選項符合題意；

C.根據(jù)圖形可知：S大正方形=4x/x"+"=2a分",

S大正方形=（K力）2=加+2打"式

2ab+c2=4+2a＞仔,

：?4+/=",故。選項不符合題意；

D.根據(jù)圖形可知：S大正方形=",

S大正方形=工（加什a）XM—（界加a）Xa-2X—ab=^+tPf

222

???加+少=",故〃選項不符合題意，

故選：B.

7.（2分）（2022春?靜海區(qū)校級期中）如圖，在△/阿中，A〃LBC于點D,若46=17,劭=15,DC=6,則

ZC的長為（）

A.11B.10C.9D.8

解：-ADLBC,

：.ZADC=ZADB=90°.

9：AB=17,初=15,

?'?^=7AB2-BD2=8-

■:DC=6,4Q8,

?"?^^7AD2K;D2=10-

故選：B.

8.（2分）（2022春?康縣期末）若一個直角三角形的兩邊長為4和5,則第三邊長為（）

A.3B.V41C.8D.3或

解：當(dāng)5是直角邊時，則第三邊為：742+52=^41;

當(dāng)5是斜邊時，則第三邊為：752-42=3-

綜上所述，第三邊的長為3或VI，

故選：D.

9.（2分）（2022春?丹鳳縣期末）如圖，在△/回中，NC=90°,4C=3,BC=2,以46為一條邊向三角形

外部作正方形，則正方形的面積是（）

A.13B.12C.6D.3

解：在△/比'中，ZC=90°,AC=3,BC=2,

：.AB=AG+BG=32+22=13,

???正方形的面積=/9=13,

故選：A.

10.（2分）（2022春?朝天區(qū)期末）如圖，在四邊形/間9中，/DA4/BCA90。，分別以四邊形455的

四條邊為邊向外作四個正方形，面積分別為&,S2,S3,&.若&=48,$+￡=135,則￡=（）

解：由題意可知：Sr—Aff,￡=%?,S^Cff,Si=A[f-,

如圖，連接初，

在直角△/初和△氏力中，

Bff=Aff+Aff=Cff+BC-,

即6+￡=&+$,

因此&=135-48=87,

故選：B.

二.填空題（共11小題，滿分22分，每小題2分）

11.（2分）（2022秋?萊陽市期末）如圖，在△/回中，NC=90°,點2是以上的點，若劭=2,DC=3,

則四-M的值為16

:.BC=BD^DC=3,

在RtA48C與中，由勾股定理得：A吐AG+BG,Aff=AC?+Cff,

：.Aff-A〃=BG-3=52_32=16,

故答案為：16.

12.（2分）（2022秋?增城區(qū)期末）如圖，四邊形43切中，49=14,比'=10,CD=8,DA=6,其中

90°,則四邊形中的面積是7J百+24.

解：連接過點。作ZL/合于點￡,如圖所示:

9：ZD=90°,CD=8,%=6,

AACWAD^D^IO^

u：BC=10.

：.AC=BC,

?.,CELAB,

?'-AE=BE=yAB=7，

???NZ￡C=90°,

在中根據(jù)勾股定理得：CEWAC2-AE2=V102-72=Vsi,

???SAABC=yABxCE=yX14X^51=7451>SAACD-yXADXCD=yX6X8=24-

,,$四邊形ABCD=SAABC+^AACD=7V51+24

故答案為：7相+24

13.（2分）（2022春?鄂州期中）學(xué)習(xí)完《勾股定理》后，尹老師要求數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)測量學(xué)校旗桿的

高度.同學(xué)們發(fā)現(xiàn)系在旗桿頂端的繩子垂到了地面并多出了一段，但這條繩子的長度未知.如圖，經(jīng)測

量，繩子多出的部分長度為1米，將繩子沿地面拉直，繩子底端距離旗桿底端4米，則旗桿的高度為

7.5米.

解：設(shè)旗桿的長度為x米，則繩子的長度為：（x+1）米,

在Rt△/比'中，由勾股定理得：^+42=（x+1）2,

解得：x=7.5,

即：旗桿的高度為7.5米.

故答案為：7.5.

14.（2分）（2022春?丹江口市期末）如圖，已知，/MON=/BAC=9Q°,且點/在。/上運動，點6在小

上運動，若AB=8,然=6,則%的最大值為_4+2^13_.

