2024年高考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)題型歸納與方法總結(jié)(新高考通用)

素養(yǎng)拓展08洛必達(dá)法則的應(yīng)用(精講+精

練)

一、知識(shí)點(diǎn)梳理

一、前言

在高中，涉及到求參數(shù)的取值范圍時(shí)，參數(shù)分離后，有時(shí)會(huì)出現(xiàn)分子與分母之比為兩個(gè)無(wú)

窮小之比、兩個(gè)無(wú)窮大之比或兩個(gè)趨近于零的數(shù)之比。這個(gè)比值可能是定值也可能是不存在,

這時(shí)如果我們要計(jì)算出他們的比值，就需要運(yùn)用到洛必達(dá)法則。

二、洛必達(dá)法則定義

在一定條件下，通過(guò)分子分母分別求導(dǎo)，再求極限來(lái)確定未定式的值的方法，稱(chēng)為洛必達(dá)

法則。

三、法則形式

1.法則1(《型)：若函數(shù)/(X)和g(x)滿足下列條件：

(1)設(shè)當(dāng)Xfa時(shí)，吧/(x)=°及噂g(x)=0；

(2)在點(diǎn)。處函數(shù)/J)和g(x)的圖像是連續(xù)的，即函數(shù)/*)和g(尤)在點(diǎn)。處存在導(dǎo)數(shù)；

⑼?坐則Jim用=1而筆“

2.法則2(，型)：若函數(shù)/(x)和g(x)滿足下列條件：

(l)lim/(x)=O及l(fā)img(x)=O；

X—>00\/X—>00\

⑵在點(diǎn)a處函數(shù)/")和g(x)的圖像是連續(xù)的，即函數(shù)Ax)和g(無(wú))在點(diǎn)a處存在導(dǎo)數(shù)；

(9)lim(，x[=1,貝％=lim/尸)=/.

Xf8g(x)Xf8g(町Xf8g(x)

9.法則9(三型)：若函數(shù)/(X)和g(x)滿足下列條件：

00

(1)lim/(x)=oo及l(fā)img(x)=oo；

x-x->a

(2)在點(diǎn)a處函數(shù)/(%)和g(無(wú))的圖像是連續(xù)的,即函數(shù)/(元)和g(x)在點(diǎn)a處存在導(dǎo)數(shù)；

且g,(x)豐0；

⑼.坐=/,則：.室=lim坐〃

zag(X)zag(可

【特別提醒】

(1)將上面公式中的x-f+8換成元->+<x),x—fo,%〃—洛必達(dá)法

則也成立。

(2)洛必達(dá)法則可處理。，藝。00,r°,00°,0°,00-00型。

000

(9)首先要檢查是否滿足。，三,0-oo,r°,00°,0°,00-00型定式，否則用洛必達(dá)法會(huì)出錯(cuò)。

0oo

當(dāng)不滿足三個(gè)前提條件時(shí)，就不能用洛必達(dá)法則

(4)若條件符合，洛必達(dá)法則可連續(xù)多次使用，直到求出極限為止。

(5)高中階段，洛必達(dá)法則一般是用來(lái)確定最值，方便解題。

四、適用類(lèi)型的轉(zhuǎn)化

10010

(1)0,OO型的轉(zhuǎn)化：0?OO=>-----8=—或0?OO=>()?—=—;

000000

110-00

(2)oo-s型的轉(zhuǎn)化:00—00=>---------=>

00000

0°1fO.lnO

(9)?！?、「刃*11型的轉(zhuǎn)化：鬲指函數(shù)類(lèi)「"瞿對(duì)數(shù)-nOa

oo0[0-Inoo

二、題型精講精練

【典例1】設(shè)函數(shù)，(x)=eX—l—x—ax2。

(1)若。=0,求/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若當(dāng)了之0時(shí)/(x)NO,求a的取值范圍

解：(1)a=0時(shí)，f{x}=ex-1-x,f\x)=ex-l.

