第7章非導(dǎo)電介質(zhì)中的電磁波7.１非導(dǎo)電介質(zhì)中的電磁波動(dòng)方程1.非導(dǎo)電介質(zhì)中的電磁波方程

4.復(fù)數(shù)折射率的相關(guān)結(jié)論重點(diǎn)：3.平面電磁波在有損耗介質(zhì)中的傳播2.平面電磁波在無損耗介質(zhì)中的傳播5.相速度、色散、群速度回憶一般媒質(zhì)中的麥克斯韋方程組：

三個(gè)本構(gòu)關(guān)系設(shè)我們所討論的媒質(zhì)是無界、線性、均勻和各向同性的，并且我們所關(guān)心的空間中不存在電荷和電流，即自由空間情形。及

此時(shí)滿足：一般媒質(zhì)中的麥克斯韋方程組變?yōu)椋夯蛲淼门c波動(dòng)方程的一般形式比較可知在一般介質(zhì)中，電磁波的傳播速度無界、線性、均勻和各向同性的一般媒質(zhì)中的磁波方程無界、線性、均勻和各向同性的一般媒質(zhì)中的電波方程均勻平面電磁波分析

均勻平面波在如圖所示的均勻平面電磁波中，電磁波向著Z方向傳播，根據(jù)均勻平面波的定義可直接得出：代入麥克斯韋方程，可得從上式兩端比較可得于是而與時(shí)間無關(guān)的恒定分量一定是與波動(dòng)無關(guān)的部分

各式表明:與時(shí)間t無關(guān)故可取:假設(shè)取電場(chǎng)與x軸方向一致，即所以因?yàn)椴⑶矣纱丝傻煤途c時(shí)間無關(guān)，因此它們不是波動(dòng)的部分，故可取從而有同理可得定義7.2平面電磁波在無損耗介質(zhì)中的傳播平面波中的電場(chǎng)復(fù)數(shù)表示形式理解無損耗介質(zhì)是一種理想情況，在這里指電導(dǎo)率電場(chǎng)矢量的方向是方向，電磁波則是沿z方向傳播波速為這里的k稱為傳播常數(shù)或波數(shù)這時(shí)，一維波動(dòng)方程的形式就變成解的形式為項(xiàng)表示了離開原點(diǎn)向正z方向傳播的波，反之，則表示了沿負(fù)z方向傳播的波。對(duì)于無界、均勻、理想介質(zhì)中的電磁波，可取考慮到均勻平面波只存在和分量

