第1章矢量分析與場(chǎng)論基礎(chǔ)【本章教學(xué)要點(diǎn)】CompanyLogo矢量分析和場(chǎng)論是研究電磁場(chǎng)理論必不可少的數(shù)學(xué)工具。作為電磁場(chǎng)理論的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，它們?yōu)閺?fù)雜的電磁現(xiàn)象提供了描述方式。本章介紹場(chǎng)的基本概念和矢量分析的基礎(chǔ)知識(shí)，重點(diǎn)討論標(biāo)量場(chǎng)的梯度、矢量場(chǎng)的散度和旋度。CompanyLogo1.1標(biāo)量場(chǎng)和矢量場(chǎng)1.1.1標(biāo)量和矢量電磁場(chǎng)中絕大多數(shù)量可分為標(biāo)量和矢量。只有大小沒有方向的量叫標(biāo)量，如溫度、電壓、時(shí)間、電流、電荷等物理量都是標(biāo)量；既有大小又有方向的量叫矢量，如電場(chǎng)強(qiáng)度、磁場(chǎng)強(qiáng)度、力、速度、力矩等物理量都是矢量。標(biāo)量可以用一個(gè)單純的數(shù)來完整描述，如溫度25度，質(zhì)量10克。矢量習(xí)慣上用黑體符號(hào)或在符號(hào)上加帶箭頭的橫線來表示，本書采用黑體表示矢量。模值為1的矢量稱為單位矢量，常用于表示矢量的方向，如矢量A可寫成,其中是與同方向的單位矢量，為矢量的模值。其中是與A同方向的單位矢量，A為矢量A模值。一個(gè)矢量在三個(gè)相互垂直的坐標(biāo)軸上的分量已知，則這個(gè)矢量就確定了。如在直角坐標(biāo)系中，若矢量A的坐標(biāo)分量為(,,)，則可表示為則可表示為

其中分別表示直角坐標(biāo)系中三個(gè)方向上的單位矢量。兩個(gè)矢量對(duì)應(yīng)的分量相加或相減，就得到它們的和或差。設(shè)則CompanyLogo1.1.2標(biāo)量場(chǎng)和矢量場(chǎng)場(chǎng)有空間占據(jù)的概念，設(shè)有一確定的空間區(qū)域，該區(qū)域內(nèi)的每一點(diǎn)都對(duì)應(yīng)著某個(gè)物理量的一個(gè)確定值，就認(rèn)為該空間區(qū)域確定了這個(gè)物理量的一個(gè)場(chǎng)。若場(chǎng)中的物理量是標(biāo)量，則稱該場(chǎng)為標(biāo)量場(chǎng)，如溫度場(chǎng)、密度場(chǎng)和電位場(chǎng)都是標(biāo)量場(chǎng)。若場(chǎng)中的物理量是矢量，則稱該場(chǎng)為矢量場(chǎng)，如力場(chǎng)、速度場(chǎng)都是矢量場(chǎng)。若場(chǎng)中的物理量不隨時(shí)間而變化，僅是空間和點(diǎn)的函數(shù)，則稱該場(chǎng)為穩(wěn)定場(chǎng)（或靜態(tài)場(chǎng)）；若場(chǎng)中的物理量不僅是點(diǎn)的函數(shù)，還是時(shí)間的函數(shù)，則稱該場(chǎng)為不穩(wěn)定場(chǎng)（或時(shí)變場(chǎng)）。根據(jù)數(shù)學(xué)中函數(shù)的定義可知，給定了一個(gè)標(biāo)量場(chǎng)就相當(dāng)于給定了一個(gè)數(shù)性函數(shù)，而給定了一個(gè)矢量場(chǎng)就相當(dāng)于給定了一個(gè)矢性函數(shù)，其中M為場(chǎng)對(duì)應(yīng)空間區(qū)CompanyLogo域中的任意點(diǎn)。直角坐標(biāo)系中，由于點(diǎn)M由它的三個(gè)坐標(biāo)x，y，z確定，因此一個(gè)標(biāo)量場(chǎng)可用數(shù)性函數(shù)表示為同樣，一個(gè)矢量場(chǎng)可用矢性函數(shù)表示為在標(biāo)量場(chǎng)中，為了直觀研究其分布情況，引入了等值面（或等量面）的概念。所謂等值面是指場(chǎng)中使函數(shù)取值相同的點(diǎn)組成的曲面。顯然，標(biāo)量場(chǎng)的等值面方程為上式中為常數(shù)。例如溫度場(chǎng)中的等值面就是由溫度相同的點(diǎn)所組成的等溫面；電位場(chǎng)中的等值面就是由電位相同的點(diǎn)所組成的等位面，如圖1.1所示（等高面）。等值面在二維平面上就是等值線，如常見的等高線、等溫線等。

