PAGE3.2半角公式(15分鐘35分)1.已知cosθ=-QUOTE,θ∈QUOTE,則sinQUOTE+cosQUOTE=()A.-QUOTE B.QUOTEC.-QUOTE D.QUOTE【解析】選D.因為θ∈QUOTE,所以QUOTE∈QUOTE,所以sinQUOTE=QUOTE=QUOTE,cosQUOTE=-QUOTE=-QUOTE,所以sinQUOTE+cosQUOTE=QUOTE.2.(2024·西安高一檢測)已知cosα=-QUOTE,α∈QUOTE,則QUOTE=()A.-QUOTE B.-2 C.QUOTE D.2【解析】選B.由cosα=-QUOTE,α∈QUOTE,得sinα=-QUOTE,QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=-QUOTE,所以QUOTE=-2.3.(2024·濟南高一檢測)在△ABC中,若sinBsinC=cos2QUOTE,則下面等式肯定成立的為()A.A=B B.A=CC.B=C D.A=B=C【解析】選C.在△ABC中,因為sinBsinC=cos2QUOTE=QUOTE,所以2sinBsinC=-cosBcosC+sinBsinC+1,所以cosBcosC+sinBsinC=cos(B-C)=1,因為-π<B-C<π,所以B-C=0,B=C.4.(2024·福州高一檢測)已知sinQUOTE-cosQUOTE=-QUOTE,450°<α<540°,則tanQUOTE的值為________.

【解析】由題意得QUOTE=QUOTE,即1-sinα=QUOTE,所以sinα=QUOTE,因為450°<α<540°,所以cosα=-QUOTE,所以tanQUOTE=QUOTE=QUOTE=2.答案:25.(2024·永安高二檢測)若α∈QUOTE,化簡:QUOTE=________.

【解析】因為α∈QUOTE,所以QUOTE∈QUOTE,所以cosα<0,sinQUOTE>0,所以QUOTE=QUOTE=-cosα.所以原式=QUOTE=QUOTE=sinQUOTE.答案:sinQUOTE6.(2024·浦東高二檢測)已知α,β∈QUOTE且α<β,若sinα=QUOTE,cos(α-β)=QUOTE,求:(1)cosβ的值;(2)tanQUOTE的值.【解析】(1)因為α,β∈QUOTE,sinα=QUOTE,所以cosα=QUOTE,因為α<β,所以α-β∈QUOTE,又cosQUOTE=QUOTE,所以sinQUOTE=-QUOTE,所以cosβ=cosQUOTE=cosαcosQUOTE+sinαsinQUOTE=QUOTE×QUOTE-QUOTE×QUOTE=QUOTE.(2)由(1)得cosβ=QUOTE,所以sinβ=QUOTE,所以tanQUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE.(30分鐘60分)一、單選題(每小題5分,共20分)1.(2024·洛陽高二檢測)已知cosQUOTE=QUOTE,α∈QUOTE,則sinQUOTE=()A.QUOTE B.-QUOTE C.QUOTE D.-QUOTE【解析】選C.因為角QUOTE是QUOTE的2倍,所以sin2QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE,因為α∈QUOTE,所以QUOTE∈QUOTE,所以sinQUOTE=QUOTE=QUOTE,所以cosQUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE,所以sinQUOTE=sinQUOTE=sinQUOTE·cosQUOTE+cosQUOTEsinQUOTE=QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE=QUOTE.2.(2024·延安高一檢測)設(shè)cos(x+y)sinx-sin(x+y)cosx=QUOTE,且y是第四象限角,則tanQUOTE的值是()A.-QUOTE B.±QUOTE C.-QUOTE D.±QUOTE【解析】選A.因為cos(x+y)sinx-sin(x+y)cosx=QUOTE,所以siny=sinQUOTE=sin(x+y)cosx-cos(x+y)sinx=-QUOTE,因為y是第四象限角,所以cosy=QUOTE=QUOTE=QUOTE,由半角公式得tanQUOTE=QUOTE=QUOTE=-QUOTE×QUOTE=-QUOTE.3.(2024·三亞高一檢測)若3π<x<4π,則QUOTE+QUOTE=()A.QUOTEcosQUOTE B.-QUOTEcosQUOTEC.QUOTEsinQUOTE D.-QUOTEsinQUOTE【解析】選C.因為3π<x<4π,所以QUOTE<QUOTE<2π,sinQUOTE<0,cosQUOTE>0.于是QUOTE+QUOTE=QUOTE+QUOTE=cosQUOTE-sinQUOTE=QUOTE=QUOTEsinQUOTE.【補償訓練】給出下列等式:(1)QUOTE-tanQUOTE=-QUOTE;(2)QUOTE=tan(α-β);(3)QUOTE=-QUOTE;(4)tan2QUOTE=QUOTE.其中正確的等式序號是________.(將你認為正確的等式序號全部寫出來)

