高中數(shù)學(xué)精編資源2/2第12講圓的弦長與弦心距問題一、單選題1．（2021·河南焦作·高二期中（理））圓截軸所得的線段長度為（）A．4 B．6 C．8 D．10【答案】C【分析】令，求出與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，進(jìn)而可得截軸所得的線段長度.【詳解】解：圓，令得，解得，故截軸所得的線段長度為.故選：C.2．（2021·天津市武清區(qū)楊村第一中學(xué)高三月考）已知圓的圓心在直線上，且與直線：相切于點(diǎn)，則圓被直線截得的弦長為（）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】D【分析】設(shè)出圓心坐標(biāo)，根據(jù)圓與直線：相切于點(diǎn)，得到關(guān)于m的方程，解出m，再求解圓被直線截得的弦長【詳解】∵圓的圓心在直線上∴設(shè)圓心為∵圓與直線：相切于點(diǎn)∴，解得：∴圓的圓心為，半徑∴圓心到直線距離∴弦長=，故選：D3．（2021·江蘇·鹽城中學(xué)高二月考）在定圓內(nèi)過點(diǎn)作兩條互相垂直的直線與C分別交于A，B和M，N，則的范圍是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】設(shè)，求出兩種臨界值下的最值，進(jìn)而求出的范圍，再結(jié)合基本不等式和對勾函數(shù)即可求解【詳解】設(shè)，當(dāng)，，，交換位置可得，故，，又，顯然能取到，故，由對勾函數(shù)性質(zhì)可知，當(dāng)或時(shí)，，故，故選：D4．（2021·遼寧·鐵嶺市清河高級中學(xué)高二月考）已知圓的方程為，設(shè)該圓過點(diǎn)的最長弦和最短弦分別為AC和BD，則四邊形ABCD面積為（）A． B． C．8 D．13【答案】B【分析】先將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)過點(diǎn)的直線與圓心與M的連線垂直時(shí)，弦長最短，過點(diǎn)的直線且過圓心時(shí)，弦長最長求解.【詳解】圓的方程為，化為標(biāo)準(zhǔn)方程：，圓心為，半徑為，當(dāng)過點(diǎn)的直線與垂直時(shí)，弦長最短，且，當(dāng)過點(diǎn)的直線且過圓心時(shí)，弦長最長，且，此時(shí)，，所以四邊形ABCD面積為，故選：B5．（2021·江蘇南京·高二月考）已知直線與圓：交于，兩點(diǎn)，為圓心，當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，實(shí)數(shù)的值為（）A． B．-3或1 C．0或1 D．-1或3【答案】B【分析】用m表示出圓心到直線的距離和弦長，即可得到三角形面積的表達(dá)式，利用基本不等式求出最大值和取最值時(shí)的條件.【詳解】圓：的圓心坐標(biāo)，半徑r=2.由圓心到直線的距離，得：.直線被圓截得的弦長為，所以三角形的面積.當(dāng)且僅當(dāng)，即或1時(shí)取“=”.故選：B6．（2021·四川成都·高二月考（文））圓截直線的最短弦長為（）A． B．C． D．【答案】C【分析】求出直線過定點(diǎn)，在圓內(nèi)，則當(dāng)時(shí)，弦長最短，由勾股定理得弦長．【詳解】由已知，半徑為，直線方程整理得，由，得，即直線過定點(diǎn)，又，因此在圓內(nèi)，當(dāng)時(shí)，弦長最短．為弦中點(diǎn)．，所以．故選：C．7．（2021·河南·鄲城縣第一高級中學(xué)一模（文））若點(diǎn)為圓的弦的中點(diǎn)，則弦所在直線的方程為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】圓的圓心，由給定條件結(jié)合圓的性質(zhì)可得，求出直線OP斜率即可計(jì)算作答.【詳解】依題意，圓的圓心，因點(diǎn)為圓的弦的中點(diǎn)，則有，而直線OP斜率為，于是得直線AB斜率，又直線過，因此有，即，所以弦所在直線的方程為.故選：A8．（2021·全國·高二課時(shí)練習(xí)）直線截圓所得劣弧所對的圓心角為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出圓的圓心到直線距離即可求得劣弧所對圓心角.【詳解】圓的圓心O(0，0)，半徑，則點(diǎn)O到直線的距離，設(shè)劣弧所對的圓心角為，則，解得，即，所以劣弧所對的圓心角為.故選：C9．（2021·山東·高三月考）《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)成就的杰出代表，其中《方田》章有弧田面積計(jì)算問題，計(jì)算術(shù)曰：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一.其大意是，弧田面積的計(jì)算公式為：弧田面積（弦×矢+矢×矢）.