當(dāng)xe(—8,0)時(shí)，/,(x)<0；當(dāng)xe(0,+8)時(shí)，/(x)>0.故在(―8,0)單調(diào)減少,

在(0,+oo)單調(diào)增加

(II)f\x)=ex-l-2ax

由(I)知e^Nl+x,當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)等號(hào)成立.故

f\x)>x-2ax=(l-2?)x,

從而當(dāng)1—2a?0,即時(shí)，/'(x)>0(%>0),而/(0)=0,

于是當(dāng)x?0時(shí)，/(x)>0.

由e*>l+x(xwO)可得>1-X(XHO).從而當(dāng)?！倒r(shí)，

2

f\x)<ex-l+2a(e-x-1)=e\ex-l)(e*-2a),

故當(dāng)xe(0,ln2a)時(shí)，/'(x)<0,而/(0)=0,于是當(dāng)xe(0,ln2a)時(shí)，/(x)<0.

綜合得。的取值范圍為1-啊

原解在處理第(II)時(shí)較難想到，現(xiàn)利用洛必達(dá)法則處理如下：

另解：(II)當(dāng)x=0時(shí)，/(x)=0,對(duì)任意實(shí)數(shù)a,均在/(x)20；

當(dāng)x>0時(shí)，/⑴對(duì)等價(jià)于々/—-

X

*/\c.x—x—1/八\?，/、xcx—+x+2.

令g(x)=---2-(尤>0),貝n!Ig(x)=-------3------>令

XX

/z(x)=x/—2/+x+2(x>0),貝！=/z"(x)=xe">0,

知勿(%)在(0,+8)上為增函數(shù),“(%)>/(0)=0；知//(%)在(0,+oo)上為增函數(shù)，

/z(x)>/i(O)=O；/.g'(x)>0,g(x)在(0,+o。)上為增函數(shù)。

xxx

e_x_]ee1

由洛必達(dá)法則知，lim--—=lim—

—。+x—°+2x—°+22

故綜上，知a的取值范圍為1-叫g(shù)j

7T

【典例2】若不等式依>sinx對(duì)于xe(0,Q)恒成立，求a的取值范圍.

TTQinX

解：當(dāng)Xe(0,丁)時(shí)，原不等式等價(jià)于a〉——.

2x

j己/(兀)=sin尤貝=xcosx-sinx_cosx(x-tanx)

X''X2X2

jrcinxjr

且元￡(0,7)時(shí)，％<tanx,所以尸(%)<。.因此/(%)=——在(0,彳)上單調(diào)遞減(也

2x2

就是X趨于。時(shí)，/（x）最大）

sinx、r/八、［.、smxcos%

?！刀?a>"x)M=〃°)，颼;?(x)=rI非丁=鷺丁=1.所以/I

【典例9】（1）08型

lim(xlnx)=limlimlim(―%)=0

尤—o冗—0+%-o+%-0+

技巧：將乘積中無(wú)窮或。取倒數(shù)進(jìn)而變形到分母上，化為T(mén)或三型

［典例4］(2)oo-oo型

技巧：可將無(wú)窮通分，進(jìn)而化為抵型

【典例5】（9）oo。型

轉(zhuǎn)化方法同上，8°=elnoo°=e01no°=e0o°

1

111「ln(x+l)V+T「1

Iim(l+=limein(i+%)、=]jm族11+x=e冗嗯x=e%騁1=e久嗯尤+1

X—>00x—>00X—>OO

—e0=1

技巧：可利用對(duì)數(shù)性質(zhì)e?a=a，將函數(shù)化為以為e底數(shù)的指數(shù)函數(shù)，轉(zhuǎn)化為對(duì)指數(shù)求極限。

轉(zhuǎn)化方法如下：1°°=e,nl°°=e8ml=e°°°,這樣就化為了0s型

【題型訓(xùn)練】

1.已知函數(shù)/(%)-ex—x—1,若當(dāng)%>0時(shí)，恒有|/(%)|<m/e團(tuán)成立，求實(shí)數(shù)Ju

的取值范圍.