式中稱為媒質(zhì)的波阻抗、或本質(zhì)阻抗（本征阻抗），在自由空間7.3平面電磁波在有損耗介質(zhì)中的傳播實(shí)際的介質(zhì)都是有損耗的，因此，研究波在有損耗介質(zhì)中的傳播具有實(shí)際意義。有損耗介質(zhì)也稱為耗散介質(zhì)，在這里是指電導(dǎo)率,但仍然保持均勻、線性及各向同性等特性。有損耗介質(zhì)中出現(xiàn)的傳導(dǎo)電流會(huì)使在其中傳播的電磁波發(fā)生能量損耗，從而導(dǎo)致波的幅值隨著傳播距離的增大而下降。研究表明，傳播過程中幅值下降的同時(shí)，波的相位也會(huì)發(fā)生變化，致使整個(gè)傳輸波的形狀發(fā)生畸變，如圖所示平面波在有耗介質(zhì)中的傳播定義1.等效介電系數(shù)對(duì)于隨時(shí)間按照正弦規(guī)規(guī)律變化的電磁場(chǎng)，其復(fù)數(shù)形式的麥克斯韋方程中有可改寫為式中稱為復(fù)介電系數(shù)，即復(fù)介電系數(shù)虛部與實(shí)部之比為,它代表了傳導(dǎo)電流和位移電流密度的比值。該比值是一個(gè)相角，工程上稱之為損耗正切，表示為式中稱為損耗角有耗介質(zhì)的本征阻抗是一個(gè)復(fù)數(shù)，其結(jié)果使均勻平面波中電場(chǎng)強(qiáng)度矢量與磁場(chǎng)強(qiáng)度矢量之間存在相位差。總結(jié)除了用復(fù)介電系數(shù)代替無耗介質(zhì)中的以外，有耗介質(zhì)中的復(fù)數(shù)麥克斯韋方程在形式上與無耗介質(zhì)中的麥克斯韋方程完全相同。所以可直接寫出有耗媒質(zhì)中的本征阻抗為式中稱為相對(duì)復(fù)介電系數(shù)2.波動(dòng)方程及其解有耗媒質(zhì)中均勻平面波的一維波動(dòng)方程為傳播系數(shù)稱為復(fù)波數(shù)。我們引入另外一個(gè)變量令也可稱之為傳播系數(shù)令于是上面的一維波動(dòng)方程的解可寫為（其中為實(shí)數(shù)）可以發(fā)現(xiàn)，的存在會(huì)引起場(chǎng)量和呈指數(shù)型衰減，因此，我們將稱為衰減常數(shù)(attenuationconstant)，單位為奈貝/米（Np/m）；而的存在則會(huì)引起場(chǎng)量和的相位發(fā)生變化，因此，我們將稱為相位常數(shù)，單位為弧度/米（rad/m）由于有耗媒質(zhì)中均勻平面波的相速，即v與頻率有關(guān)于是同一媒質(zhì)中，不同頻率的波將以不同的速度傳播，該現(xiàn)象稱為波的色散，相應(yīng)媒質(zhì)被稱為色散媒質(zhì)。從上面的式子，你會(huì)注意到式中出現(xiàn)了前面定義過的損耗正切。損耗正切的取值不同將會(huì)影響到介質(zhì)的性質(zhì)發(fā)生變化，通常，我們有如下一些對(duì)應(yīng)的分類：1、理想介質(zhì)：這時(shí)2、良介質(zhì)：（一般取）這時(shí)3、理想導(dǎo)體：，這時(shí)，說明電磁波在理想介質(zhì)中立刻衰減到零，說明波長(zhǎng)為零，相速為零。這些特點(diǎn)表示電磁波不能進(jìn)入理想導(dǎo)體內(nèi)部。4、良導(dǎo)體：（一般?。┻@時(shí)5、半導(dǎo)體：可與相比擬，的表示為一般形式。有耗介質(zhì)中的均勻平面波的特性

以z方向傳播的波為例，在均勻、線性各向同性的導(dǎo)電媒質(zhì)中，均勻平面波有以下特點(diǎn)：1、和理想介質(zhì)中一樣，仍是TEM波，即EZ=0，HZ=0，在橫向分量中，也分別組成兩組獨(dú)立分量波，每一組獨(dú)立分量波也可能存在沿正z軸方向傳播的行波（入射波），和沿負(fù)z軸方向傳播的行波（反射波）。2、入射波和反射波的傳播常數(shù)是復(fù)數(shù)。其實(shí)部為衰減常數(shù)α，虛部為相位常數(shù)β，在波的傳播過程中，除了相位按每米β弧度滯后外，幅度按因子關(guān)系衰減。3、入射波及反射波都以相同的相速度向相反的方向傳播，但是頻率ω的函數(shù)，媒質(zhì)中的損耗，使波長(zhǎng)為變短。入損耗<入無損耗4、有損耗媒質(zhì)將使電磁波傳播速度變慢，∴有耗媒質(zhì)是色散媒質(zhì)。5、有耗介質(zhì)的復(fù)波阻抗不再是實(shí)數(shù)，是一個(gè)復(fù)數(shù)，為電場(chǎng)與磁場(chǎng)分量的復(fù)數(shù)幅值之比，存在一個(gè)幅度。因此電場(chǎng)與磁場(chǎng)分量不再是同相位，