弧田是由圓弧（簡稱為弧田?。┖鸵詧A弧的端點(diǎn)為端點(diǎn)的線段（簡稱為弧田弦）圍成的平面圖形，公式中“弦”指的是弧田弦的長，“矢”等于弧田弧所在圓的半徑與圓心到弧田弦的距離之差.現(xiàn)有一弧田，其弦長等于，其弧所在圓為圓，若用上述弧田面積計(jì)算公式算得該弧田的面積為，則（）A． B．C． D．【答案】D【分析】由弧田面積求出矢，設(shè)半徑為，圓心到弧田弦的距離為，列出方程組求出，，從而得到，再由，即可求解.【詳解】如圖所示，由題意可得，弧田面積（弦矢+矢矢）（矢+矢矢），解得矢，或矢（舍去），設(shè)半徑為，圓心到弧田的距離為，則，解得，，所以，所以.故選：D10．（2021·廣西河池·高二月考（理））已知圓被直線截得的弦長為，則（）A．2 B． C． D．【答案】B【分析】配方得圓心坐標(biāo)和半徑，求出圓心到直線的距離，由勾股定理表示出弦長，從而可得參數(shù)值．【詳解】配方得，所以圓心為，半徑為2，因?yàn)閳A被直線截得的弦長為，所以圓心到直線的距離為1，∴，解得．故選：B．11．（2021·全國·高二課時(shí)練習(xí)）已知圓的圓心與點(diǎn)關(guān)于直線對稱，直線與圓相交于、兩點(diǎn)，且，則圓的方程為（）．A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)對稱性得到圓心的坐標(biāo)，利用點(diǎn)到直線的距離公式求得圓心到直線，利用弦長公式求得半徑，進(jìn)而得到圓的方程.【詳解】點(diǎn)關(guān)于直線對稱的點(diǎn)，圓心到直線的距離為，所以，所以圓的方程為，故：C．12．（2021·全國·高二單元測試）設(shè)直線：與圓：相交于、兩點(diǎn)，若，則圓的面積為（）.A． B．C． D．【答案】C【分析】將圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式求出圓心到直線的距離，由勾股定理求出，根據(jù)圓的面積公式即可求解.【詳解】由題意：，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，∴圓心到直線的距離，∴，故，∴，故選：C．13．（2021·江西·南昌市第八中學(xué)高二月考（文））直線：被圓：所截得的弦中，最短弦所在的直線的方程是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】先求出直線經(jīng)過的定點(diǎn)，進(jìn)而可知點(diǎn)在圓內(nèi)，從而可知最短弦所在直線必與直線垂直，由此即可求解【詳解】因?yàn)橹本€：經(jīng)過定點(diǎn)，圓心為，，故點(diǎn)在圓內(nèi)，故最短弦所在直線必與直線垂直，又，因此最短弦所在直線斜率為，方程為，即，故選：B．二、多選題14．（2021·重慶八中高三月考）設(shè)動(dòng)直線交圓于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)C為圓心），則下列說法正確的有（）A．直線l過定點(diǎn) B．當(dāng)取得最大值時(shí)，C．當(dāng)最小時(shí)，其余弦值為 D．的最大值為6【答案】ACD【分析】對于A：整理得，由此可求得直線所過的定點(diǎn)；對于B：由直線l過定點(diǎn)，且定點(diǎn)在圓C的內(nèi)部，當(dāng)直線l過圓心時(shí)，取得最大值，由此求得m的值；對于C：設(shè)直線l過的定點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，最小，由余弦定理計(jì)算可判斷；對于D：當(dāng)共線，且方向相同時(shí)，取得最大值，由此可判斷.【詳解】解：對于A：由整理得，當(dāng)，即時(shí)，不論為何值時(shí)，都成立，所以直線l過定點(diǎn)，故A正確；對于B：因?yàn)橹本€l過定點(diǎn)，將定點(diǎn)代入圓，所以定點(diǎn)在圓C的內(nèi)部，當(dāng)直線l過圓心時(shí)，取得最大值，此時(shí)，解得，故B不正確；對于C：設(shè)直線l過的定點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，最小，而，所以，所以在中，，故C正確；對于D：，而表示在方向上的投影，所以當(dāng)共線，且方向相同時(shí)，取得最大值，此時(shí)，所以的最大值為6，故D正確，故選：ACD.15．（2021·安徽·合肥一中高二期中）在平面直角坐標(biāo)系中，如果點(diǎn)P的坐標(biāo)滿足，其中為參數(shù)．已知直線與點(diǎn)P的軌跡交于A，B兩點(diǎn)，直線與點(diǎn)P的軌跡交于C，D兩點(diǎn)，則四邊形的面積的值可以是（）A． B． C． D．【答案】BC【分析】先求出點(diǎn)P的軌跡，分析得到直線過定點(diǎn)，定點(diǎn)在直線上，求出四邊形的面積為，再求出最大值即得解.