錯(cuò)誤！未找到引用源。波長(zhǎng)。與吸收頻帶的關(guān)察值很接近。計(jì)算一維單原子鏈的頻率分布函數(shù)解設(shè)單原子鏈長(zhǎng)度波矢取值每個(gè)波矢的寬度狀態(tài)密度dq間隔內(nèi)的狀態(tài)數(shù)——對(duì)應(yīng)取值相同，間隔內(nèi)的狀態(tài)數(shù)目一維單原子鏈色散關(guān)系令兩邊微分得到代入一維單原子鏈的頻率分布函數(shù)3.7．設(shè)三維晶格的光學(xué)振動(dòng)在q=0附近的長(zhǎng)波極限有求證：頻率分布函數(shù)為;.解依據(jù)，并帶入上邊結(jié)果有所以3.8．有N個(gè)相同原子組成的面積為S的二維晶格，在德拜近似下計(jì)算比熱，并論述在低溫極限比熱正比于。證明：在到間的獨(dú)立振動(dòng)模式對(duì)應(yīng)于平面中半徑到間圓環(huán)的面積，且則3.9．寫(xiě)出量子諧振子系統(tǒng)的自由能，證明在經(jīng)典極限下，自由能為證明:量子諧振子的自由能為經(jīng)典極限意味著（溫度較高）應(yīng)用所以因此其中3.10．設(shè)晶體中每個(gè)振子的零點(diǎn)振動(dòng)能為，使用德拜模型求晶體的零點(diǎn)振動(dòng)能。證明:根據(jù)量子力學(xué)零點(diǎn)能是諧振子所固有的，與溫度無(wú)關(guān)，故T=0K時(shí)振動(dòng)能就是各振動(dòng)模零點(diǎn)能之和。和代入積分有，由于一股晶體德拜溫度為~，可見(jiàn)零點(diǎn)振動(dòng)能是相當(dāng)大的，其量值可與溫升數(shù)百度所需熱能相比擬．3.11．一維復(fù)式格子求（1），光學(xué)波，聲學(xué)波。（2），相應(yīng)聲子能量是多少電子伏。（3），在300k時(shí)的平均聲子數(shù)。（4），與相對(duì)應(yīng)的電磁波波長(zhǎng)在什么波段。解（1），（2）（3）

第四章習(xí)題4.1．根據(jù)狀態(tài)簡(jiǎn)并微擾結(jié)果，求出與及相應(yīng)的波函數(shù)及。說(shuō)明它們都代表駐波，并比較兩個(gè)電子云分布（即）說(shuō)明能隙的來(lái)源(假設(shè)=)。解令，，簡(jiǎn)并微擾波函數(shù)為取帶入上式，其中V(x)<0,,從上式得到B=-A,于是=取，=由教材可知，及均為駐波．在駐波狀態(tài)下，電子的平均速度為零．產(chǎn)生駐波因?yàn)殡娮硬ㄊ笗r(shí)，電子波的波長(zhǎng)，恰好滿足布拉格發(fā)射條件，這時(shí)電子波發(fā)生全反射，并與反射波形成駐波由于兩駐波的電子分布不同，所以對(duì)應(yīng)不同代入能量。4.2．寫(xiě)出一維近自由電子近似，第n個(gè)能帶(n=1，2，3)中，簡(jiǎn)約波數(shù)的0級(jí)波函數(shù)。解：第一能帶：第二能帶：第三能帶：4.3．電子在周期場(chǎng)中的勢(shì)能．0，其中a＝4b，是常數(shù)．試畫(huà)出此勢(shì)能曲線，求其平均值.用近自由電子近似模型求出晶體的第一個(gè)及第二個(gè)帶隙寬度．解：(I)題設(shè)勢(shì)能曲線如下圖所示．(2)勢(shì)能的平均值：由圖可見(jiàn)，是個(gè)以為周期的周期函數(shù)，所以題設(shè)，故積分上限應(yīng)為，但由于在區(qū)間內(nèi)，故只需在區(qū)間內(nèi)積分．這時(shí)，，于是。