6、電場(chǎng)和磁場(chǎng)的能量不再相等，磁能大于電能分別討論δ<<ωε、δ>>ωε兩種極端的情況

低損耗介質(zhì)中的均勻平面波低損耗介質(zhì)是一種電導(dǎo)率很小，但不為0的非理想絕緣材料，也稱良好介質(zhì)，滿足δ<<ωε，這時(shí)，相位常數(shù)，衰減常數(shù)和波阻抗的近似值是：在低損耗介質(zhì)中，均勻平面波的電場(chǎng)強(qiáng)度與磁場(chǎng)強(qiáng)度相位近似相同，其相位常數(shù)及波阻抗與無損耗時(shí)近似相同，但振幅按指數(shù)衰減。

相速：與上述低損耗介質(zhì)相反，導(dǎo)體是一種高損耗媒質(zhì)。在這種媒質(zhì)中，傳導(dǎo)電流比位移電流大得多。其衰減系數(shù)和相移常數(shù)分別為波阻抗為相速度為相速與成正比，說明良導(dǎo)電媒質(zhì)是一種色散媒質(zhì)，而且δ越大，相速越小。把同一頻率的電磁波在自由空間的傳播速率與在媒質(zhì)中的傳播速率之比稱為折射率。因此，良導(dǎo)體的折射率是很大的。由可知，導(dǎo)電媒質(zhì)中，電磁波的衰減，隨著頻率、磁導(dǎo)率、電導(dǎo)率的增加而增大。特別是良導(dǎo)體的電導(dǎo)率都在數(shù)量級(jí)，隨著頻率的升高，α將很大。----趨膚效益分別討論δ<<ωε、δ>>ωε兩種極端的情況

導(dǎo)體的趨膚效應(yīng)趨膚效應(yīng)交流電或電磁波通過導(dǎo)體時(shí),各部分的電流密度或場(chǎng)分布不均勻,導(dǎo)體內(nèi)部電流密度或場(chǎng)量小,導(dǎo)體表面場(chǎng)量或電流密度大,這種現(xiàn)象稱為趨膚效應(yīng)交變磁場(chǎng)會(huì)在導(dǎo)體內(nèi)部引起渦流,電流在導(dǎo)體橫截面上的分布不再是均勻的,這時(shí),電流將主要地集中到導(dǎo)體表面。這種效應(yīng)稱為趨膚效應(yīng)。產(chǎn)生趨膚效應(yīng)的原因是由于感抗的作用,導(dǎo)體內(nèi)部比表面具有更大的電感L,因此對(duì)交流電的阻礙作用大,使得電流密集于導(dǎo)體表面.趨膚效應(yīng)使得導(dǎo)體的有效橫截面減小,因而導(dǎo)體對(duì)交流電的有效電阻比對(duì)直流電的電阻大.交流電的頻率越高,趨膚效應(yīng)越顯著,頻率高到一定程度,可以認(rèn)為電流完全從導(dǎo)體表面流過.因此在高頻交流電路中,必須考慮趨膚效應(yīng)的影響例如收音機(jī)磁性天線上的線圈用多股互相絕緣的導(dǎo)線繞制,電視室外天線不用金屬棒而用直徑較粗的金屬管制作,都是為了增加導(dǎo)體的表面積,克服趨膚效應(yīng)帶來的不利影響的實(shí)例.趨膚效應(yīng)工程上常用穿透深度δ表示趨膚程度，它等于電磁波場(chǎng)強(qiáng)的振幅衰減到表面值的所經(jīng)過的距離?！唷嗉礊榇┩干疃?。當(dāng)f=50Hz時(shí)，δ=9.4mmf=1MHz時(shí)，δ=6.6μmf=MHz時(shí)，δ=0.66μm∴在高頻情況下，導(dǎo)體中的電流絕大部分集中在導(dǎo)體表面附近，這種現(xiàn)象稱為集膚效應(yīng)。而:∴對(duì)于