【詳解】由題得，平方相加得點(diǎn)P的軌跡方程為，點(diǎn)P的軌跡是以點(diǎn)為圓心半徑為3的圓.,所以直線過定點(diǎn)，由于所以定點(diǎn)在直線上，由題得四邊形的面積為，當(dāng)最大時(shí)，面積最大，此時(shí),所以，所以直線的方程為，經(jīng)過圓心，所以此時(shí),由題得圓心到直線的距離為.所以面積的最大值為，所以面積的取值范圍為.故選：BC16．（2021·湖南郴州·高三月考）已知直線：和圓：，下列說法正確的是（）A．直線恒過定點(diǎn)B．圓被軸截得的弦長為C．直線被圓截得的弦長存在最大值，且最大值為4D．直線被圓截得的弦長存在最小值，且最小值為4【答案】AD【分析】利用直線系方程求得直線所過定點(diǎn)的坐標(biāo)判斷A；求出圓C被x軸截得的弦長判斷B；當(dāng)直線過圓心時(shí)可判斷C，當(dāng)直線時(shí)算出弦長可判斷D.【詳解】由，得，聯(lián)立，得，無論m為何值，直線恒過定點(diǎn)，故A正確；在中，令，得，所以圓被軸截得的弦長為，故B錯(cuò)誤；當(dāng)直線l過圓心C時(shí)，直線被圓截得的弦長最大，最大值為6，此時(shí)直線方程為，故C錯(cuò)誤；設(shè)，易知P在圓內(nèi)，當(dāng)直線時(shí)，直線l被圓截得的弦長最小，且最小值為，故D正確.故選：AD17．（2021·全國·高二單元測試）已知圓，為圓心）直線，點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，直線PA，PB分別于圓切于點(diǎn)，．則下列說法正確的是（）A．四邊形的面積最小值為B．最短時(shí)，弦長為C．最短時(shí)，弦直線方程為D．直線過定點(diǎn)為，【答案】ABD【分析】A選項(xiàng)，四邊形的面積可以看成兩個(gè)直角三角形的面積之和，又因切線長定理可知，當(dāng)最短時(shí)，面積最小；B選項(xiàng)，等面積法，即由A選項(xiàng)的四邊形面積求弦長；C選項(xiàng)，兩垂直直線的斜率相乘等于，兩平行直線斜率相等；D選項(xiàng)，由向量積公式求定點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】選項(xiàng)，四邊形的面積可以看成兩個(gè)直角三角形的面積之和，即，又因切線長定理可知，即，當(dāng)最短時(shí)，四邊形面積最小．又與及半徑構(gòu)成直角三角形，最短時(shí)，最短，即，，，故正確．由上述可知，時(shí)，最短，由等面積法可知，．得，故正確．，，，，可設(shè)的直線方程為，由半弦長、半徑、弦心距構(gòu)成直角三角形可知，弦心距，圓心到直線的距離，解得，即直線的方程為．故錯(cuò)誤．設(shè)圓上一點(diǎn)為，，，，，，，，，，，易知，同理，．，原式，將，代入得等號成立，故直線過定點(diǎn)為，，正確．故選:ABD．18．（2021·福建·高三月考）已知點(diǎn)，直線：，圓：，過點(diǎn)分別作圓的兩條切線，（，為切點(diǎn)），在的外接圓上．則（）A．直線的方程是 B．被圓截得的最短弦的長為C．四邊形的面積為 D．的取值范圍為【答案】BD【分析】求出以為直徑的圓的方程，與圓的方程聯(lián)立可得直線的方程判斷A；求出直線所過定點(diǎn)，得到圓心到直線的最小距離，再由垂徑定理求被圓截得的最短弦的長判斷B；直接求出四邊形的面積判斷C；求解，再分別減去的外接圓半徑與加上的外接圓半徑求得的取值范圍判斷D．【詳解】對于A，圓的圓心坐標(biāo)為，，則的中點(diǎn)為，，則以為直徑的圓的方程為，又圓：，兩式作差可得直線的方程是，故A錯(cuò)誤；對于B，直線：可化為，聯(lián)立，解得直線過定點(diǎn)，且定點(diǎn)在圓內(nèi)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，弦長最短，又，所以的最小值為，故B正確；對于C，四邊形的對角線、互相垂直，則四邊形的面積，因?yàn)?，，所以，故C錯(cuò)誤；對于D，由題意知，的外接圓恰好是經(jīng)過、、、四點(diǎn)的圓，因?yàn)榈闹悬c(diǎn)為外接圓的圓心，所以圓上的點(diǎn)到點(diǎn)距離最小值是，最大值是，所以的取值范圍為，故D正確．故選：BD．19．（2021·江蘇·高二專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知，A，B是圓C：上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足，則PAB面積的值可以是（）A． B． C．10 D．8【答案】ACD【分析】根據(jù)，得到，設(shè)圓心到直線距離為，由求解.【詳解】，設(shè)圓心到直線距離為，則，所以，令，，令，解得（負(fù)值舍去），當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，取最大值，即取最大值為，故選：ACD.