（3），勢(shì)能在[-2b,2b]區(qū)間是個(gè)偶函數(shù)，可以展開(kāi)成傅立葉級(jí)數(shù)利用積分公式得第二個(gè)禁帶寬度代入上式再次利用積分公式有4.4用緊束縛近似求出面心立方晶格和體心立方晶格s態(tài)原子能級(jí)相對(duì)應(yīng)的能帶函數(shù)解面心立方晶格——s態(tài)原子能級(jí)相對(duì)應(yīng)的能帶函數(shù)s原子態(tài)波函數(shù)具有球?qū)ΨQ(chēng)性——任選取一個(gè)格點(diǎn)為原點(diǎn)——最近鄰格點(diǎn)有12個(gè)12個(gè)最鄰近格點(diǎn)的位置——類(lèi)似的表示共有12項(xiàng)——?dú)w并化簡(jiǎn)后得到面心立方s態(tài)原子能級(jí)相對(duì)應(yīng)的能帶對(duì)于體心立方格子――任選取一個(gè)格點(diǎn)為原點(diǎn)——有8個(gè)最鄰近格點(diǎn)——最近鄰格點(diǎn)的位置——類(lèi)似的表示共有8項(xiàng)歸并化簡(jiǎn)后得到體心立方s態(tài)原子能級(jí)相對(duì)應(yīng)的能帶4.5用|n>表示一維晶格的第n個(gè)格點(diǎn)的s態(tài)，在只計(jì)入近鄰作用的緊束縛近似下，寫(xiě)出矩陣元<m|H|n>的表達(dá)式解對(duì)于N個(gè)原子組成的相同一維晶格，第n個(gè)院子的位矢為，當(dāng)作為孤立原子時(shí)，其s態(tài)電子的球?qū)ΨQ(chēng)性勢(shì)能函數(shù)為，設(shè)歸一化的波函數(shù)為，能量為，在晶格中該電子的勢(shì)能函數(shù)為，電子態(tài)是N度簡(jiǎn)并的，考慮微擾后的零級(jí)近似波函數(shù)為其中與有關(guān)不是的函數(shù)，根據(jù)Bloch定理，波函數(shù)可以寫(xiě)成即薛定諤方程為其中其中為微擾項(xiàng)，在附近非常小，而在離較遠(yuǎn)處，又非常小，所求能量的一級(jí)近似為所求矩陣元4.6由相同原子組成的一維原子鏈，每個(gè)原胞中有兩個(gè)原子，原胞長(zhǎng)度為a，原胞內(nèi)有兩個(gè)原子相對(duì)距離為b根據(jù)緊束縛近似，值計(jì)入近鄰相互作用，寫(xiě)出s態(tài)對(duì)應(yīng)的晶體波函數(shù)形式求出相應(yīng)的E(k)函數(shù)解（1）單原子緊束縛態(tài)的波函數(shù)變?yōu)槠渲衐可以去0和b兩個(gè)值，分別表示原胞中兩個(gè)原子的位置，用a，b表示之（2）相應(yīng)的能帶函數(shù)為S態(tài)波函數(shù)是球?qū)ΨQ(chēng)的，交疊積分相同，趣味，同時(shí)由于s太波函數(shù)具有宇稱(chēng)，J1>04.7．有一一維單原子鏈，間距為a，總長(zhǎng)度為Na。（1）用緊束縛近似求出原子s態(tài)能級(jí)對(duì)應(yīng)的能帶E(k)函數(shù)。（2）求出其能態(tài)密度函數(shù)的表達(dá)式。（3）如果每個(gè)原子s態(tài)只有一個(gè)電子，求等于T=0K的費(fèi)米能級(jí)及處的能態(tài)密度。解：(2),(3),4.8(1)證明一個(gè)自由簡(jiǎn)單晶格在第一布里淵區(qū)頂角上的一個(gè)自由電子動(dòng)能比該區(qū)一邊中點(diǎn)大2倍．(2)對(duì)于一個(gè)簡(jiǎn)單立力晶格在第一布里淵區(qū)頂角上的一個(gè)自由電子動(dòng)能比該區(qū)面心上大多少？