第三篇立體幾何專題07立體幾何中的最值問題常見考點(diǎn)考點(diǎn)一最大值問題典例1．如圖，在中，，，為的外心，平面，且.(1)求證：平面；(2)設(shè)平面面，若點(diǎn)在線段（不含端點(diǎn)）上運(yùn)動，當(dāng)直線與平面所成角取最大值時(shí)，求二面角的正弦值.變式1-1．如圖，在正三棱柱中，，點(diǎn)D在邊BC上，E為的中點(diǎn).(1)如果D為BC的中點(diǎn)，求證：平面平面；(2)設(shè)銳二面角的平面角為，，，當(dāng)取何值時(shí)，取得最大值？變式1-2．如圖，在四棱錐中，底面ABCD是直角梯形，側(cè)棱底面ABCD，AB垂直于AD和BC，，，M是棱SB的中點(diǎn)．(1)求證：平面SCD；(2)求平面SCD與平面SAB的夾角的余弦值；(3)設(shè)點(diǎn)N是線段CD上的動點(diǎn)，MN與平面SAB所成的角為，求的最大值.變式1-3．如圖，在正四棱錐中，點(diǎn)，分別是，中點(diǎn)，點(diǎn)是上的一點(diǎn).(1)證明：；(2)若四棱錐的所有棱長為，求直線與平面所成角的正弦值的最大值.考點(diǎn)二最小值問題典例2．如圖，在梯形ABCD中，，，，四邊形BFED為矩形，，平面平面ABCD.(1)求證：平面BDEF；(2)點(diǎn)P在線段EF上運(yùn)動，設(shè)平面PAB與平面ADE所成的夾角為，試求的最小值.變式2-1．如圖，在中，，，，將繞邊翻轉(zhuǎn)至，使面面，是的中點(diǎn).(1)求二面角的平面角的余弦值；(2)設(shè)是線段上的動點(diǎn)，當(dāng)與所成角取得最小值時(shí)，求線段的長度.變式2-2．如圖，四棱錐的底面為矩形，底面，設(shè)平面與平面的交線為m．（1）證明：，且平面；（2）已知，R為m上的點(diǎn)求與平面所成角的余弦值的最小值．變式2-3．如圖，在梯形中，，，，四邊形為矩形，平面平面，.（1）求證：平面，平面；（2）點(diǎn)在線段上運(yùn)動，設(shè)平面與平面所成銳二面角為，試求的最小值.鞏固練習(xí)練習(xí)一最大值問題1．如圖所示，在三棱柱中，，點(diǎn)在平面的射影為線段的中點(diǎn)，側(cè)面是菱形，過點(diǎn)的平面與棱交于點(diǎn)．(1)證明：四邊形為矩形；(2)求與平面所成角的正弦值的最大值．2．如圖，在矩形ABCD中，M、N分別是線段AB、CD的中點(diǎn)，，，將沿DM翻折，在翻折過程中A點(diǎn)記為P點(diǎn)．(1)從翻折至的過程中，求點(diǎn)P運(yùn)動的軌跡長度；(2)翻折過程中，二面角P?BC?D的平面角為θ，求的最大值.3．在四棱錐中，平面，底面是直角梯形，其中，，，為棱上的點(diǎn)，且．(1)求證：平面；(2)若二面角的平面角的正切值為，求的長；(3)在（2）的條件下，若為線段上一點(diǎn)，求與面所成角為，求的最大值．4．如圖，在直角三角形中，，斜邊，直角三角形可以通過以直線為軸旋轉(zhuǎn)得到，且二面角是直二面角，動點(diǎn)在斜邊上.(1)求證：平面平面；(2)當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，求異面直線與所成角的正切值；(3)求與平面所成角的正切值的最大值.練習(xí)二最小值問題5．如圖，為正方形，為直角梯形，，平面平面，且.（1）若和延長交于點(diǎn)，求證：平面；（2）若為邊上的動點(diǎn)，求直線與平面所成角正弦值的最小值.6．如圖，在梯形中，，，，四邊形為矩形，平面平面，，設(shè)點(diǎn)在線段上運(yùn)動.（1）證明：；（2）設(shè)平面與平面所成銳二面角為，求的最小值.7．如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝DC＝CB＝1，∠BCD＝120°，四邊形BFED為矩形，平面BFED⊥平面ABCD，BF＝1.(1)求證：AD⊥平面BFED；(2)點(diǎn)P在線段EF上運(yùn)動，設(shè)平面PAB與平面ADE所成銳二面角為θ，試求θ的