三、填空題20．（2021·河北秦皇島·二模）已知直線與圓相交于A，B兩點(diǎn)，則面積為___________.【答案】2【分析】求得圓心到直線的距離，求得弦長，由此求得三角形的面積.【詳解】圓心為，半徑，因?yàn)閳A心C到直線的距離為，所以，所以面積為.故答案為：21．（2021·全國·高三專題練習(xí)（理））在平面直角坐標(biāo)系中，直線與圓交于兩點(diǎn).當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，實(shí)數(shù)的值為__________．【答案】或【分析】求出圓心與半徑，再利用點(diǎn)到直線的距離公式求出圓心到直線的距離，進(jìn)而求出弦長，從而可得，配方當(dāng)，取得最值，即求.【詳解】由，則圓心，，點(diǎn)到直線的距離，由弦長公式，，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，即，，解得或.故答案為：或22．（2021·廣東·清遠(yuǎn)市第一中學(xué)高三開學(xué)考試）已知直線與圓相交于A?B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且的面積為，則實(shí)數(shù)m=______.【答案】【分析】根據(jù)三角形的面積求得，根據(jù)圓心到直線的距離列方程，解方程求得的值.【詳解】，，，，∴圓心O到直線的距離，即，.故答案為：23．（2021·江蘇·星海實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二月考）已知點(diǎn)及圓，若直線過點(diǎn)P，且被圓C截得的弦的長為，則直線的方程為________．【答案】或.【分析】求得圓心坐標(biāo)和半徑，利用圓的弦長公式，求得圓心到直線的距離為，結(jié)合斜率不存在和斜率存在，兩種情況討論，即可求解.【詳解】由題意，圓，可得，可得圓心，半徑，設(shè)圓心到直線的距離為，因?yàn)橹本€被圓的弦長為，可得，解得又由直線過點(diǎn)，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，此時(shí)直線方程為，此時(shí)圓心到直線的距離為，滿足題意；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的斜率為，可得直線方程為，即，則圓心到直線的距離為，解得，即，綜上可得，所求直線方程為或.24．（2021·云南·峨山彝族自治縣第一中學(xué)高三月考（文））已知直線，則圓截直線所得的弦長的取值范圍是__________________.【答案】【分析】求出直線l恒過的定點(diǎn)P，圓的圓心C和半徑r，再判定點(diǎn)P與圓C的位置關(guān)系，根據(jù)圓的性質(zhì)即可得弦長范圍.【詳解】依題意，直線恒過定點(diǎn)，圓的圓心，半徑，因，則點(diǎn)P在圓C內(nèi)，由圓的性質(zhì)知，過點(diǎn)P的最長弦是圓C的直徑，即過點(diǎn)P的弦長最大值為6，過點(diǎn)P的最短弦是圓C內(nèi)過點(diǎn)P垂直于過點(diǎn)P的直徑的弦，該弦長為，即過點(diǎn)P的弦長最小值為，所以所求弦長的取值范圍是.故答案為：25．（2021·全國·高三專題練習(xí)）如圖，橢圓，圓，橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，過橢圓上一點(diǎn)和原點(diǎn)作直線交圓于兩點(diǎn)，若，則的值為___________．【答案】【分析】先利用圓的弦長問題將轉(zhuǎn)化為求，再利用平面向量的模長、橢圓的定義、焦點(diǎn)三角形的余弦定理進(jìn)行求解.【詳解】設(shè)圓的半徑為，由已知，得：，則，所以.故答案為：6.四、解答題26．（2021·遼寧·沈陽市第二十八中學(xué)高二月考）在平行四邊形ABCD中，，，.（1）若圓過，，三點(diǎn)，求圓的方程；（2）過點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)為，，求.【答案】（1）（2）【分析】（1）設(shè)出圓的一般方程，待定系數(shù)法求解即可.（2）首先求出點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求出以為圓心為半徑的圓的方程，從而得到直線的方程，再結(jié)合勾股定理即可求出結(jié)果.（1）設(shè)圓的方程為,將，，代入方程，可得，解得，所以圓的方程為,（2）設(shè)，因?yàn)槠叫兴倪呅蜛BCD，所以,，顯然直線,的斜率均存在，所以，解得，故，由（1）知圓的方程為的圓心，半徑為則,因此，所以，因此以為圓心為半徑的圓的方程為，則直線的方程為，則圓心到直線的距離為，故.27．