2.設(shè)函數(shù)/(x)=l—6一1

x

(I)證明：當(dāng)x>—1時(shí)，/(%)>——；

X+1

Y

(II)設(shè)當(dāng)時(shí)，/(%)<-----,求。的取值范圍.

ax+\

/7InTh

9.函數(shù)/(%)=--+-,曲線y=于(X)在點(diǎn)(1,7(I))處的切線方程為x+2y-3=0.

x+1x

(1)求b的值；

InK

(2)如果當(dāng)1>0,且XW1時(shí)，/(%)>——+-,求人的取值范圍.

x-1x

4.設(shè)函數(shù)/(x)=l—H*.

(1)證明：當(dāng)x>—1時(shí)，/(%)>——；

尤+1

Y

(2)設(shè)當(dāng)時(shí)，/(%)<-----，求。的取值范圍.

ax+1

5.若不等式sinxx-加對(duì)于尤”，蕓恒成立，求。的取值范圍.

6.已知/(%)=(%+l)lnx.

⑴求/(%)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若對(duì)于任意久>1,不等式X|區(qū)2-ax\+a<0成立，求a的取值范圍.

Lx+l」

2024年高考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)題型歸納與方法總結(jié)(新高考通用)

素養(yǎng)拓展08洛必達(dá)法則的應(yīng)用(精講+精

練)

一、知識(shí)點(diǎn)梳理

一、前言

在高中，涉及到求參數(shù)的取值范圍時(shí)，參數(shù)分離后，有時(shí)會(huì)出現(xiàn)分子與分母之比為兩個(gè)無(wú)

窮小之比、兩個(gè)無(wú)窮大之比或兩個(gè)趨近于零的數(shù)之比。這個(gè)比值可能是定值也可能是不存在,

這時(shí)如果我們要計(jì)算出他們的比值，就需要運(yùn)用到洛必達(dá)法則。

二、洛必達(dá)法則定義

在一定條件下，通過(guò)分子分母分別求導(dǎo)，再求極限來(lái)確定未定式的值的方法，稱(chēng)為洛必達(dá)

法則。

三、法則形式

1.法則1(1型)：若函數(shù)/(X)和g(x)滿足下列條件：

⑴設(shè)當(dāng)Xfa時(shí)，lim〃x)=o及l(fā)img(x)=0；

x-x-

(2)在點(diǎn)。處函數(shù)/(x)和g(x)的圖像是連續(xù)的，即函數(shù)Ax)和g(尤)在點(diǎn)。處存在導(dǎo)數(shù)；

(9)=貝小==

asg，(X)-g(X)xiag(x)

2.法則2(3型)：若函數(shù)于(x)和g(x)滿足下列條件：

(l)lim/(x)=O及!吧g(x)=。；

(2)在點(diǎn)a處函數(shù)/⑴和g(x)的圖像是連續(xù)的，即函數(shù)和g。)在點(diǎn)a處存在導(dǎo)數(shù)；

f(x)y(%)f'(x)

X78g(x)Xf8g(x)x-wg(x)

9.法則9(三型)：若函數(shù)/(X)和g(x)滿足下列條件：

00

(1)理=及陰g(x)=°°;

(2)在點(diǎn)a處函數(shù)，(戈)和g(x)的圖像是連續(xù)的,即函數(shù)Ax)和g(x)在點(diǎn)a處存在導(dǎo)數(shù)；

且g'(x)#0;

⑼1而坐=/,則：/坐=lim坐〃

Xfag(X)Xf"g(X)Xfag(x)

【特別提醒】

(1)將上面公式中的xfa,為f+8換成xf+oo,xffo,x->a+,x—底洛必達(dá)法

則也成立。

(2)洛必達(dá)法則可處理。，丈,0-oo,r°,00°,0°,00—00型。

000

(9)首先要檢查是否滿足2藝,0?8,r°,8°,0°,8-8型定式，否則用洛必達(dá)法會(huì)出錯(cuò)。

0oo

當(dāng)不滿足三個(gè)前提條件時(shí)，就不能用洛必達(dá)法則

(4)若條件符合，洛必達(dá)法則可連續(xù)多次使用，直到求出極限為止。

(5)高中階段，洛必達(dá)法則一般是用來(lái)確定最值，方便解題。

四、適用類(lèi)型的轉(zhuǎn)化

、1001o

(1)0,oo型的轉(zhuǎn)化：0-OO=>---00=—或0?oo=>0;