(3)(2)的結(jié)果對(duì)于二價(jià)金屬的電導(dǎo)率可能會(huì)產(chǎn)生什么影響7解（1）二維簡(jiǎn)單正方晶格的晶格常數(shù)為a，倒格子晶格基矢第一布里淵區(qū)如圖所示00所以(3)如果二價(jià)金屬具有簡(jiǎn)單立方品格結(jié)構(gòu)，布里淵區(qū)如圖7—2所示．根據(jù)自由電子理論，自由電子的能量為，F(xiàn)erM面應(yīng)為球面．由(2)可知，內(nèi)切于4點(diǎn)的內(nèi)切球的體積，于是在K空間中，內(nèi)切球內(nèi)能容納的電子數(shù)為其中二價(jià)金屬每個(gè)原子可以提供2個(gè)自由電子，內(nèi)切球內(nèi)只能裝下每原子1.047個(gè)電子，余下的0.953個(gè)電子可填入其它狀態(tài)中．如果布里淵區(qū)邊界上存在大的能量間隙，則余下的電子只能填滿第一區(qū)內(nèi)余下的所有狀態(tài)(包括B點(diǎn))．這樣，晶體將只有絕緣體性質(zhì)．然而由(b)可知，B點(diǎn)的能員比A點(diǎn)高很多，從能量上看，這種電子排列是不利的．事實(shí)上，對(duì)于二價(jià)金屬，布里淵區(qū)邊界上的能隙很小，對(duì)于三維晶體，可出現(xiàn)一區(qū)、二區(qū)能帶重迭．這樣，處于第一區(qū)角頂附近的高能態(tài)的電子可以“流向”第二區(qū)中的能量較低的狀態(tài)，并形成橫跨一、二區(qū)的球形Ferm面．因此，一區(qū)中有空態(tài)存在，而二區(qū)中有電子存在，從而具有導(dǎo)電功能．實(shí)際上，多數(shù)的二價(jià)金屆具有六角密堆和面心立方結(jié)構(gòu)，能帶出現(xiàn)重達(dá)，所以可以導(dǎo)電．4.9半金屬交疊的能帶其中為能帶1的帶頂，為能帶2的帶底由于能帶的交疊，能帶1中的部分電子轉(zhuǎn)移到能帶2中，而在能帶1中形成空穴，討論T=0K的費(fèi)密能級(jí)解半金屬的能帶1和能帶2能帶1的能態(tài)密度——同理能帶2的能態(tài)密度如果不發(fā)生能帶重合，電子剛好填滿一個(gè)能帶由于能帶交疊，能帶1中的電子填充到能帶2中，滿足4.10向銅中摻鋅，一些銅原子將被鋅原子所取代，采用自由電子模型，求鋅原子與銅原子之比為什么值是，費(fèi)米球與第一布里淵區(qū)邊界相接觸？（銅是面心立方晶格，單價(jià)，鋅是二價(jià)）解設(shè)鋅原子個(gè)數(shù)與總原子個(gè)數(shù)之比為m，則有面心立方倒格子為體心立方，格常數(shù)為，[111]方向相切時(shí)有，所以鋅原子與銅原子之比為4.11三維簡(jiǎn)單立方晶格，立方原胞變成為a，試用簡(jiǎn)約布里淵區(qū)表示自由電子能量，定性畫(huà)出沿軸與留個(gè)近鄰倒格點(diǎn)相對(duì)應(yīng)的自由電子E(k)函數(shù)解簡(jiǎn)單立方晶格的晶格常數(shù)為a，倒格子基矢為，，倒格子仍然是簡(jiǎn)單立方格子，如下圖自由電子能量為，為廣延波矢，不一定在簡(jiǎn)約去中，但一定可以找到位移的一個(gè)倒格矢，使得，是簡(jiǎn)約波矢，則對(duì)于三維簡(jiǎn)單立方格子k為簡(jiǎn)約波矢，為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，去k的單位為，的單位是則對(duì)于方向，且取內(nèi)討論，則所以，單簡(jiǎn)并六個(gè)近鄰倒格點(diǎn)的自由電子E(k)函數(shù)，單簡(jiǎn)并，四重簡(jiǎn)并，單簡(jiǎn)并4.12．設(shè)有二維正方晶格，晶體勢(shì)為用近自由電子近似的微擾論，近似求出布里淵區(qū)頂角處的能隙．解：以表示位置矢量的單位矢量，以表示倒易矢量的單位矢量，則有，晶體勢(shì)能。