2024-2025學年湖南省長沙一中高二(上)期中數(shù)學試卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求

的。

1.已知復數(shù)z=呆，則z在復平面對應的點位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2.設直線心x-避y+8=0的傾斜角為a,則a=()

A.30°B,60°C,120°D.150°

3.如圖：在平行六面體力BCD-4/忑1。1中，M為41cl與Bi%的交點.若詬=優(yōu)AD=b,近=3則下

列向量中與前相等的向量是()

A.-1a+|b+c

B.|a++c

C-+2

D.品一/+c

4.已知數(shù)列｛冊｝為等差數(shù)列，p,q,s,t￡N*.設甲：p+q=s+t；乙:%+%=%+%，則甲是乙的

()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

5.假設一水渠的橫截面曲線是拋物線形，如圖所示，它的渠口寬為2m,渠深。C

為1.5m,水面EF距AB為0.5TH,則截面圖中水面寬EF的長度約()機.

A.1.33

B.1.63

C.1.50

D.1.75

6.已知圓的：(%-。)2+(y+3)2=9與圓。2：(%+b)2+(y+l)2=1外切,則ab的最大值為()

A.2B.2或C.|D.3

7.若函數(shù)f(%)=2sina)xcos(i)x+V^(sin46)x-cos46)x)(a)>0)在區(qū)間(04)上只有一個零點，則3的取值范

圍為()

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A.B.D.

8.已知乙,&分別為橢圓氏胃+2=l(a>6>0)的左、右焦點，橢圓E上存在兩點4B使得梯形4%出

B的高為c(c為該橢圓的半焦距)，且祈=4殖，則橢圓E的離心率為()

AB-CD-

-3556

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。

9.下列說法正確的是()

A.用簡單隨機抽樣從含有50個個體的總體中抽取一個容量為10的樣本，某個個體機被抽到的概率是0.2

B.已知一組數(shù)據(jù)1,2,m,6,7的平均數(shù)為4,則這組數(shù)據(jù)的方差是5

C.數(shù)據(jù)27,12,14,30,15,17,19,23的50%分位數(shù)是18

D.若樣本數(shù)據(jù)％i，x2,―,%io的平均值為8,則數(shù)據(jù)2萬1-1,2X2-1,■■■,2xio-1的平均值為15

10.下列四個命題中正確的是()

A.過定點P(l,-1),且在x軸和y軸上的截距互為相反數(shù)的直線方程為x-y-2=0

B.過定點尸的直線與以“(-3,1),N(3,2)為端點的線段相交，則直線的斜率k的取值范圍為k4-3或

心|

C.定點Q(l,0)到圓(x+I)2+0—3)2=4上的點的最大距離為聲一2

D.過定點Q(l,。)且與圓(x+I)2+(y—3)2=4相切的直線方程為+12y-5=0或x=1

11.在棱長為2的正方體ABC?！?B1C1D1中，點P滿足Q=4而+〃而，4、“C[0,1],貝|()

A.當4=0時，點P到平面&BC1的距離為避

B.當4=0時，點P到平面&BC1的距離為手

C.當4=?時，存在點P,使得BP1PC

D.當4=稅時，存在點P,使得BCil平面PCD

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.假設PQ4)=0.3,P(B)=0.4,且4與B相互獨立，則P0B)=.

13.斜率為1的直線與橢圓1+4=1相交于4B兩點，力B的中點則爪=.

14.已知公差不為0的等差數(shù)列{即}的前幾項和為S”若a4,S5,S7E{-5,0},則又的最小值為.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

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15.(本小題13分)

已知△ABC的三個內(nèi)角4B,C的對邊分別為a,b,c,且2sEQ4+$=，^.

(1)求角C

(2)若a=1,點。滿足詬=2痂，且|而|=孝，求△28C的面積.

16.(本小題15分)

在四棱錐Q-ZBCD中，底面4BCD是正方形，若4D=2,QD=QA=邪,QC=3.

(1)求證：平面Q4D1平面4BCD；

(2)求平面4BQ與平面BDQ夾角的余弦值.

17.(本小題15分)

己知雙曲線￡g-g=l(a>0,b>0)的左、右焦點分別為％、F2,E的一條漸近線方程為y=網(wǎng),且

c=2.

(1)求E的方程；

(2)4B為雙曲線E右支上兩個不同的點，線段的中垂線過點C(0,4),求直線AB的斜率的取值范圍.

18.(本小題17分)

已知S,是數(shù)列｛即｝的前n項和，若尹1喑=木

un+1un乙

(1)求證：數(shù)列｛斯｝為等差數(shù)列；

(2)若ai=-2,cn=13+On，數(shù)列｛4｝的前n項和為7n.

⑴求7n取最大值時n的值；

(ii)若小是偶數(shù)，且匕?=(-1)'確求￡碧仇.

19.(本小題17分)

直線族是指具有某種共同性質(zhì)的直線的全體，例如x=ty+1表示過點(1,。)的直線，直線的包絡曲線定義

為：直線族中的每一條直線都是該曲線上某點處的切線，且該曲線上的每一點處的切線都是該直線族中的

某條直線.

(1)若圓C1：久2+y2=1是直線族7nx+ny=](7n/eR)的包絡曲線，求Hl,71滿足的關系式；

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(2)若點PQo,%)不在直線族。：(2a—4)x+4y+(a—2)2=0(a6R)的任意一條直線上，求處的取值范圍

和直線族。的包絡曲線E；

(3)在(2)的條件下，過曲線E上48兩點作曲線E的切線",加其交點為P.己知點C(O,1),若4B,C三點

不共線，探究NPC4=NPCB是否成立？請說明理由.