000000

oo—oo型的轉(zhuǎn)化：oo—oo上衛(wèi)=9

(2)

00000

0°]fO.lnO

(9)?！?、/刃。型的轉(zhuǎn)化：幕指函數(shù)類(lèi)「>臾對(duì)數(shù)-nOa

oo°Olnoo

二、題型精講精練

【典例11|設(shè)函數(shù)/'(x)=e*-l—x—ox?

(1)若a=0,求/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若當(dāng)x?0時(shí)/(%)>0,求a的取值范圍

解：(1)a=0時(shí)，f(x)=ex-l-x,f'(x)=ex-l.

當(dāng)xe(—8,0)時(shí)，/'(%)<0；當(dāng)xe(0,+(?)時(shí)，/(x)>0.故/(x)在(—8,0)單調(diào)減少,

在(0,+oo)單調(diào)增加

(II)f'(x)=ex-l-2ax

由(I)知QNl+x,當(dāng)且僅當(dāng)尤=0時(shí)等號(hào)成立.故

f\x)>x-2ax=(1-2a)x,

從而當(dāng)1—2aN0,即aV3時(shí)，/'(x)>0(x>0),而/(0)=0,

于是當(dāng)xNO時(shí)，/(x)>0.

由，>1+%(XW0)可得>1-X(X0).從而當(dāng)4〉L時(shí)，

2

/*(%)<ex-1+2a(e~x-1)=e~x(ex—1)(/-2a),

故當(dāng)次￡(0,ln2〃)時(shí)，/!(x)<0,而/(0)=。，于是當(dāng)x￡(0,ln2a)時(shí)，f(x)<0.

綜合得。的取值范圍為1-巴；j

原解在處理第(II)時(shí)較難想到，現(xiàn)利用洛必達(dá)法則處理如下：

另解：(II)當(dāng)％=0時(shí)，f(x)=0,對(duì)任意實(shí)數(shù)a,均在/*)20；

當(dāng)尤>0時(shí)，/(小0等價(jià)于々/_：_1

X

./\e"_x_1/?\..xcx—2e"+%+2

令g(x)=---2—(x>0),貝nUg(x)=-------3------,令A(yù)

XX

/z(x)=x^x-2^x+x+2(%>0),貝!!“(%)二比"-6"+1,h"(x)=xe">0,

知勿(力在(0,+oo)上為增函數(shù)，hf(x)>/if(O)=O；知網(wǎng)(在(0,+8)上為增函數(shù),

/z(x)>/?(0)=0；/.gf(x)>0,g(x)在(0,+oo)上為增函數(shù)。

x-r-1exex1

由洛必達(dá)法則知，lim——e--=lim—=lim—=—,

x->o+x-°+2x%-o+22

故aW；,綜上，知a的取值范圍為

7T

【典例2】若不等式依＞sinx對(duì)于xe(0,Q)恒成立，求”的取值范圍.

JToinV

解：當(dāng)Xe(0,三)時(shí)，原不等式等價(jià)于a〉——.

2x

記/(])=吧2,則f'(x)=xcosx-sinxcosx(x-tanx)

X

TTQinYTT

且Xe(0,小時(shí)，x<tanx,所以/3<0.因此/(x)=——在(0,-)上單調(diào)遞減(也

2x2

就是X趨于。時(shí)，/(上)最大)