這樣基本方程求布里淵區(qū)角頂，即處的能隙，可利用雙項(xiàng)平面波近似來(lái)處理。當(dāng)時(shí)依次有而其他的，，所以在雙項(xiàng)平面波近似下上式中只有，因?yàn)?)簡(jiǎn)單立方晶格的晶格常數(shù)為a，倒格子基矢為第一布里淵區(qū)如圖7—2所示．4.13證明面心立方晶體的s帶緊束近似下的E(k)函數(shù)，在沿著布里淵區(qū)幾個(gè)住對(duì)此軸防線，可以約華成以下形式(1):沿ΓX方向（,）(2):沿ΓL方向,（，）(3):沿ΓK方向,（,kz=0，）(4):沿ΓW方向,（,，）解：面心立方點(diǎn)陣最緊鄰近似下S的電子緊束縛近似能帶為(1):沿ΓX方向,將,代入（1）得:=(2):沿ΓL方向,將,代入（1）得:=(3):沿ΓK方向,將,kz=0代入（1）得:=(4):沿ΓW方向,將,代入（1）得:=

第五章習(xí)題設(shè)一維晶體的電子能帶可以寫(xiě)成其中a為晶格常數(shù)，計(jì)算能帶的寬度電子在波矢k的狀態(tài)時(shí)的速度能帶底部和能帶頂部電子的有效質(zhì)量解1)能帶的寬度的計(jì)算能帶底部能帶頂部能帶寬度2）電子在波矢k的狀態(tài)時(shí)的速度

電子的速度3)能帶底部和能帶頂部電子的有效質(zhì)量電子的有效質(zhì)量能帶底部有效質(zhì)量能帶頂部有效質(zhì)量5.2晶格常數(shù)為的一維晶格，當(dāng)外加和電場(chǎng)是，試分別估算電子自能帶底運(yùn)動(dòng)到能帶頂所需要的時(shí)間解對(duì)晶體施加壓力電場(chǎng)，電子在電場(chǎng)作用下不斷改變狀態(tài)，表現(xiàn)為電子在空間的運(yùn)動(dòng)，有晶體中電子運(yùn)動(dòng)的準(zhǔn)經(jīng)典運(yùn)動(dòng)方程則電子在空間的速度頂與帶底相距故所需時(shí)間時(shí)時(shí)5.3試證在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的布拉格電子，在k空間中軌跡面積和在r空間的軌跡面積之間的關(guān)系為解電子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)受到洛倫茲力作用，有晶體運(yùn)動(dòng)準(zhǔn)經(jīng)典運(yùn)動(dòng)方程對(duì)t積分在垂直于B的平面內(nèi)所以，電子在k空間中的軌道面積和r空間中的軌道面積之間有5.4（1）根據(jù)自由電子模型計(jì)算鉀的德.哈斯-范.阿爾芬效應(yīng)的周期對(duì)于B1=T，在其實(shí)空間中電子運(yùn)動(dòng)軌跡的面積有多大？解（1）二維自由電子氣費(fèi)米圓的面積三維k空間形成一系列圓柱面，每當(dāng)有一個(gè)圓柱面恰好與費(fèi)米球相切是，系統(tǒng)能量增量最大，使得帶腦子系統(tǒng)能量增量隨著呈現(xiàn)周期變化，周期取決于最大截面，鉀的a為體心立方晶胞的邊長(zhǎng)在真空空間中電子運(yùn)動(dòng)軌跡的面積設(shè)電子等能面為橢球外加磁場(chǎng)B相對(duì)于橢球主軸方向余弦為寫(xiě)出電子的準(zhǔn)經(jīng)典運(yùn)動(dòng)方程證明電子繞磁場(chǎng)回轉(zhuǎn)頻率為。其中解恒定磁場(chǎng)中電子運(yùn)動(dòng)的基本方程電子的速度電子能量電子的速度磁感應(yīng)強(qiáng)度電子運(yùn)動(dòng)方程應(yīng)用關(guān)系——電子運(yùn)動(dòng)方程令有非零解，系數(shù)行列式為零無(wú)意義旋轉(zhuǎn)頻率其中5.6若已知，導(dǎo)出k=0點(diǎn)上的有效質(zhì)量張量，并找出主軸方向解先求導(dǎo)有效質(zhì)量張量故求導(dǎo)有效質(zhì)量張量為k=0時(shí)的有效質(zhì)量張量為接著求主軸方向時(shí)得，時(shí)，同理可得，但和不正交，故需正交化，則單位化得三個(gè)主軸方向