圖1.1等高面

圖1.2矢量場(chǎng)的矢量線對(duì)于矢量場(chǎng)，可以用矢量線來形象地描繪它的分布情況。如圖1.2所示，矢量線是這樣的曲線：在它上面的每一點(diǎn)M處的切線方向和對(duì)應(yīng)于該點(diǎn)的矢量的方向相重合。在流體力學(xué)中，矢量線就是流線?！咎崾尽吭陔姶艌?chǎng)中，矢量線就是電力線和磁力線。1.2矢量運(yùn)算1.2.1標(biāo)量積和矢量積

矢量的乘積有兩種定義：標(biāo)量積（點(diǎn)積）和矢量積（叉積）。如圖1.3所示，有兩個(gè)矢量A與B，它們之間的夾角為（）。兩個(gè)矢量A與B的點(diǎn)積記為，它是一個(gè)標(biāo)量，定義為矢量A和矢量B的大小和它們之間夾角的余弦之積,即圖1.3矢量A與B及其叉積可以推導(dǎo)出矢量的點(diǎn)積滿足如下關(guān)系，即交換律和結(jié)合律在直角坐標(biāo)系中可得矢量A與矢量B的點(diǎn)積為【小思考】試計(jì)算一個(gè)矢量與它本身的點(diǎn)積。兩個(gè)矢量的叉積記為，它是一個(gè)矢量，垂直于包含矢量A和B矢量的平面，方向滿足右手螺旋法則，即當(dāng)右手四指從矢量A到B旋轉(zhuǎn)角時(shí)大拇指所指的方向，其大小為,即是叉積方向的單位矢量。在直角坐標(biāo)系中，各單位坐標(biāo)矢量的叉積滿足如下關(guān)系可得矢量與矢量的叉積為由叉積的定義知，它不符合交換律，符合結(jié)合律1.2.2三重積矢量A與矢量的點(diǎn)積稱為標(biāo)量三重積，可表示為【提示】的模就是A與B所形成的平行四邊形的面積，因此是平行六面體的體積。矢量A與矢量的叉積稱為矢量三重積，定義為【提示】為便于記憶，根據(jù)公式右邊的形式，可稱其為“Back-Cab”法則。1.3常用正交坐標(biāo)系為了描述電磁場(chǎng)在空間中的分布和變化規(guī)律，必須引入坐標(biāo)系。雖然物理規(guī)律對(duì)任何坐標(biāo)系等價(jià)，但在求解實(shí)際問題時(shí)，根據(jù)被研究對(duì)象的幾何形狀不同，適當(dāng)選擇坐標(biāo)系，不但使求解簡(jiǎn)便，而且其解的形式簡(jiǎn)潔，能直觀反映其性質(zhì)。1.3.1三種常用坐標(biāo)系

