專題05一元二次方程的解法（知識點考點串編）

【思維導(dǎo)圖】

例.（2022?重慶涪陵?九年級期末）方程-=9的解是（）

A.x=3B.x=-3C.再=0,x2=-3D.再=3,x2=-3

練習L（2022?北京豐臺?九年級期末）若關(guān)于x的一元二次方程（加-l）/+x+/-1=0有一個解為I=0,那

么m的值是（）

A.-1B.0C.1D.1或-1

練習2.（2021?四川南充?一模）方程（9%-1）2=1的解是（

12八2c2

A.X]=%2B.%]=X2=gC.再—0,^2=~D.再=0,/=一~

練習3.（2021?北京師范大學附屬實驗中學分校八年級期中）已知三角形的兩邊長是4和6,第三邊的長是

方程（x-3）2=4的根，則此三角形的周長為（）

A.17B.11C.15D.11或15

練習4.（2022?廣東白云?九年級期末）解方程：（X+3）2-25=0

?知識點二配方法

技巧：將一元二次方程化成一般形式，如ax2+bx+c=0（a#0）；把常數(shù)項移到方程的右邊，如ax?+bx=

-c;方程的兩邊都除以二次項系數(shù)，使二次項系數(shù)為1,如X。+

方程的兩邊都加上一次項系數(shù)一半的平方，W+-X

aaa

+（｝也，+（2把耀的左邊變形為一次二財?shù)耐?/p>

2aa2a

全平方，右邊合?并或一個常數(shù)，如（x+『）2=-y^;方程的兩邊同

2a4a

時開平方，得到兩個一元一次方程，如X+注=±"c；分別解這

2a2a

兩個一元一次方程，求出兩個根，flPx=-±^2—,

例.（2022?甘肅麥積?九年級期末）將一元二次方程/+8x-5=0化成（x+"）-=6為常數(shù)）的形式，則

?，b的值分別是（）

A.~4,21B.~4,11C.4,21D.-8,6

練習1.（2022?海南?？?九年級期末）用配方法解方程--4X-3=0,下列配方正確的是（

B.(X+2)2=7D.(x-2)2=1

練習2.（2022?山西山陰?九年級期末）用配方法解方程--6x-5=0時，配方后的方程是（

A.（x-3）2=4B.（x-3）2=14C.（x-3）2=31D.（x+3）2=14

練習3.（2022?廣東禪城?九年級期末）一元二次方程--歐+5=0配方后可化為（）

A.(x-4)—19B.(x+4)=-19C.(x-4)2=11D.(x+4)2=16

練習4.（2020?湖南?婁底市第三中學九年級階段練習）選擇合適的方法解方程:

（l）x2-4x=2；（2）3（x-5）=x2-25.

?知識點三：配方法的應(yīng)用

例.（2021?河北?金華中學九年級階段練習）將一元二次方程/一8》-5=0化成（x+a）2=6（a,6為常數(shù)）

的形式，則a,b的值分別是（）

A.-4,21B.-4,69C.4,21D.-8,11

練習1.（2021?貴州六盤水?九年級階段練習）代數(shù)式N-4x+5的值（）

A.恒為正B.恒為負C.可能為0D.不能確定

練習2.Q021?廣東?深圳市龍崗區(qū)宏揚學校九年級期中）已知加是有理數(shù)，則加2一2m+4的最小值是（）

A.3B.5C.6D.8

練習3.（2021?湖北省水果湖第一中學九年級階段練習）已知關(guān)于x的多項式-/+加x+4的最大值為5,則

m的值可能為（）

A.1B.2C.3D.4

練習4.（2021?甘肅會寧?九年級期中）、全0，，這個結(jié)論在數(shù)學中非常有用，有時我們需要將代數(shù)式配成完

全平方式，例如：N+4無+5=N+4X+4+1=（X+2）2+1,V（X+2）2>0,（x+2）2+l>l,.?.x2+4x+

5>1.試利用“配方法”解決下列問題：

（1）填空：因為4x+6=G）2+,所以當X=時，代數(shù)式x2—4x+6有最（填

“大”或“小”）值，這個最值為；

（2）比較代數(shù)式/一1與2x—3的大小.