的理想導(dǎo)體，δ=0說明電磁波不能透入理想導(dǎo)體。趨膚效應(yīng)的工程應(yīng)用渦流效益----煉鋼、淬火、感應(yīng)加熱、微波爐餐具、變壓器鐵芯的疊片設(shè)計(jì)，多片屏蔽效益---導(dǎo)體屏蔽電磁波，絕緣材料不能屏蔽電磁波、多層傳輸線效益---平行雙線、同軸電纜、微帶線、波導(dǎo)管、塑料絕緣材料，采用扁平或多股濾波器設(shè)計(jì)---鍍膜技術(shù)高頻或高速電路板設(shè)計(jì)與工藝技術(shù)器件的封裝選型----貼片、扁平PCB布線------扁平、微帶線、帶狀線、共面波導(dǎo)線、線距、線寬、線均勻PCB板打孔----空心孔PCB板材的選擇PCB板的多層選擇地平面與電源平面的設(shè)計(jì)。。。。。。。。。應(yīng)對(duì)趨膚效應(yīng)的方法應(yīng)對(duì)趨膚效應(yīng)的方法是：一、可以采用多根導(dǎo)線，總截面積沒變，但是有效面積增加了；二、將導(dǎo)線表面鍍銀，減小表面電阻。三、多層保護(hù)層四、材料的選擇7.4低密度氣體中的電磁波假設(shè)

是一個(gè)關(guān)于空間和時(shí)間連續(xù)的函數(shù)，故而可交換微分次序我們?nèi)匀患僭O(shè)場(chǎng)中不存在自由電荷和自由電流，于是由第三章可知，非導(dǎo)電介質(zhì)中的麥克斯韋方程可以寫成：將上式中的散度用來表示，可以得到這個(gè)方程看上去很有可能變?yōu)槿缦滦问降娜S波動(dòng)方程，即顯然這要取決于和之間所存在的是何種關(guān)系考慮單色平面極化波介質(zhì)的折射率這表明，在介質(zhì)內(nèi)部電荷的位移是沿著所施加的電場(chǎng)方向的，所以極化矢量也就在方向上，并且隨著角頻率ω變化，于是有極化矢量象一樣僅有x方向上的分量,并且該分量也象一樣僅與z和t有關(guān)。所以有代入波動(dòng)方程類似地可得并且對(duì)于其間分子呈均勻分布的介質(zhì)（如本節(jié)的低密度氣體）來說，極化矢量與電場(chǎng)矢量的關(guān)系（見第三章3.3節(jié)）為若僅含x方向的分量，故有這就是平面電磁波在上述模型所表示的一般介質(zhì)（如低密度氣體）中傳播時(shí)所必須滿足的條件，它建立了折射率n與分子模型參數(shù)的聯(lián)系。對(duì)于低密度氣體，n的值會(huì)接近于1，即有其中如果我們所關(guān)心的只是電磁波穿過大量的介質(zhì)(分子級(jí))時(shí)所發(fā)生的情況（通常都是如此），我們就可以假設(shè)介質(zhì)的任何影響都只是對(duì)分子結(jié)構(gòu)所產(chǎn)生的平均影響。因此,在計(jì)算介質(zhì)極化問題時(shí)也就可以使用介質(zhì)中的平均值。于是從

可得

7.5高密度氣體中的電磁波前面得出的關(guān)于折射率的表達(dá)式只適用于低密度氣體，這是因?yàn)楦呙芏冉橘|(zhì)中的分子內(nèi)，電荷分離所產(chǎn)生的場(chǎng)的作用使得電極化場(chǎng)更為復(fù)雜。就單個(gè)分子而言,它們?cè)谌魏螘r(shí)刻都與其相鄰分子所受到的場(chǎng)的作用基本相同。高密度介質(zhì)中的電磁波

利用洛侖茲方程所給出的局部場(chǎng)式中正是由于局部場(chǎng)才使介質(zhì)中產(chǎn)生極化，于是有即克勞休斯-莫索提方程（Clausius-Mosottiequation）