在電磁場(chǎng)理論中，最常用的三種坐標(biāo)系是直角坐標(biāo)系，圓柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系。1.直角坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系是最常用和被人們熟知的坐標(biāo)系，這里只做簡(jiǎn)要介紹。它由x軸、y軸和z軸及其交點(diǎn)O稱為坐標(biāo)原點(diǎn)）組成，三個(gè)坐標(biāo)變量的變化范圍均為負(fù)無窮到正無窮，如圖1.4所示。圖1.4直角坐標(biāo)系在直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為起點(diǎn),指向點(diǎn)的矢量R稱為M點(diǎn)的位置矢量，可表示為位置矢量的微分元是它在x、y和z增加方向的微分元分別為、和，而與單位坐標(biāo)矢量相垂直的三個(gè)面積元分別為2.圓柱坐標(biāo)系圓柱坐標(biāo)系的三個(gè)坐標(biāo)變量是、和，它們的變化范圍分別是，，圖1.5圓柱坐標(biāo)系如圖1.5所示，圓柱坐標(biāo)系的三個(gè)單位坐標(biāo)矢量分別是、和，它們之間符合右手螺旋法則，其中除是常矢量外，、都是變矢量，方向均隨M點(diǎn)的位置改變。在圓柱坐標(biāo)系中，矢量可表示為其中、和分別是矢量A在、和方向上的投影。圖1.6圓柱坐標(biāo)系的長(zhǎng)度元、面積元和體積元在圓柱坐標(biāo)系中，位置矢量可表示為位置矢量的微分元是它在、和增加方向的微分元分別為、和，如圖1.6所示。與單位坐標(biāo)矢量相垂直的三個(gè)面積元分別為體積元可表示為3.球坐標(biāo)系球坐標(biāo)系的三個(gè)坐標(biāo)變量是、和，它們的變化范圍分別是，，圖1.7球坐標(biāo)系如圖1.7所示，在球坐標(biāo)系中，過空間任一點(diǎn)的單位坐標(biāo)矢量是

、

和

，它們分別是

、

和

增加的方向，且符合右手螺旋法則，都是變矢量。在球坐標(biāo)系中，矢量A可表示為其中

、

和

分別是矢量A在三個(gè)坐標(biāo)方向上的投影，球坐標(biāo)系中的位置矢量為它的微分元可表示為它沿球坐標(biāo)方向的三個(gè)長(zhǎng)度微分元分別為

、和

，如圖1.8所示。CompanyLogo圖1.8球坐標(biāo)系的長(zhǎng)度元、面積元和體積元與單位坐標(biāo)矢量相垂直的三個(gè)面積元分別為CompanyLogo體積元可表示為1.3.2三種坐標(biāo)系之間的相互轉(zhuǎn)換圖1.9三種坐標(biāo)系相互關(guān)系示意圖如圖1.9所示，在空間中有任一點(diǎn)M，它的直角坐CompanyLogo標(biāo)是

，圓柱坐標(biāo)系的坐標(biāo)是，球坐標(biāo)系的坐標(biāo)是，依據(jù)各坐標(biāo)之間的關(guān)系可以得到（1）直角坐標(biāo)系與圓柱坐標(biāo)系的關(guān)系或CompanyLogo（2）直角坐標(biāo)系與球坐標(biāo)系的關(guān)系或CompanyLogo（3）圓柱坐標(biāo)系與球坐標(biāo)系的關(guān)系或CompanyLogo同理可得三種坐標(biāo)系的單位坐標(biāo)矢量間的關(guān)系，如直角坐標(biāo)系與圓柱坐標(biāo)系的單位坐標(biāo)矢量的關(guān)系滿足或【小思考】請(qǐng)推導(dǎo)直角坐標(biāo)系與球坐標(biāo)系的單位坐標(biāo)矢量的關(guān)系。CompanyLogo1.4標(biāo)量場(chǎng)的梯度1.4.1方向?qū)?shù)標(biāo)量場(chǎng)的等值面只描述了場(chǎng)量的分布狀況，而場(chǎng)中某點(diǎn)的標(biāo)量沿著各個(gè)方向的變化率可能不同，為了描述標(biāo)量場(chǎng)的這種變化特性，需要引入方向?qū)?shù)的概念。標(biāo)量場(chǎng)在某點(diǎn)的方向?qū)?shù)表示標(biāo)量場(chǎng)自該點(diǎn)沿某一方向上的變化率。圖1.10標(biāo)量場(chǎng)的方向?qū)?shù)CompanyLogo如圖1.10所示，標(biāo)量場(chǎng)在點(diǎn)M處沿方向上的方向?qū)?shù)定義為式中為點(diǎn)M與點(diǎn)之間的距離。在直角坐標(biāo)系中，設(shè)方向的單位矢量為

