2025屆天津市東麗區(qū)民族中學(xué)高三第四次模擬考試數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知拋物線(xiàn)和點(diǎn)，直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于不同兩點(diǎn)，，直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于另一點(diǎn)．給出以下判斷：①直線(xiàn)與直線(xiàn)的斜率乘積為；②軸；③以為直徑的圓與拋物線(xiàn)準(zhǔn)線(xiàn)相切.其中，所有正確判斷的序號(hào)是（）A．①②③ B．①② C．①③ D．②③2．函數(shù)，，則“的圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)”是“是奇函數(shù)”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)且，則()A． B． C． D．4．已知，則（）A． B． C． D．5．在平面直角坐標(biāo)系中，若不等式組所表示的平面區(qū)域內(nèi)存在點(diǎn)，使不等式成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．6．已知直線(xiàn)與直線(xiàn)則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件7．已知實(shí)數(shù)滿(mǎn)足線(xiàn)性約束條件，則的取值范圍為（）A．(-2,-1］ B．(-1,4］ C．[-2,4) D．[0,4]8．已知等差數(shù)列{an}，則“a2＞a1”是“數(shù)列{an}為單調(diào)遞增數(shù)列”的（）A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件9．若函數(shù)（）的圖象過(guò)點(diǎn)，則（）A．函數(shù)的值域是 B．點(diǎn)是的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心C．函數(shù)的最小正周期是 D．直線(xiàn)是的一條對(duì)稱(chēng)軸10．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式為．則“”是“為遞增數(shù)列”的（）條件．A．必要而不充分 B．充要 C．充分而不必要 D．即不充分也不必要11．已知函數(shù)，，若總有恒成立.記的最小值為，則的最大值為（）A．1 B． C． D．12．過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于、兩點(diǎn)，且，拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)與軸交于，的面積為，則（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知為雙曲線(xiàn)：的左焦點(diǎn)，直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，若點(diǎn)，關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，則雙曲線(xiàn)的離心率為_(kāi)_________．14．已知點(diǎn)是直線(xiàn)上的一點(diǎn)，將直線(xiàn)繞點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角，所得直線(xiàn)方程是，若將它繼續(xù)旋轉(zhuǎn)角，所得直線(xiàn)方程是，則直線(xiàn)的方程是______.15．已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，記為數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，則______.16．已知等差數(shù)列滿(mǎn)足，，則的值為_(kāi)_______．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿(mǎn)足．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，，且數(shù)列前項(xiàng)和為，求的取值范圍．18．（12分）已知函數(shù).（1）設(shè)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并證明函數(shù)有唯一零點(diǎn).（2）若函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，證明：.19．（12分）如圖，平面四邊形為直角梯形，，，，將繞著翻折到.（1）為上一點(diǎn)，且，當(dāng)平面時(shí)，求實(shí)數(shù)的值；（2）當(dāng)平面與平面所成的銳二面角大小為時(shí)，求與平面所成角的正弦.20．（12分）在極坐標(biāo)系中，已知曲線(xiàn)C的方程為（），直線(xiàn)l的方程為.設(shè)直線(xiàn)l與曲線(xiàn)C相交于A，B兩點(diǎn)，且，求r的值.21．（12分）在銳角三角形中，角的對(duì)邊分別為．已知成等差數(shù)列，成等比數(shù)列．（1）求的值；（2）若的面積為求的值．22．（10分）已知非零實(shí)數(shù)滿(mǎn)足．（1）求證：；（2）是否存在實(shí)數(shù)，使得恒成立？若存在，求出實(shí)數(shù)的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】