【解析】對于等式(1),左邊=QUOTE=2×QUOTE=QUOTE,等式(1)不成立;對于等式(2),左邊==QUOTE=-QUOTE=-QUOTE=-tanQUOTE,等式(2)不成立;對于等式(3),左邊=QUOTE=tanQUOTE=tanQUOTE=tanQUOTE=-tanQUOTE=-QUOTE,等式(3)成立;對于等式(4),等式右邊=QUOTE=QUOTE=tan2QUOTE,等式(4)成立.答案:(3)(4)4.已知函數(shù)f(α)=4(sin2α-cos2α)+2,在銳角三角形ABC中f(A)=6,且cos2B=cos2C,則tanB的值為()A.1 B.QUOTE-1C.QUOTE+1 D.QUOTE【解析】選C.因為函數(shù)f(α)=4(sin2α-cos2α)+2=4QUOTEsinQUOTE+2,又因為在銳角三角形ABC中,f(A)=6,所以f(A)=4QUOTEsinQUOTE+2=6,即sinQUOTE=QUOTE,所以2A-QUOTE=QUOTE或2A-QUOTE=QUOTE,解得A=QUOTE或A=QUOTE(舍去),又因為cos2B=cos2C,所以2B=2C,即B=C=QUOTE,所以tanB=QUOTE=QUOTE=QUOTE+1.【誤區(qū)警示】留意本題中銳角三角形的限制,產(chǎn)生多解后要對其進行檢驗.二、多選題(每小題5分,共10分,全部選對得5分,選對但不全的得3分,有選錯的得0分)5.(2024·長沙高一檢測)下列三角式中,值為1的是()A.4sin15°cos15° B.2QUOTEC.QUOTE D.QUOTE【解析】選ABC.A.4sin15°cos15°=2sin(2×15°)=2sin30°=1,本選項符合題意;B.2QUOTE=2cosQUOTE=2cosQUOTE=1,本選項符合題意;C.QUOTE=tan(2×22.5°)=tan45°=1,本選項符合題意;D.QUOTE=QUOTE=cosQUOTE≠1,本選項不符合題意.6.已知函數(shù)f(x)=QUOTE-2sinxcosx,則下列選項正確的是()A.函數(shù)f(x)的最小正周期是πB.函數(shù)f(x)在區(qū)間QUOTE上單調(diào)遞增C.函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點QUOTE對稱D.函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于x=-QUOTE對稱【解析】選AD.因為f(x)=QUOTE-2sinxcosx=cos2x-sin2x=QUOTEcosQUOTE,對選項A,函數(shù)的最小正周期為T=QUOTE=π,故正確;對選項B,因為-QUOTE≤x≤QUOTE?0≤2x+QUOTE≤QUOTE,所以f(x)在QUOTE上單調(diào)遞減,故錯誤;對選項C,fQUOTE=QUOTEcosQUOTE=QUOTE,函數(shù)不關(guān)于點QUOTE對稱,故錯誤.對選項D,fQUOTE=QUOTEcosQUOTE=QUOTE,函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于x=-QUOTE對稱,故正確.【光速解題】B選項可以將區(qū)間端點值代入驗證得fQUOTE>fQUOTE,故不成立,由對稱中心在平衡位置處及對稱軸對應(yīng)的函數(shù)值為最大或最小值易知C錯D對.三、填空題(每小題5分,共10分)7.(2024·杭州高一檢測)若α的終邊上的點(x,y)滿意y=2xQUOTE,則sinα-cosα=________,tanQUOTE=________.

【解析】在α的終邊上,隨意取一點QUOTE,則sinα=QUOTE=-QUOTE,cosα=QUOTE=-QUOTE,則sinα-cosα=-QUOTE=-QUOTE,tanQUOTE=QUOTE=-QUOTE.答案:-QUOTE-QUOTE8.(2024·上海高一檢測)若△ABC為等腰三角形,頂角為A,cosA=-QUOTE,則sinB=________.

【解題指南】利用等腰三角形進行A,B兩角的關(guān)系轉(zhuǎn)化,從而由A角的函數(shù)值得B角的函數(shù)值.【解析】因為△ABC為等腰三角形,頂角為A,所以B=QUOTE,sinB=sinQUOTE=cosQUOTE,由半角公式得cosQUOTE=±QUOTE=±QUOTE,又cosA<0,故A為鈍角,QUOTE∈QUOTE,所以sinB=cosQUOTE=QUOTE.答案:QUOTE四、解答題(每小題10分,共20分)9.已知函數(shù)f(x)=QUOTE.(1)求fQUOTE的值;(2)當x∈QUOTE時,求g(x)=QUOTEf(x)+sin2x的最大值和最小值.【解析】(1)f(x)=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=2cos2x.所以fQUOTE=2cosQUOTE=2cosQUOTE=-QUOTE.(2)由(1)知f(x)=2cos2x,g(x)=QUOTEf(x)+sin2x=cos2x+sin2x=QUOTEsinQUOTE.因為x∈QUOTE,所以QUOTE≤2x+QUOTE≤QUOTE,所以g(x)max=QUOTE,g(x)min=-1.10.(2024·上海高一檢測)如圖,在xOy平面上,點A(1,0),點B在單位圓上,∠AOB=θ(0<θ<π).(1)若點BQUOTE,求tanQUOTE的值;(2)若+=,四邊形OACB的面積用Sθ表示,求Sθ+·的取值范圍.【解析】(1)因為BQUOTE,∠AOB=θ,所以cosθ=-QUOTE,sinθ=QUOTE.所以tanQUOTE=QUOTE=QUOTE=2.所以tanQUOTE=QUOTE=QUOTE=-3.(2)Sθ=QUOTEsinθ=sinθ,因為=QUOTE,=QUOTE,所以=+=QUOTE,所以·=1+cosθ,所以Sθ+·=sinθ+cosθ+1=QUOTEsinQUOTE+1(0<θ<π),因為QUOTE<