，、、為方向的方向余弦，則方向?qū)?shù)可表示為CompanyLogo1.4.2標(biāo)量場(chǎng)的梯度

在標(biāo)量場(chǎng)中，從一個(gè)給定點(diǎn)出發(fā)有無窮多個(gè)方向。一般而言，標(biāo)量場(chǎng)在給定點(diǎn)沿不同方向的變化率是不同的。為了描述標(biāo)量場(chǎng)在哪個(gè)方向變化率最大，需要引入標(biāo)量場(chǎng)的梯度的概念。標(biāo)量場(chǎng)在點(diǎn)處M的梯度是一個(gè)矢量，它的方向是沿場(chǎng)量變化率最大的方向，大小等于其最大的變化率，并記為,即

式中，是場(chǎng)量變化率最大方向上的單位矢量。在直角坐標(biāo)系中，標(biāo)量場(chǎng)沿方向的方向?qū)?shù)可以寫為其中矢量

，它是與方向無關(guān)的矢量，只有當(dāng)方向與矢量的方向一致時(shí)，上式可取最大值,即矢量的模。根據(jù)梯度的定義，可得到直角坐標(biāo)系中梯度的表達(dá)式圓柱坐標(biāo)系中梯度的表達(dá)式為球坐標(biāo)系中梯度的表達(dá)式為在矢量分析中，經(jīng)常用到哈密頓算符“”（讀作Del），在直角坐標(biāo)系中有可見算符“

”兼有矢量和微分的雙重作用，在直角坐標(biāo)系中標(biāo)量場(chǎng)的梯度可用算符“

”表示為【知識(shí)要點(diǎn)提醒】標(biāo)量場(chǎng)的梯度是一個(gè)矢量；在標(biāo)量場(chǎng)中，給定點(diǎn)沿任意方向的方向?qū)?shù)等于梯度在該方向上的投影；標(biāo)量場(chǎng)在給定點(diǎn)的梯度垂直于過該點(diǎn)的等值面，且指向場(chǎng)量增大的方向。梯度運(yùn)算符合以下規(guī)則(C為常數(shù)，，分別為標(biāo)量場(chǎng)函數(shù))