MlC

AK/

0BN

解：取的中點￡,連接解CE,

：.AE=\,

在Rt△/四中，由勾股定理得，

CE=VAC2+AE2="+$2=2^13,

；NAOB=90°，點￡為的中點，

：.OE=-AB=i,

2

'：OC^OE+CE,

.?.當(dāng)點。、E、C共線時，宛■最大值為4+2后，

故答案為：4+2V13.

15.（2分）（2022春?武侯區(qū)校級期末）如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1,點4B,C,

D,尸都在格點上，連接"，CP,CD,則人g45°.

解：如圖所示：連接/￡,PE,

則△R7星AH尸，

所以/尸切=/協(xié)凡

二APAB-4PCANPAB-/EAF=/PAE,

??,由勾股定理得：4a=%=22+N=5,/^=32+y=10,

：.AP+Pff=Aff,

△陽￡是等腰直角三角形，

：.APAE=^>°,

即/用6-，

故答案為：45°.

16.（2分）（2022春?黔東南州期末）如圖Rt44以中，NABC=90°,BC=Q/C=5,分別以三邊為直

徑畫半圓，則兩月形圖案的面積之和（陰影部分的面積）是5

解：中，ZABC=9Qa,

由勾股定理得：AC2-BC2=、25-5=2炳，

AC

設(shè)以/反BC、為直徑的半圓分別即為①、②、③,

???兔=工兀X（嶇）2,

22

同理S@=^—B（｝,S（^=^-A（?,

88

??-S③,

***S陰影=尻）+%+宓胞-區(qū)）=S2ABe=BC-X2^5XV5=5.

故答案為：5.

17.（2分）（2022春?長汀縣期末）課堂上，王老師將一副標(biāo)準(zhǔn)三角板如圖放置，若龐=2,那么點4到比1

的距離為

D

E

解：作"'，歐于戶,

在RtZXMC中，/DCB=30°,

:.CD=2BD=4,

由勾股定理得，BC=Q￡|2_gp2_2y3）

'：ZA=9Q°,AB=AC,

：.AF=gBC=M,

即4點到用的距離為近，

故答案為：V3-

18.（2分）（2022春?寧鄉(xiāng)市期末）對角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形，現(xiàn)有如圖所示的“垂美”

四邊形力比2對角線4G初交于點。.若49=3,CD=2,則A〃+BG=13.

解：,:BD1AC,

：.4C0B=2A0B=/C0A驕,

在Rt△/必和Rt^a勿中，根據(jù)勾股定理得,

Bff+Aff=Aff=y=9,如+宓=切=22=4,

BO+A0+勿+宏=9+4=13,

?:Aa=DO+A0,BG=OG+B(},

初=13.

故答案為：13.

B

19.（2分）（2021春?大冶市期中）如圖，在正方形例成的對角線4C上取一點￡,使得應(yīng)=15°,連接

應(yīng)■并延長龐到凡使CF=CB,即與切相交于點〃若有下列四個結(jié)論：①/儂=15°；②

^=73+1；③/順=立二1；@CE+DE=EF.則其中正確的結(jié)論有①②④.（填序號）

：.BC=CD,/BCE=/DCE=45°.

'BC=DC

在位和△〃龍中，，ZBCE=ZDCE>

CE=CE

：./\BCE^/\DCE(SAS),

:"CBE=/CDE=\5°,故①正確；

②過〃作加_47于四

儂=15°,乙4%=90°,

；.24龐=75°,

?；/物￡=45°,

：.ZAED=6Q°,

:前=冊=娓,

:.AM—DM一與乂瓜=M，

:.ME=g^-DM=W^義痘=\,

33

：.AE=43+1,故②正確；

③根據(jù)勾股定理求出AC=243,

.：DM=M，EM=\,

'：ZDCA=^°,N4故=60°,

：.CM=43,

：.CE=CM-EM=M-1,

乂

：.SA0EC=^x(V3-l)，故③錯誤;

④在旗上取一點G,使EG=EC,連接CG,

,:BC=CF,

:"CBE=/F,

:.Z.CBE=Z.CDE=Z.F=\T.

.*./四6=60°.

,:CE=GE,

△位;是等邊三角形.

曲=60。,CE=GC,

：.AGCF=^°,

：.AECD=GCF.

fCE=GC

在△龍c和△6位中，，ZECD=ZGCF>

tCD=CF

:.XDEC^XFGC(SAS'),

：.DE=GF.