?知識點四：公式法

技巧：一元二次方程ax2+bx+c=0（a20,用配方法所求出的兩個根x=色等運（b2-4ac》0）

只要是有實數(shù)根的一元二次方程，均可將a,b,c的值代入兩根公式中直接解出，所以把這種方法稱為

公式法，而把尤=上等畫b2-4ac>0）叫做一元二次方程ax2+bx+c=O（aWO）的求根公式。

例.（2022?上海市建平實驗中學八年級期末）下列方程中，有實數(shù)解的是（）

x_3X—3___

A.%4+3=0B.------=-------C.dx—1+3=0D.2x2+3y2+1=0

x3

練習1.（2021?廣東?深圳市龍崗區(qū)宏揚學校九年級期中）用公式法解方程4產(chǎn)-12》-3=0,得到（）

A-3±V6口3±V6仆3±2A/3「-3±273

A.y=----------B.y=------C.y=-------D.y=...........-

2222

練習2.（2021?福建永安?九年級期中）x=±也衛(wèi)空1是用公式法解一元二次方程得到的一個根，則

2x2

滿足要求的方程是（）

A.2x2-2x-1=0B.2N-2X+1=0C.2X?+2X+1=0D.2x2+2x-1=0

練習3.（2021?河北?正定縣第六中學九年級階段練習）若工=2±J4-4X3X（T）是某個一元一次方程的根,

2x3

則這個一元二次方程可以是（）

A.3N+2X-1=0B.2x2+4x-1=0C.-x2-2x+3=0D.3x2-2x-1=0

練習4.（2022?江蘇?景山中學九年級期末）解方程：

（l）x2-6x-4=0；（2）3y（y-l）=2（y-1）.

?知識點五：因式分解法

技巧：

提取公因式法：am-bm*cm=m（a-b-c）

公式法：a2-b2=（a-b）（a-b）,a2+2ab-b2=（a+b）2

十字相乘法：x2-（a-b）x-ab=1x-a）（x-b）

例.（2022?天津西青?九年級期末）下列各

數(shù)是方程N+3x—10=0的根的是（）

A.2和5B.—5和3C.5和3D.一5和2

練習1.Q021?天津紅橋?九年級期中）已知關(guān)于x的一元二次方程/+川+夕=0的兩根分別為肛=—4,勾=

7,則原方程可化為（）

A.（x—4）（x—7）=0B.（x+4）（x+7）=0

C.（x—4）（x+7）=0D.（x+4）（x-7）=0

練習2.（2022?重慶大渡口?九年級階段練習）方程x2-1=0的解為（）

A.x=1B.x=—1C.0D.x=±l

練習3.（2022?天津紅橋?九年級期末）方程尤2+2x-8=0的兩個根為（）

A.玉=-4,X2=~2B.*1=-2,%=4C.X[=2,無2=4D.=—4,x?=2

練習4.（江西省南昌市財大附中2021-2022學年九年級上學期期末聯(lián)考數(shù)學試題）解方程：

（l）x2-3x-10=0（2）2x（x+3）=x+3.

?知識點六：換元法

【技巧】換元法解一元二次方程，換元的實質(zhì)是轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元，理論依據(jù)是等量代換，目

的是變換研究對象，將問題移至新對象的知識背景中去研究，從而使非標準型問題標準化、復(fù)雜問題簡

單化，變得容易處理.

例.（2021?上海市羅南中學八年級階段練習）設(shè)（x+y）（x+y+2）-15=0,則x+y的值為（）

A.-5B.3C.5或一3D.-5或3

練習1.（2021?全國?八年級課時練習）已知（Y+力（丁+/-1）-6=0,則f+_/的值是（

A.3或-2B.-3或2C.3D.-2

練習2.（2021?全國?八年級課時練習）（加2-”2）（機2-”2-2）-8=0,則/-“2的值是（）

A.4B.-2C.4或-2D.-4或2

2

練習3.（2021?上海市進才中學北校八年級期中）解方程/+X+1=F一時.如果設(shè)歹=