【例1.1】已知標(biāo)量場(chǎng)，求該標(biāo)量場(chǎng)在點(diǎn)(1,1,0)處的梯度及該點(diǎn)的方向?qū)?shù)的最大值和最小值。解:根據(jù)梯度的定義式可得將相應(yīng)的坐標(biāo)值代入上式，得在該點(diǎn)的任意方向的方向?qū)?shù)都是在該點(diǎn)的梯度沿該方向的投影，而該點(diǎn)梯度的模為，所以該點(diǎn)的方向?qū)?shù)最大值為，最小值為。1.5矢量場(chǎng)的通量與散度矢量場(chǎng)在空間中的分布形態(tài)多種多樣，為了分析矢量場(chǎng)在空間中的分布規(guī)律和場(chǎng)源的關(guān)系，本節(jié)引入矢量場(chǎng)的通量和散度的概念。1.5.1矢量場(chǎng)的通量描述矢量場(chǎng)時(shí)，矢量線可以形象描繪出場(chǎng)的分布，但它不能定量描述矢量場(chǎng)的大小。在分析矢量場(chǎng)性質(zhì)的時(shí)候，往往引入矢量場(chǎng)穿過曲面的通量這一重要的概念。假設(shè)S為一空間曲面,為曲面S上的面元，取一個(gè)與此面元相垂直的法向單位矢量，則稱矢量為面元矢量。單位矢量的取法有兩種情形：對(duì)開曲面上的面元，的取法要求圍成開曲面的邊界走向與之間滿足右手螺旋法則，如圖1.11示；對(duì)閉合面上的面元，一般取外法線方向。圖1.11矢量場(chǎng)的通量在矢量場(chǎng)中，任取一個(gè)面元矢量，因?yàn)槊嬖苄?，可認(rèn)為其上各點(diǎn)的值相同，則與的點(diǎn)積為矢量穿過面元矢量的通量。通量是一個(gè)標(biāo)量，例如每秒通過面積的水流量是水流速度和的乘積。對(duì)于空間開曲面，矢量穿過曲面的通量定義為如果S是一個(gè)閉合曲面,矢量F穿過閉合曲面S的通量定義為上式中是矢量F和的夾角，從通量的定義可見，若矢量與面元矢量成銳角，則通過面積元的通量為正值，若成鈍角，則通過面積元的通量為負(fù)值。【知識(shí)要點(diǎn)提醒】閉合曲面的通量是穿出閉曲面S的正通量與進(jìn)入閉曲面S的負(fù)通量的代數(shù)和，即穿出曲面S的凈通量。矢量場(chǎng)F的通量說明了在一個(gè)區(qū)域中場(chǎng)與源的一種關(guān)系，當(dāng)時(shí)，表示穿出曲面S的通量多于進(jìn)入的通量，此時(shí)閉合曲面S內(nèi)必有發(fā)出矢量線的源，稱為有正源；當(dāng)時(shí)，表示穿出閉合曲面S的通量少于進(jìn)入的通量，此時(shí)閉合曲面S內(nèi)必有匯集矢量線的源，稱為有負(fù)源。當(dāng)時(shí)，表示穿出閉合曲面S的通量等于進(jìn)入的通量，此時(shí)閉合曲面S內(nèi)正通量源和負(fù)通量源的代數(shù)和為0，稱為無源。1.5.2矢量場(chǎng)的散度通量是矢量場(chǎng)在一個(gè)大范圍面積上的積分量，它只能說明場(chǎng)在一個(gè)區(qū)域中總的情況，而不能說明區(qū)域內(nèi)每點(diǎn)場(chǎng)的性質(zhì)，為了研究場(chǎng)中任一點(diǎn)矢量場(chǎng)F與源的關(guān)系，把閉合面收小，使包含這個(gè)點(diǎn)在內(nèi)的體積元趨于零，并定義如下的極限為矢量場(chǎng)在某點(diǎn)處的散度，記為，即矢量場(chǎng)的散度可表示為哈密頓算子與矢量的F標(biāo)量積，即在直角坐標(biāo)系中類似的，可推出圓柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系的散度計(jì)算式，分別為散度運(yùn)算符合下列運(yùn)算公式其中為常數(shù)，為標(biāo)量函數(shù)?！