由題意，可設(shè)直線(xiàn)的方程為，利用韋達(dá)定理判斷第一個(gè)結(jié)論；將代入拋物線(xiàn)的方程可得，，從而，，進(jìn)而判斷第二個(gè)結(jié)論；設(shè)為拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，以線(xiàn)段為直徑的圓為，則圓心為線(xiàn)段的中點(diǎn)．設(shè)，到準(zhǔn)線(xiàn)的距離分別為，，的半徑為，點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離為，顯然，，三點(diǎn)不共線(xiàn)，進(jìn)而判斷第三個(gè)結(jié)論.【詳解】解：由題意，可設(shè)直線(xiàn)的方程為，代入拋物線(xiàn)的方程，有．設(shè)點(diǎn)，的坐標(biāo)分別為，，則，．所．則直線(xiàn)與直線(xiàn)的斜率乘積為．所以①正確．將代入拋物線(xiàn)的方程可得，，從而，，根據(jù)拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性可知，，兩點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，所以直線(xiàn)軸．所以②正確．如圖，設(shè)為拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，以線(xiàn)段為直徑的圓為，則圓心為線(xiàn)段的中點(diǎn)．設(shè)，到準(zhǔn)線(xiàn)的距離分別為，，的半徑為，點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離為，顯然，，三點(diǎn)不共線(xiàn)，則．所以③不正確．故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線(xiàn)的定義與幾何性質(zhì)、直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力、推理論證能力和創(chuàng)新意識(shí)，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想,屬于難題．2、B【解析】

根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，結(jié)合充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可．【詳解】設(shè)，若函數(shù)是上的奇函數(shù)，則，所以，函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng).所以，“是奇函數(shù)”“的圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)”；若函數(shù)是上的偶函數(shù)，則，所以，函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng).所以，“的圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)”“是奇函數(shù)”.因此，“的圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)”是“是奇函數(shù)”的必要不充分條件.故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，結(jié)合函數(shù)奇偶性的性質(zhì)判斷是解決本題的關(guān)鍵，考查推理能力，屬于中等題.3、C【解析】

根據(jù)三角函數(shù)的定義，即可求出，得出，得出和，再利用二倍角的正弦公式，即可求出結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意，，解得，所以，所以，所以.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)定義的應(yīng)用和二倍角的正弦公式，考查計(jì)算能力.4、C【解析】

利用誘導(dǎo)公式得，，再利用倍角公式，即可得答案.【詳解】由可得，∴，∴.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查誘導(dǎo)公式、倍角公式，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力，求解時(shí)注意三角函數(shù)的符號(hào).5、B【解析】

依據(jù)線(xiàn)性約束條件畫(huà)出可行域，目標(biāo)函數(shù)恒過(guò)，再分別討論的正負(fù)進(jìn)一步確定目標(biāo)函數(shù)與可行域的基本關(guān)系，即可求解【詳解】作出不等式對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，如圖所示：其中，直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，不等式表示直線(xiàn)及其左邊的區(qū)域，不滿(mǎn)足題意；當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)的斜率，不等式表示直線(xiàn)下方的區(qū)域，不滿(mǎn)足題意；當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)的斜率，不等式表示直線(xiàn)上方的區(qū)域，要使不等式組所表示的平面區(qū)域內(nèi)存在點(diǎn)，使不等式成立，只需直線(xiàn)的斜率，解得.綜上可得實(shí)數(shù)的取值范圍為，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查由目標(biāo)函數(shù)有解求解參數(shù)取值范圍問(wèn)題，分類(lèi)討論與數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題6、B【解析】

利用充分必要條件的定義可判斷兩個(gè)條件之間的關(guān)系.【詳解】若，則，故或，當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)，直線(xiàn)，此時(shí)兩條直線(xiàn)平行；當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)，直線(xiàn)，此時(shí)兩條直線(xiàn)平行.所以當(dāng)時(shí)，推不出，故“”是“”的不充分條件，當(dāng)時(shí)，可以推出，故“”是“”的必要條件，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查兩條直線(xiàn)的位置關(guān)系以及必要不充分條件的判斷，前者應(yīng)根據(jù)系數(shù)關(guān)系來(lái)考慮，后者依據(jù)兩個(gè)條件之間的推出關(guān)系，本題屬于中檔題.7、B【解析】

作出可行域，表示可行域內(nèi)點(diǎn)與定點(diǎn)連線(xiàn)斜率，觀(guān)察可行域可得最小值．【詳解】作出可行域，如圖陰影部分（含邊界），表示可行域內(nèi)點(diǎn)與定點(diǎn)連線(xiàn)斜率，，，過(guò)與直線(xiàn)平行的直線(xiàn)斜率為－1，∴．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查簡(jiǎn)單的非線(xiàn)性規(guī)劃．解題關(guān)鍵是理解非線(xiàn)性目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，本題表示動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)連線(xiàn)斜率，由直線(xiàn)與可行域的關(guān)系可得結(jié)論．8、C【解析】試題分析：根據(jù)充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可．解：在等差數(shù)列{an}中，若a2＞a1，則d＞0，即數(shù)列{an}為單調(diào)遞增數(shù)列，若數(shù)列{an}為單調(diào)遞增數(shù)列，則a2＞a1，成立，即“a2＞a1”是“數(shù)列{an}為單調(diào)遞增數(shù)列”充分必要條件，故選C．考點(diǎn)：必要條件、充分條件與充要條件的判斷．9、A【解析】