介質(zhì)的極化與場(chǎng)之間雖仍然是線性關(guān)系，但是比例系數(shù)卻已經(jīng)變了。在平面波中有因?yàn)橛孟鄬?duì)介電系數(shù)可將克勞休斯-莫索提方程寫成另外一種形式所以7.6復(fù)數(shù)折射率的相關(guān)結(jié)論上面得出了兩個(gè)等式它們都描述了分子極化率與折射率之間的關(guān)系，具體使用哪個(gè)等式則將取決于介質(zhì)的密度。由于因此，折射率中就可能因?yàn)楹凶枘犴?xiàng)而成為復(fù)數(shù)。已知，單色（monochromatic）、線性(linear)極化(polarization)平面電磁波的電場(chǎng)為3.波的頻率等于分子的諧振頻率時(shí)，分子極化率就變成了純虛數(shù)。在這種情況下，波的能量被介質(zhì)耗散的程度最大。實(shí)際介質(zhì)中存在著幾個(gè)這樣的諧振頻率點(diǎn),在這些點(diǎn)上波的輻射達(dá)到最小。結(jié)論：1.復(fù)數(shù)折射率的實(shí)部決定了波的速度，而且很容易得出折射率實(shí)部的定義為兩個(gè)速度之比，即。2.當(dāng)波在介質(zhì)中傳播時(shí)，復(fù)數(shù)折射率的虛部使波的幅值按指數(shù)規(guī)律衰減，虛部值越大，波的衰減就越快。顯然,這是由分子模型中衰減因子所決定的。低密度氣體中波的傳播速度問題7.7相速與能流速度在低密度氣體中，折射率ｎ的近似表示式為實(shí)部虛部假如當(dāng)頻率時(shí)發(fā)生諧振，上述兩式都可以化為最簡(jiǎn)形式我們知道,折射率的實(shí)部被定義為自由空間中的電磁波速ｃ（光速）與介質(zhì)中的波速ｖ之比，即從前面的式子可知，雖然在任何頻率下均為正值，但當(dāng)頻率大于諧振頻率時(shí),為負(fù)，這時(shí)折射率的實(shí)部如果,則意味著電磁波速v將超過光速c，這不就與愛因斯坦的狹義相對(duì)論發(fā)生矛盾了嗎？我們將速度v稱為相速，即正弦波的最大速度。一般情況下，速度v是恒定相位面在波中向前推進(jìn)的速度，所以我們也可以根據(jù)電場(chǎng)極小值通過空間一固定點(diǎn)的速度來定義這個(gè)速度。具體來看，如果平面波中的電場(chǎng)表示為相速則當(dāng)經(jīng)過時(shí)間后，各點(diǎn)電場(chǎng)發(fā)生的相位變化為，因此電場(chǎng)沿z軸的分布也發(fā)生了變化，所以，在波的傳播過程中，每一等相位面沿z軸向前移動(dòng)的距離均為，等相位面移動(dòng)的速度就是相速。能流速度在例6.2中，我們知道自由空間中的能流速度和相速均為c，但是介質(zhì)中的復(fù)數(shù)折射率告訴我們，這兩種速度在介質(zhì)中不再相等了，換言之，我們不可能以大于光速的相速v發(fā)射信號(hào)(能量)，即，超越物理速度的極限c是不可能的。注能流速度為坡印廷矢量的時(shí)間平均值除以能量密度的時(shí)間平均值在自由空間，，，此時(shí)。所以，上式中當(dāng)折射率接近真空中的折射率值時(shí)，能流速度接近于光速C。7.8色散色散現(xiàn)象：不同頻率的波將以不同的速率在介質(zhì)中傳播的現(xiàn)象，波的相速與介質(zhì)折射率有關(guān),而介質(zhì)折射率又與頻率有關(guān)，所以波的相速將隨頻率而變，顯然波的色散是由媒質(zhì)特性所決定的。

媒質(zhì)：1.有色散媒質(zhì)；2.無色散媒質(zhì)。色散介質(zhì)中相速與群速的關(guān)系：有色散媒質(zhì)（1）正常色散媒質(zhì)；（2）非正常色散媒質(zhì)。在正常色散媒質(zhì)中，波長(zhǎng)大的波，相速較大，即du/dλ>0

在非正常色散媒質(zhì)中，波長(zhǎng)小的波，相速較大，即du/dλ<0；

在無色散媒質(zhì)中，不同波長(zhǎng)的波相速相等，即du/dλ=0。定義非正常色散區(qū)3.在非正常色散區(qū)折射率的虛部存在著極大值，因而波的能量損失嚴(yán)重。2