局R(shí)要點(diǎn)提醒】矢量場(chǎng)的散度是標(biāo)量，它表示在矢量場(chǎng)中給定點(diǎn)單位體積內(nèi)散發(fā)出來的矢量的通量,反映了矢量場(chǎng)在該點(diǎn)的通量源強(qiáng)度；在矢量場(chǎng)某點(diǎn)處，若散度為正，則該點(diǎn)有發(fā)出通量線的正源，若散度為負(fù)，則該點(diǎn)有發(fā)出通量線的負(fù)源，若散度為零，則該點(diǎn)無源。1.5.3散度定理由散度的定義可知，矢量的散度是矢量場(chǎng)中任意點(diǎn)處單位體積內(nèi)向外散發(fā)出來的通量，將它在某一個(gè)體積上做體積分就是該體積內(nèi)向外散發(fā)出來的通量總和，而這個(gè)通量顯然和從該限定體積V的閉合曲面S向外散發(fā)的凈通量是相同的，于是可得到這就是散度定理，也稱高斯定理?！局R(shí)要點(diǎn)提醒】矢量場(chǎng)的散度在體積上的體積分等于矢量場(chǎng)在限定該體積的閉曲面上的面積分，是矢量散度的體積分與該矢量的閉合曲面面積分之間的一個(gè)變換關(guān)系，是矢量分析中的一個(gè)重要恒等式?！纠?.2】設(shè)有一點(diǎn)電荷q位于坐標(biāo)系的原點(diǎn)，在此電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)中任意一點(diǎn)的電位移矢量，其中，求該電位移矢量的散度及穿過以原點(diǎn)為球心，R為半徑的球面的電通量。解：所以電位移矢量的散度在以外的空間都為0，僅在處，存在點(diǎn)電荷q這個(gè)場(chǎng)源。以原點(diǎn)為球心，R為半徑的球面所包含的閉合曲面的單位矢量方向與球面的法線方向一致，而球面的法線方向與電位移矢量方向一致，所以要求的電通量是1.6矢量場(chǎng)的環(huán)量與旋度矢量場(chǎng)的散度描述了通量源的分布情況，反映了矢量場(chǎng)的一個(gè)重要性質(zhì)。實(shí)際中并不是所有的矢量場(chǎng)都由通量源激發(fā)，有些矢量場(chǎng)由旋渦源激發(fā)。本節(jié)討論矢量場(chǎng)的環(huán)量和旋度。1.6.1矢量場(chǎng)的環(huán)量矢量F沿閉合路徑的曲線積分稱為矢量場(chǎng)F沿閉合路徑的環(huán)量（旋渦量）。其中是曲線的線元矢量，其大小為，方向?yàn)槭蛊浒鼑拿娣e在其左側(cè)，是矢量F與線元矢量的夾角，如圖1.12所示。圖1.12有向閉合路徑環(huán)量是一個(gè)代數(shù)量，它的大小和正負(fù)不僅與矢量場(chǎng)的分布有關(guān)，而且與所取的積分環(huán)繞方向有關(guān)。矢量的環(huán)量與矢量穿過閉合曲面的通量一樣，都是描述矢量場(chǎng)性質(zhì)的重要物理量。根據(jù)前面的內(nèi)容，如果矢量穿過閉合曲面的通量不為零，則表示該閉合曲面內(nèi)存在通量源。同樣的，如果矢量沿閉合曲線的環(huán)量不為零，則表示閉合曲線內(nèi)存在另一種源，即漩渦源?！咎崾尽吭诖艌?chǎng)中，磁場(chǎng)強(qiáng)度在環(huán)繞電流的閉合曲線上的環(huán)量不為零，其電流就是產(chǎn)生該磁場(chǎng)的漩渦源。1.6.2矢量場(chǎng)的旋度