（2021·陜西·西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)高二月考（理））已知圓：及其上一點(diǎn).（1）設(shè)圓與軸相切，與圓外切，且圓心在直線上，求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)平行于的直線與圓相交于，兩點(diǎn)，且，求直線的方程；（3）設(shè)點(diǎn)滿足：存在圓上的兩點(diǎn)，，使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）或（3）【分析】（1）利用圓與直線相切，圓與圓外切的性質(zhì)求出圓的圓心，進(jìn)而得到圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）由直線平行得出斜率相等，再利用點(diǎn)到直線的距離公式以及垂徑定理即可求解；（3）先將，的坐標(biāo)關(guān)系表示出來，再將坐標(biāo)代入圓中進(jìn)行坐標(biāo)轉(zhuǎn)化，得到兩個(gè)圓有公共點(diǎn)，進(jìn)而求出實(shí)數(shù)的取值范圍.（1）解：將圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程得：圓心，半徑為由圓心在直線上，可設(shè)圓與軸相切，與圓外切于是圓的半徑為，從而，解得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：（2）解：直線平行于直線的斜率為設(shè)直線的方程為即則圓心到直線的距離且解得或故直線的方程為：或（3）解：設(shè)，，，，①在圓上②將①代入②得于是點(diǎn)既在圓上，又在圓上圓與圓有公共點(diǎn)解得：實(shí)數(shù)的取值范圍為：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：直線與圓的位置關(guān)系有：相離，相切，相交；圓與圓的位置關(guān)系有：外離，外切，內(nèi)切，相交，內(nèi)含；要求熟練掌握各種位置關(guān)系時(shí)，圓心和直線間的距離與半徑的關(guān)系以及圓心與圓心的距離與半徑和與差的關(guān)系.28．（2021·河北·匯文二中高二月考）已知圓，圓.（1）試判斷兩圓的位置關(guān)系；（2）直線過點(diǎn)與圓相交于兩點(diǎn)，且，求直線的方程.【答案】（1）相交；（2）或.【分析】（1）由圓的方程可確定兩圓圓心和半徑，根據(jù)圓心距與關(guān)系可得兩圓位置關(guān)系；（2）易知直線斜率存在，假設(shè)直線方程，利用垂徑定理可構(gòu)造方程求得，由此可得直線方程.（1）由圓的方程知：圓圓心為，半徑；圓圓心為，半徑；，，圓和圓相交.（2）當(dāng)直線斜率不存在，即時(shí)，直線與圓相離，不合題意；當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)，即，圓心到距離，，解得：或，或，即直線方程為或.29．（2021·全國·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)中曲線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)都在圓上，若直線被圓截得的弦長最短，求的值.【答案】2【分析】先求出曲線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，根據(jù)題意求出圓心坐標(biāo)和半徑，即可寫出圓的方程，由直線系求出直線所過定點(diǎn)M，利用圓的平面幾何性質(zhì)，可知當(dāng)時(shí)所得弦長最短.【詳解】曲線與軸的交點(diǎn)為，令，解得，即曲線與軸的交點(diǎn)為，故可設(shè)圓的圓心為，則有解得，則圓C的圓心為，半徑為，所以圓的方程為.由可得，所以直線恒過定點(diǎn)，設(shè)圓心到直線的距離為，則弦長為，所以弦長最短時(shí)，最大，即時(shí)，故，解得.故直線被圓截得的弦長最短時(shí).30．（2021·全國·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)中曲線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)都在圓上，若直線被圓截得的弦恰以為中點(diǎn)，求的值.【答案】【分析】先求出曲線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，根據(jù)題意求出圓心坐標(biāo)和半徑，即可寫出圓的方程，設(shè)點(diǎn)，由垂徑定理可知與直線垂直，結(jié)合斜率關(guān)系可求得的值.【詳解】曲線與軸的交點(diǎn)為，令，解得，，即曲線與軸的交點(diǎn)為、，故可設(shè)圓的圓