'：EF=E&rGF,

：.EF=CE+ED,故④正確；

故答案為：①②④.

20.（2分）（2021春?羅湖區(qū)校級期末）如圖，在△力回中，ZBAC=120°,46=4,〃為正的中點，ADA.

AB,則47的長為8.

解：如圖，作血2〃交/〃的延長線于笈

■:/BAD=/E=9。。,/ADB=/EDC,BD=DC,

:.XADB^XEDC（AAS\

：.AB=EC=4f

'：ZBAC=120°,

ZFAC=30°,

：.AC=2BC=8,

故答案為8.

21.（2分）（2022春?莘縣期末）如圖，“趙爽弦圖”由4個完全一樣的直角三角形所圍成，在Rt^4回中,

AC=b,BC=a,ZACB=90°，若圖中大正方形的面積為60,小正方形的面積為10,則切力￥的值為110.

解：由題意得，

：a2+b2=60

2

L(b-a)=10

.".2<3/?=50,b-(3=>/10,

???居+^+2石力=60+50,

(*6)2=110,

故答案為：no.

三.解答題（共8小題，滿分58分）

22.（6分）（2022秋?沈丘縣期末）如圖，△/回的頂點在正方形網(wǎng)格中的格點上，若小方格邊長為1,請

你根據(jù)所學(xué)的知

識解決下列問題.

（1）△/回的面積為5；

（2）判斷△46C是什么形狀，并說明理由.

C

解：（1）SAABC=4X4-JXIX2-yX2X4-yX4X3

=5,

故答案為：5.

（2）由勾股定理得：12+22=V5,AC=V22+42=2>/5,^=VS2+42=5,

:.A強+AG=BG,

是直角三角形.

23.（6分）（2022春?開福區(qū)校級月考）如圖所示，三個村莊4B,C之間的距離分別是羽=5助，BC=

12MAC=\3km,要從6修一條公路初直達〃；已知公路的造價260萬元/A?,修這條公路的最低造價

是多少？

解：V5,(?+J^=122+52=169,

4?=132=169,

：.B<?+Aff=AC?,

；.NABC=9Q°,

當(dāng)初，/C時初最短，造價最低.

邑.=LB*BC=L。BD,

22

.?.初=AB?BC,即BD='義12=也（km）.

AC1313

.?.弛X260=1200（萬元）.

13

答：最低造價為1200萬元.

24.（6分）（2022春?閩侯縣期中）如圖，在RtZ\45T中，NACB=90°,CDLAB.若NC=4,BC=22,求

AB=yl-^2^^222=1075.

=^/AC2+BC2+

7

SAABC=|AC-BC=yAB<D>

:.AGBC=AB?CD.

.,.4X22=10V5CD.

25.（8分）（2022春?漳平市期末）如圖，有一個長方形水池，它的長是4米，池中央長了一棵蘆葦，露出

水面1米，將蘆葦拽至池邊，它的頂端剛好與水面一樣平，求水有多深？蘆葦有多長？

解：設(shè)水深x米，則蘆葦有（x+1）米，

由勾股定理：昌2=（x+1）2,

解得：x=1.5,x+l=2.5,

答：水深1.5米，蘆葦?shù)拈L度是2.5米.

26.（8分）（2022春?朝天區(qū)期末）城市綠化是城市重要的基礎(chǔ)設(shè)施，是改善生態(tài)環(huán)境和提高廣大人民群眾

生活質(zhì)量的公益事業(yè).某小區(qū)在社區(qū)管理人員及社區(qū)居民的共同努力之下，在臨街的拐角清理出了一塊

可以綠化的空地（如圖），已知4?=4以，BC—3m,AA\2m,Cg\3m,Z2?=90°.現(xiàn)計劃在空地內(nèi)種草，

若每平方米草地造價30元，求這塊地全部種草的費用.

,D

c

B1-------公

解：連接4G

'：ZB=90°,

在中，4?=46+的=4432=52,

在中，Cff=U2,Aff=122,

V52+122=132,

:.AG+AP=Ca,

：.ZDAC=90°,

AX3X4+^X5X12=36（平方米）,

,,S四邊形ABCD-SXA濟SS—

22

36X30=1080（元）,

27.（8分）（2022春?黃岡期末）如圖，某工人在兩墻26,切之間施工（兩墻