從式(1.75)可以看出，環(huán)量是矢量F在大范圍閉合曲線上的線積分，反映了閉合曲線內(nèi)漩渦源的分布情況，而在矢量分析中，常常希望知道在每個(gè)點(diǎn)附近的漩渦源分布情況。為此，可以將閉合曲線收縮，使它包圍的面積趨于0，取極限此極限的意義是環(huán)量的面密度，或稱環(huán)量強(qiáng)度。

由于面積元是有方向的，它與閉合曲線的繞行方向成右手螺旋關(guān)系，因此在給定點(diǎn)上，上述極限對(duì)不同的面積元是不同的，在某一確定的方向上，環(huán)量面密度取得最大值，為此引入旋度的定義，表示為旋度的大小是矢量在給定點(diǎn)處的最大環(huán)量面密度，其方向是當(dāng)面積元的取向使環(huán)量面密度最大時(shí)，該面積元的法線方向。

矢量場(chǎng)的旋度可用哈密頓算子與矢量的矢量積來表示，即在直角坐標(biāo)系中寫成行列式形式為類似的，可推出圓柱坐標(biāo)系中和球坐標(biāo)系中的旋度計(jì)算式，分別為旋度運(yùn)算符合下列運(yùn)算規(guī)則

其中為標(biāo)量函數(shù)。式(1.86)和式(1.87)分別稱為“梯無旋”和“旋無散”?！局R(shí)要點(diǎn)提醒】矢量場(chǎng)的旋度是一個(gè)矢量；矢量場(chǎng)在給定點(diǎn)的旋度描述了矢量在該點(diǎn)的漩渦源強(qiáng)度。1.6.3斯托克斯定理在矢量場(chǎng)F所在的空間中，對(duì)于任意一個(gè)以閉合曲線所包圍的曲面S,有如下關(guān)系式此式稱為斯托克斯定理。

【知識(shí)要點(diǎn)提醒】矢量場(chǎng)的旋度在曲面上的面積分等于矢量場(chǎng)在限定曲面的閉合曲線上的線積分，是矢量旋度的面積分與該矢量沿閉合曲線積分之間的一個(gè)變化關(guān)系，是電磁場(chǎng)理論中重要的恒等式。【例1.3】坐標(biāo)原點(diǎn)處放置有一個(gè)點(diǎn)電荷q，它在自由空間產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度為求自由空間任意點(diǎn)電場(chǎng)強(qiáng)度的旋度。解：可見，點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)為無旋場(chǎng)（或保守場(chǎng)）。1.7拉普拉斯算符及其運(yùn)算標(biāo)量場(chǎng)的梯度是一個(gè)矢量，如果再對(duì)它求散度，即，稱為標(biāo)量場(chǎng)的拉普拉斯運(yùn)算，記為這里,或稱為拉普拉斯算符。在直角坐標(biāo)系中有類似的，標(biāo)量場(chǎng)在圓柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系中的拉普拉斯運(yùn)算分別是矢量場(chǎng)的拉普拉斯運(yùn)算定義為在直角坐標(biāo)系中1.8亥姆霍茲定理1.8.1散度、旋度的比較用散度和旋度是否能唯一確定一個(gè)矢量場(chǎng)呢？根據(jù)前面的討論，散度和旋度之間具有如下區(qū)別：矢量場(chǎng)的散度是一個(gè)標(biāo)量函數(shù)，而矢量場(chǎng)的旋度是一個(gè)矢量函數(shù)。散度描述的是矢量場(chǎng)中各點(diǎn)的場(chǎng)量和通量源的關(guān)系；而旋度描述的是矢量場(chǎng)中各點(diǎn)的場(chǎng)量與漩渦源的關(guān)系。如果矢量場(chǎng)所在的全部空間中，場(chǎng)的散度處處為零，則這種場(chǎng)中不可能存在通量源，因而稱之為無源場(chǎng)（或管形場(chǎng)）；如果矢量場(chǎng)所在的全部空間中，場(chǎng)的旋度處處為零，則這種場(chǎng)中不可能存在漩渦源，因而稱之為無旋場(chǎng)（或保守場(chǎng)）。在散度計(jì)算公式中，矢量場(chǎng)F的場(chǎng)分量分別只對(duì)x，y，z求偏導(dǎo)數(shù)，所以矢量場(chǎng)的散度描述的是場(chǎng)分量沿各自方向上的變化規(guī)律；而在旋度公式中，矢量場(chǎng)F的場(chǎng)分量分別只對(duì)與其垂直方向的坐標(biāo)變量求偏導(dǎo)數(shù)，所以矢量場(chǎng)的旋度描述的是場(chǎng)分量在其垂直方向上的變化規(guī)律。可見，散度和旋度一旦給定，激發(fā)場(chǎng)的源就確定了。亥姆霍茲定理給出的就是如何唯一確定一個(gè)矢量場(chǎng)的問題。1.8.2