根據(jù)函數(shù)的圖像過(guò)點(diǎn)，求出，可得，再利用余弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)，得出結(jié)論.【詳解】由函數(shù)（）的圖象過(guò)點(diǎn)，可得，即，，，故，對(duì)于A，由，則，故A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，故D錯(cuò)誤；故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查了二倍角的余弦公式、三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)，需熟記性質(zhì)與公式，屬于基礎(chǔ)題.10、A【解析】

根據(jù)遞增數(shù)列的特點(diǎn)可知，解得，由此得到若是遞增數(shù)列，則，根據(jù)推出關(guān)系可確定結(jié)果.【詳解】若“是遞增數(shù)列”，則，即，化簡(jiǎn)得：，又，，，則是遞增數(shù)列，是遞增數(shù)列，“”是“為遞增數(shù)列”的必要不充分條件．故選：.【點(diǎn)睛】本題考查充分條件與必要條件的判斷，涉及到根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性求解參數(shù)范圍，屬于基礎(chǔ)題.11、C【解析】

根據(jù)總有恒成立可構(gòu)造函數(shù),求導(dǎo)后分情況討論的最大值可得最大值最大值,即.根據(jù)題意化簡(jiǎn)可得,求得,再換元求導(dǎo)分析最大值即可.【詳解】由題,總有即恒成立.設(shè),則的最大值小于等于0.又,若則,在上單調(diào)遞增,無(wú)最大值.若,則當(dāng)時(shí),,在上單調(diào)遞減,當(dāng)時(shí),,在上單調(diào)遞增.故在處取得最大值.故,化簡(jiǎn)得.故,令,可令,故,當(dāng)時(shí),,在遞減；當(dāng)時(shí),,在遞增.故在處取得極大值,為.故的最大值為.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最值問(wèn)題,需要根據(jù)題意分析導(dǎo)數(shù)中參數(shù)的范圍,再分析函數(shù)的最值,進(jìn)而求導(dǎo)構(gòu)造函數(shù)求解的最大值.屬于難題.12、B【解析】

設(shè)點(diǎn)、，并設(shè)直線(xiàn)的方程為，由得，將直線(xiàn)的方程代入韋達(dá)定理，求得，結(jié)合的面積求得的值，結(jié)合焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式可求得.【詳解】設(shè)點(diǎn)、，并設(shè)直線(xiàn)的方程為，將直線(xiàn)的方程與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立，消去得，由韋達(dá)定理得，，，，，，，，可得，，拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)與軸交于，的面積為，解得，則拋物線(xiàn)的方程為，所以，.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線(xiàn)焦點(diǎn)弦長(zhǎng)的計(jì)算，計(jì)算出拋物線(xiàn)的方程是解答的關(guān)鍵，考查計(jì)算能力，屬于中等題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

由點(diǎn)，關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，得到直線(xiàn)的斜率，再根據(jù)直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，可求出直線(xiàn)方程，又，中點(diǎn)在直線(xiàn)上，代入直線(xiàn)的方程，化簡(jiǎn)整理，即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)闉殡p曲線(xiàn)：的左焦點(diǎn)，所以，又點(diǎn)，關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，，所以可得直線(xiàn)的方程為，又，中點(diǎn)在直線(xiàn)上，所以，整理得，又，所以，故，解得，因?yàn)?，所?故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì)，先由兩點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，求出直線(xiàn)斜率，再由焦點(diǎn)坐標(biāo)求出直線(xiàn)方程，根據(jù)中點(diǎn)在直線(xiàn)上，即可求出結(jié)果，屬于?？碱}型.14、【解析】