。>皿oa>f(x)max=/(0),lim/(x)=lim皿=lim『=l.所以

max

xXf0%-0xXf01

【典例9】（1）08型

lim(xlnx)=limlimlim(—%)=0

%T0尤—O+工-0+M—O+

技巧：將乘積中無(wú)窮或0取倒數(shù)進(jìn)而變形到分母上，化為:或三型

【典例4】（2）8-QO型

技巧：可將無(wú)窮通分，進(jìn)而化為抵型

【典例5】（9）K型

轉(zhuǎn)化方法同上，8°=elnoo°=e01no0=e°但

1

111「ln(x+l)V+T「1

Iim(l+=limein(i+%)、=]jm族11+x=e冗嗯x=e%騁1=e久嗯尤+1

X—>00x—>00X—>OO

—e0=1

技巧：可利用對(duì)數(shù)性質(zhì)e?a=a，將函數(shù)化為以為e底數(shù)的指數(shù)函數(shù)，轉(zhuǎn)化為對(duì)指數(shù)求極限。

轉(zhuǎn)化方法如下：1°°=e,nl°°=e8ml=e°°°,這樣就化為了0s型

【題型訓(xùn)練】

1.已知函數(shù)/(%)-ex—x—1,若當(dāng)%>0時(shí)，恒有|/(%)|<m/e團(tuán)成立，求實(shí)數(shù)Ju

的取值范圍.

【解析】因?yàn)?(刀)=-龍一1,所以r(x)=e*-1,

所以當(dāng)xG(―8,0)時(shí),r(x)<。，即/(%)遞減，

當(dāng)XG(0,+8)時(shí),廣出>0,即/(X)遞增.

若當(dāng)x>0時(shí)，恒有1/3)1<m/e團(tuán)成立，即恒有0</(x)<m/e'成立,

當(dāng)x=。時(shí)，不等式恒成立.

當(dāng)x>。時(shí)，恒有0</(x)<m/ex成立，即1n>e)?,

ex-x-lx2-2ex+2x+2

令?，則()

H(x)=x2exH'X=x3ex

今以無(wú))=x2—2ex+2x+2,則》(x)=2x-2ex+2,進(jìn)一步九〃(刀)=2—

2ex<0,

所以"(尤)=2x-2ex+2在(0,+8)上單調(diào)遞減，所以“(%)<?(0)=0,

所以以%)=x2-2ex+2x+2在(0,+8)上單調(diào)遞減，所以九(尤)<ft(O)=0,

即H，(E)<0在(0,+8)上恒成立，所以H(%)在(0,+8)上單調(diào)遞減.

所以5…+宗=1鵬―0+點(diǎn)/=1皿一。+*：；+2)二條所以加之5?綜

上即的取值范圍為旨+8).

2.設(shè)函數(shù)/(x)=l—eT.

X

(I)證明：當(dāng)x>—1時(shí)，/(x)>-^-;

X+1

X

(II)設(shè)當(dāng)XNO時(shí)，y(x)v」一，求。的取值范圍.

ax+l

【解析】解：(I)略

(II)應(yīng)用洛必達(dá)法則和導(dǎo)數(shù)

由題設(shè)》之0,此時(shí)7(x)20.

|xX

①當(dāng)a<0時(shí)，若X〉—上，則一^<0,不成立；

aor+1ax+1

xx

②當(dāng)〃20時(shí)，當(dāng)時(shí)，/(%)<-----,即1—6一“?------；

ar+1ax+1

若X=0,則〃￡火；

Y\-e~x1xex-ex

若x>0,貝！J1—等價(jià)于即.

ax+1xax+1xex-x

、□/、犬e“-e"+l.，/、^2x—x2ex—2ex+1ex2c-八

記g(x)=--------，貝n！Jg(x)=---—~----=—^~^(ex-x--2+e).

xe-x(xe-x)(xe-x)

記/z(x)="—%2-2+e-x,則h'(x)=ex-lx-，h\x)=ex+e-x-2>Q.

因此，"(x)="—2x—婷在(0,+oo)上單調(diào)遞增，且"(0)=0,所以/z'(x)>0,

即/i(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，且〃(0)=0,所以/z(x)>0.

因此g'(x)=-h(x)>0,所以g(x)在(0,+s)上單調(diào)遞增.