第六章習(xí)題6.1He3的自旋為1/2，是費(fèi)米子。液體He3在絕對(duì)零度附近的密度為0.081gcm-3.計(jì)算費(fèi)米能EF和費(fèi)米溫度TF解在絕對(duì)零度時(shí)，近似等觸面為球面6.2在低溫下金屬鉀的摩爾熱容量的實(shí)驗(yàn)結(jié)果可寫(xiě)成如果一個(gè)摩爾的金屬鉀有個(gè)電子，求鉀的費(fèi)米溫度解一摩爾的電子對(duì)熱容的貢獻(xiàn)與實(shí)驗(yàn)結(jié)果比較費(fèi)米溫度

6.3若將銀看成具有球形費(fèi)米面的單價(jià)金屬，計(jì)算以下各量

1)費(fèi)密能量和費(fèi)密溫度2）費(fèi)米球半徑3）費(fèi)米速度4）費(fèi)米球面的橫截面積5）在室溫以及低溫時(shí)電子的平均自由程解1）費(fèi)密能量費(fèi)密溫度2)費(fèi)密球半徑3)費(fèi)密速度4)費(fèi)密球面的橫截面積――是與z軸間夾角5)在室溫以及低溫時(shí)電子的平均自由程電導(dǎo)率馳豫時(shí)間平均自由程0K到室溫之間的費(fèi)密半徑變化很小平均自由程將代入6.4設(shè)N個(gè)電子組成簡(jiǎn)并電子氣，體積為V，證明T=0K時(shí)1）每個(gè)電子的平均能量2）自由電子氣的壓強(qiáng)滿足解自由電子的能態(tài)密度T=0K，費(fèi)米分布函數(shù)電子總數(shù)電子平均能量將電子氣看作是理想氣體，壓強(qiáng)6.5如果弛豫時(shí)間r(k)為一與k無(wú)關(guān)的常數(shù)。說(shuō)明在電場(chǎng)中的一級(jí)近似解f0+f1，實(shí)際表明整個(gè)平衡分在k空間平移了一定的距離。解:定態(tài)問(wèn)題的波爾茲曼方程見(jiàn)教材296頁(yè)（6‐55）式。如果采取弛豫時(shí)間近似并僅加上電場(chǎng)，設(shè)電場(chǎng)強(qiáng)度為ε，則波爾茲曼方程可以簡(jiǎn)化為（即書(shū)上297頁(yè)（6‐58）式）(1)由此可以得到(2)一般來(lái)說(shuō)，ε不是很大，是弱場(chǎng)。所以f和f0差別不大，因此（2）式右端的f可以用f0代替，所以（2）式可以寫(xiě)成(3)對(duì)比數(shù)學(xué)公式(4)則（3）式可以化為(5)從（5）式可以看出來(lái)，由于認(rèn)為弛豫時(shí)間τ是一個(gè)與k無(wú)關(guān)的常數(shù)，所以整個(gè)分布函數(shù)在k空間平移了一定的距離。6.6考慮球形等能面的一階金屬（布里淵區(qū)半滿），設(shè)布里淵區(qū)的形狀為簡(jiǎn)單立方，具體估計(jì)，電子為格波散射，在大多的散射角之內(nèi)，旋轉(zhuǎn)定則中Gn=0解:設(shè)波矢為k的電子發(fā)射或是吸收動(dòng)量為q的聲子之后波矢變?yōu)閗’，由于聲子同時(shí)具有能量和動(dòng)量，所以電子的能量和動(dòng)量均不守恒。但是，由于一般來(lái)說(shuō)聲子所攜帶的能量相對(duì)于電子不大，所以這里近似認(rèn)為電子發(fā)射或是吸收聲子之后只改變動(dòng)量，能量不變，即，其中kf為費(fèi)米波矢。