求出點(diǎn)坐標(biāo)，由于直線(xiàn)與直線(xiàn)垂直，得出直線(xiàn)的斜率為，再由點(diǎn)斜式寫(xiě)出直線(xiàn)的方程.【詳解】由于直線(xiàn)可看成直線(xiàn)先繞點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角，再繼續(xù)旋轉(zhuǎn)角得到，則直線(xiàn)與直線(xiàn)垂直，即直線(xiàn)的斜率為所以直線(xiàn)的方程為，即故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了求直線(xiàn)的方程，涉及了求直線(xiàn)的交點(diǎn)以及直線(xiàn)與直線(xiàn)的位置關(guān)系，屬于中檔題.15、63【解析】

對(duì)進(jìn)行化簡(jiǎn)，可得，再根據(jù)等比數(shù)列前項(xiàng)和公式進(jìn)行求解即可【詳解】由數(shù)列為首項(xiàng)為，公比的等比數(shù)列，所以63【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列基本量的求法，當(dāng)處理復(fù)雜因式時(shí)，常用基本方法為：因式分解，約分。但解題本質(zhì)還是圍繞等差和等比的基本性質(zhì)16、11【解析】

由等差數(shù)列的下標(biāo)和性質(zhì)可得，由即可求出公差，即可求解；【詳解】解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，，又因?yàn)?，解得故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及等差數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】

（1）由，可求，然后由時(shí)，可得，根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)可求（2）由，而，利用裂項(xiàng)相消法可求.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，①②②①得，即，數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，；（2）∴，∴，，.【點(diǎn)睛】本題考查遞推公式在數(shù)列的通項(xiàng)求解中的應(yīng)用，等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、裂項(xiàng)求和方法，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力．18、（1）為增區(qū)間；為減區(qū)間.見(jiàn)解析（2）見(jiàn)解析【解析】

（1）先求得的定義域，然后利用導(dǎo)數(shù)求得的單調(diào)區(qū)間，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理判斷出有唯一零點(diǎn).（2）求得的導(dǎo)函數(shù)，結(jié)合在區(qū)間上不單調(diào)，證得，通過(guò)證明，證得成立.【詳解】（1）∵函數(shù)的定義域?yàn)椋?，解得為增區(qū)間；由解得為減區(qū)間.下面證明函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)：∵，所以函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，∵，函數(shù)在區(qū)間上沒(méi)有零點(diǎn)，故函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn).（2）證明：函數(shù)，則當(dāng)時(shí)，，不符合題意；當(dāng)時(shí)，令，則，所以在上單調(diào)增函數(shù)，而，又∵區(qū)間上不單調(diào)，所以存在，使得在上有一個(gè)零點(diǎn)，即，所以，且，即兩邊取自然對(duì)數(shù)，得即，要證，即證，先證明：，令，則∴在上單調(diào)遞增，即，∴①在①中令，∴令∴，即即，∴.【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和零點(diǎn)，考查利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，考查分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想方法，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于難題.19、（1）；（2）.【解析】

（1）連接交于點(diǎn)，連接，利用線(xiàn)面平行的性質(zhì)定理可推導(dǎo)出，然后利用平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理可求得的值；（2）取中點(diǎn)，連接、，過(guò)點(diǎn)作，則，作于，連接，推導(dǎo)出，，可得出為平面與平面所成的銳二面角，由此計(jì)算出、，并證明出平面，可得出直線(xiàn)與平面所成的角為，進(jìn)而可求得與平面所成角的正弦值.【詳解】（1）連接交于點(diǎn)，連接，平面，平面，平面平面，，在梯形中，，則，，，，所以，；（2）取中點(diǎn)，連接、，過(guò)點(diǎn)作，則，作于，連接.為的中點(diǎn)，且，，且，所以，四邊形為平行四邊形，由于，，，，，，，為的中點(diǎn)，所以，，，同理，，，，平面，，，，為面與面所成的銳二面角，，，，，則，，，平面，平面，，，，面，為與底面所成的角，，，.在中，.因此，與平面所成角的正弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查利用線(xiàn)面平行的性質(zhì)求參數(shù)，同時(shí)也考查了線(xiàn)面角的計(jì)算，涉及利用二面角求線(xiàn)段長(zhǎng)度，考查推理能力與計(jì)算能力，屬于中等題.20、【解析】

先將曲線(xiàn)C和直線(xiàn)l的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，可得圓心到直線(xiàn)的距離