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參考答案

1.D

2.2

3.4

4.C

5.B

6.D

7.4

8.C

9.ACD

10.BD

11.50

12.0.12

13

14.—6

15.解：⑴由題意有2s譏(4+君=缺女，

由正弦定理，可得2s〃Q4+1)=SinB^inA^

即(4sinA+cosA)sinC=sin(X+C)+2sinA,

所以逆sizi/s譏C=sinAcosC+2sinA,

因為Ae(0,7T),所以siziAWO,

所以避sinC=cosC+2=sin(C—/)=1,

又c-蕓(一辭),所以C—?=全

故c=第

(2)由麗=2而，

可得而^CA+AD^CA+|(CF-CX)=|c2+|cB,

所以而|=|J|￡M|2+4|CB|2+4CA-CB=冬

即/?2+4a2+4ab-(-1)=7,即爐+4—2b=7,

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整理得房―2b—3=0,解得b=3,

故S=^absinC=1x1x3x^=”.

乙L24

16.解：（1）證明：取力。的中點。，連接Q。，OC,

因為4D=2,QD=Q4=巡，QC=3,可得Q。1AD,

可得Q。=加屏―（竽2=^1=2,OC=Jc￡>2+（竽2=^/4T1=非,

所以

Q02+0C2=QC2

即Q。1OC,

而Q。OOC—0,

所以Q。1平面4BCD,

QOu平面QAD,

所以平面Q4D1平面4BCD；

（2）取AD中點。，在平面4BCD內(nèi)作。比1AD,

以。。所在直線為y軸，OQ所在直線為z軸，建立空間直角坐標系，如圖，

則。(0,0,0),X(0,-l,0),B(2-1,0),C(2,l,0),D(0,l,0),Q(0,0,2),

荏=(2,0,0),而=(0,1,2),麗=(-2,2,0),OQ=(0-1,2),

設平面4BQ的一個法向量為元=(x,y,z),

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/口一

則,bfn-?A而B=y2x+=20z=0'取z=-1，佝n=（0,2「l），

設平面BDQ的一個法向量為訪=(見瓦c),

（m?BD=-2a+2b=0

則[帚?麗=-b+2c=0取c=1,得m=（2,2,1）,

?,——、?|n?m|3[s

???cos<n,m>=——

11\n\?\m\V5X35

???平面4BQ與平面BDQ夾角的余弦值為

f1=V3,a=1

17.解：（1）根據(jù)已知得。=2，所以，b=同

[c2=a2+Z?2[c=2

2

因此可得雙曲線E的方程為%2一芻=1；

(2)根據(jù)已知可知直線斜率存在且々H±4，

令48：y=kx+m,〈(冷心)，<(%1，丫1)，令48的中點為M,

根據(jù)=T，整理得(3—k2)%2一2人?71%—7712—3=0,并且3-M豐0,

22222

所以4=4k2rH2+4(3—fc)(m+3)=12(3+m—fc)>0,所以7n2>fc—3,

根據(jù)韋達定理可得問切=-+*2=普，

因為%+丫2=k（M+x2）+2m-k-+2m=

3mA

mNR〃占出/km3m、,yM~yc3—k23771—12+4/c2

因此M點為（3一H，3一N），kMC=^T-^^=一而一，

3-k2

M

根據(jù)中垂線性質(zhì)知k“c?kAB=-1,因止匕3-：2+4H=1解得：m=3M2,

kmK

根據(jù)4B在雙曲線的右支上可得：

22

2km07、八3+m3+m、n

x1+x2=^=2k>0,X1X2=-^-^=--->0,

那么m<0,k>0,所以々2=3—m>3,

又因為爪2>女2—3,所以(3一女2)2>卜2一3,整理得上4一7/(：2+12=(/-3)(/一4)>0,

解得H>4或/<3,所以/>4,所以k>2.

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綜上可得，ke(2,+8).

18.解：(1)證明：Sn是數(shù)列｛總的前ri項和，若步-金=義,

uu

n+ln乙

則｛知是詈=1為首項，以切公差的等差數(shù)列，

所以署=1+務T)=*，

即Sn=貸％1①，

則Sn+1=—2—an+l@^

由②一①，得貸％j="+1，

Q九+1_n+1

即有

Qnn

則rr|||即=。「瓦?瓦?...■碼=?！窺2工3-...?二?^="(11，

上式對n=1也成立,

所以數(shù)列｛冊｝為等差數(shù)列.

(2)(i)由題意及(1)在等差數(shù)列｛a九｝中冊=臼+(幾一l)d=-2幾，故4=13-2n.

則7九=13九+*0x(—2)=1271f2=-(n-6)2+36,故當幾=6時T九取最大值.

(江)￡絲1加=加+人2+優(yōu)+…+b2m=—al+a2~a3+a4—a5---1"a2m

=(-al+a2)+(-a3+a4)+(-a5+a6)----1"(-a2m-l+a2m)

anl

=-2(。1+劭+。3+…+2m)=—2X(—2)X2+D_87n2+47n.

19.解：(1)由定義可知，TH%+ziy=1與％2+y2=1相切，

則圓的圓心。1(0,0)到直線租％+ny=1的距離等于1,

1

則d=他懣=1，即爪2+彥=1；

(2)點PQo.yo)不在直線族。：(2a-4)x+4y+(a-2)2=0(aeR)的任意一條直線上,

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2

所以無論a取何值時，(2a-4)Xo+4y04-(a-2)=0無解，

2

將(2。一4)%()+4y0+(。-2)2=0整理成關于a的一元二次方程：a+(2%()-4)。+(4+4y0-4x0)=。，

若該方程無解，則/=(2劭—4)2—4(4+4y0-4x0)<0,即如>苧，