換句話說(shuō)，這里僅僅考慮彈性散射，波矢大小保持不變但方向改變，并且散射發(fā)生在費(fèi)米面上。由于Gn=0，所以這里的電子‐聲子的散射過(guò)程是一個(gè)正常過(guò)程（N過(guò)程），也就是電子散射前后其動(dòng)量和聲子的動(dòng)量都在第一布里淵區(qū)。如果以帶箭頭的直線代表電子線，彎曲線代表聲子線，則動(dòng)量關(guān)系如右圖所示（方框代表第一布里淵區(qū)，需要注意的是圖中沒(méi)有給出費(fèi)米面）。動(dòng)量三角形是一個(gè)等腰三角形。設(shè)最大的散射角為θ1，則(1)對(duì)聲子的處理取德拜模型，此時(shí)q有最大值qmax，由第三章的只是可以求得，對(duì)于單價(jià)原子的金屬可以求得，其中是晶胞的體積。由（1）式可以得到即所以在以?xún)?nèi)的范圍中，選擇定則中的Gn=0。6.7利用波爾茲曼方程的弛豫時(shí)間近似解法證明弱磁場(chǎng)并不改變電子的平衡分布，并說(shuō)明其反映的物理圖像若電場(chǎng)，磁場(chǎng)為，求出含E一次方程的近似解解:(1)，設(shè)磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，則在電場(chǎng)磁場(chǎng)同時(shí)存在的情況下應(yīng)該有(1)波爾茲曼方程寫(xiě)成(2)一般外界電場(chǎng)和磁場(chǎng)對(duì)于電子的作用遠(yuǎn)小于晶體中原子對(duì)于電子的作用，因而可以看成是弱場(chǎng)，所以（2）式右邊的f可以用f0代替，由此（2）式可以寫(xiě)成(3)由于(4)將（4）式帶入（3）式有(5)因此，在一級(jí)近似下，磁場(chǎng)對(duì)分布函數(shù)沒(méi)有貢獻(xiàn)。其原因是在經(jīng)典理論中，磁場(chǎng)只改變電子的運(yùn)動(dòng)方向，不改變電子的能量，所以從經(jīng)典理論來(lái)看，磁場(chǎng)不改變電子的分布函數(shù)。(2)，很顯然由于一級(jí)近似下的(5)式與磁場(chǎng)無(wú)關(guān)，所以如果要體現(xiàn)磁場(chǎng)的影響，必須考慮更高階的近似。設(shè)與磁場(chǎng)強(qiáng)度H相應(yīng)的磁感強(qiáng)度為B=(0，0，B0)，而B(niǎo)=μ0H，其中μ0為真空磁導(dǎo)率，以下求解時(shí)使用磁感強(qiáng)度B，最后結(jié)果中再以H代回。如前所述，由于一般情況下外場(chǎng)可以看成是弱場(chǎng)，所以非平衡態(tài)分布函數(shù)f與平衡態(tài)分布函數(shù)f0差別不大，可以對(duì)f進(jìn)行展開(kāi)，即(a)其中是一個(gè)小量。從第一問(wèn)可以看到，的一級(jí)近似為，在一級(jí)近似下，磁場(chǎng)對(duì)分布函數(shù)并無(wú)影響，如果想要求出含B一次方的解，則要求出的二級(jí)近似將(a)式代入(2)式，得到(6)對(duì)(a)式兩端求梯度，即(7)將（4）式代入（7）式右端第一項(xiàng)，并忽略掉包含的第二項(xiàng)（這是由于是一個(gè)小量，所以（7）式右邊的第二項(xiàng)可以忽略。但是，最后一項(xiàng)是的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)則不能忽略），應(yīng)有(8)將（8）式代入（6）式可以得到即(9)將（9）式右邊最后一項(xiàng)中的近似的取為，并考慮到，其中是電子有效質(zhì)量，計(jì)算時(shí)同時(shí)忽略掉包含的項(xiàng)，