(xev-x)

由洛必達(dá)法則有

xex-ex+\xexex+xex1

limg(x)=lim——上」」=lim————=lim即當(dāng)X.0時(shí),

x

3-0xex_x3ex+xex_]32e+xe^2

g(x)fg,即有g(shù)(x)〉g,所以awg.綜上所述，a的取值范圍是(-oo,g].

/7InV卜

9.函數(shù)/(九)=--+曲線y=/(%)在點(diǎn)(1,/(D)處的切線方程為x+2y—3=0.

x+1x

(1)求a、b的值;

Inxk

(2)如果當(dāng)x>0,且xwl時(shí)，/(x)>——+-,求左的取值范圍.

x-1X

解:(1)易得。=1,b=l.

當(dāng)尤>0,且xwl時(shí)，/(%)>也土+2,即Inx1Inxk

(2)+—>----+—,

x-1Xx+1Xx-1X

,,xlnx1xlnx2xlnx、一/、2元In犬.?

也即左v-----+---------=-----r+l,記g(X)=----r+l,x>0,且xwl

x+1Xx—11—X1—X

2(x2+1)Inx+2(1-x2)_2(x2+1)(lnx+蕓),

則g'(x)=

(1-x2)2(I"x+1

22

記心).A31_v2，則〃⑴i二-+4詞丫再n_顯x\g〉°，

從而h(x)在(0,+s)上單調(diào)遞增，且h(I)=0,因此當(dāng)xe(0,1)時(shí)，h(x)<0,當(dāng)xe(1,+s)

時(shí),〃(x)>0；當(dāng)xe(0,l)時(shí),g'(x)<0,當(dāng)xc(l,+s)時(shí)，g3>0,所以g(x)在(0,1)

上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增.

由洛必達(dá)法則有

2x]nx八1_2x]nx.-21nx+2八

limg(x)=lim(------+1)=l+lim-----=1+lim----------=0,

22

T->1Xf11-x%川1-xn-2x

即當(dāng)x>0,且時(shí)，g(x)>0.因?yàn)樽?lt;g(x)恒成立，所以左WO.綜上所述，當(dāng)》>0,

且xwl時(shí)，/(%)>電生+?成立，左的取值范圍為(—8,0].

X-1X

4.設(shè)函數(shù)/(x)=l—

(1)證明：當(dāng)x>—1時(shí)，/(%)>——；

x+1

Y

(2)設(shè)當(dāng)xNO時(shí)，f(x)<-----,求。的取值范圍.

?x+l

解：(1)易證.

(2)應(yīng)用洛必達(dá)法則和導(dǎo)數(shù)

由題設(shè)此時(shí)/(x)20.

|xX

①當(dāng)〃<0時(shí)，若,則-----<0,/(%)<-----不成立;

aax+1ax+1

xx

②當(dāng)420時(shí)，當(dāng)時(shí)，/(%)<-----,即1—-----；

6zx+lax+1

若X=0,則〃￡火；

Y1一尸1丫〃_口%+1

若x>0,貝！J1—"工K----等價(jià)于即a〈三_幺士

ax+1xax+1xex-x

xxlx2xxx

xe—e+1.，/、e—xe—2e+1ex2c_x、

記g(x)=則g°°=(-)2r-2+e).

xex-x

記/?(%)=^-/-2+二，貝!J"(x)=e*—2x—,h\x)=ex+ex-2>Q.

因此,〃(x)=ex—2x—d*在(0,+8)上單調(diào)遞增，且"0)=0,所以“(x)>0,

即”(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，且丸(0)=0,所以〃(x)>0.

因此所以g⑴在3+8)上單調(diào)遞增.

x-xxexex+xex1

由洛必達(dá)法貝!1有l(wèi)img(x)=lim-X-e----e----=lim-----------=lim---------=—

xex-xex+xex-12ex+xex2

即當(dāng)xfO時(shí)，g(x)f即有g(shù)(x)〉；，所以O(shè)WaW；.

綜上所述，a的取值范圍是［0,』］.

2

5.若不等式sinQA/對(duì)于x恒成立，求。的取值范圍.

【答案】

O

【詳解】當(dāng)時(shí)，原不等式等價(jià)于“>七歲.