亥姆霍茲定理位于某一區(qū)域中的矢量場(chǎng)，當(dāng)其散度、旋度以及邊界上場(chǎng)量的切向分量或法向分量給定后，則該區(qū)域中的矢量場(chǎng)被唯一地確定。這一結(jié)論稱為矢量場(chǎng)的唯一性定理。上述唯一性定理表明，區(qū)域V中的矢量場(chǎng)被V中的源及邊界值(或稱邊界條件)唯一地確定。矢量場(chǎng)的散度和旋度都是表示矢量場(chǎng)性質(zhì)的量度，可以證明，在有限區(qū)域V內(nèi)，任意一個(gè)矢量場(chǎng)由它的散度、旋度和邊界條件（即限定區(qū)域V的閉合面S上的矢量場(chǎng)的分布）唯一地確定，這就是亥姆霍茲定理【提示】亥姆霍茲定理總結(jié)了矢量場(chǎng)的基本性質(zhì)，是研究矢量場(chǎng)的一條主線，定理告訴我們，在分析矢量場(chǎng)時(shí)，需要從研究它的散度和旋度著手?！颈菊滦〗Y(jié)】本章介紹矢量分析和場(chǎng)論這一電磁場(chǎng)理論中重要的數(shù)學(xué)工具。1.既有大小又有方向的量叫矢量，在直角坐標(biāo)系中，矢量可表示為2.標(biāo)量場(chǎng)在M點(diǎn)處沿方向上的方向?qū)?shù)為，標(biāo)量場(chǎng)在M點(diǎn)處的梯度是一個(gè)矢量，它的方向是沿場(chǎng)量變化率最大的方向，大小等于其最大的變化率，在直角坐標(biāo)系中，

3.矢量穿過曲面S的通量定義為，矢量場(chǎng)在某點(diǎn)處的散度定義為散度是標(biāo)量，它表示在矢量場(chǎng)中給定點(diǎn)單位體積內(nèi)散發(fā)出來的矢量的通量,反映了矢量場(chǎng)在該點(diǎn)的通量源強(qiáng)度,在直角坐標(biāo)系中散度定理也稱高斯定理，描述為4.矢量F沿閉合路徑的線積分稱為矢量場(chǎng)F沿閉合路徑的環(huán)量（旋渦量）。矢量F在某點(diǎn)的旋度定義為旋度是一個(gè)矢量,大小是矢量F在給定點(diǎn)處的最大環(huán)量面密度，其方向是當(dāng)面積元的取向使環(huán)量面密度最大時(shí)，該面積元的法線方向,描述了矢量在該點(diǎn)的漩渦源強(qiáng)度。在直角坐標(biāo)系中為拉普拉斯算符。在直角坐標(biāo)系中6.亥姆霍茲定理表明，在有限區(qū)域內(nèi)，任意一個(gè)矢量場(chǎng)由它的散度、旋度和邊界條唯一確定。它總結(jié)了矢量場(chǎng)的基本性質(zhì)，在分析矢量場(chǎng)時(shí)，需要從研究它的散度和旋度著手?！玖?xí)題】一、填空題1.只有大小沒有方向的量稱為

；既有大小又有方向的量稱為

。2.兩個(gè)矢量的點(diǎn)積是

量；兩個(gè)矢量的叉積是

量。3.直角坐標(biāo)系中的位置矢量可表示為

。4.標(biāo)量場(chǎng)的梯度是

量；矢量場(chǎng)的散度是

量；矢量場(chǎng)的旋度是

量。5.矢量場(chǎng)中每一點(diǎn)處的旋度都為零，則稱該矢量場(chǎng)為

場(chǎng)。二、分析計(jì)算題

1.給定矢量，，求：(1)；(2)；(3)2.給定三個(gè)矢量，，，（1）；（2）3.在圓柱坐標(biāo)中，一點(diǎn)的位置由定出，求該點(diǎn)對(duì)應(yīng)在直角坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系中的坐標(biāo)。4.求標(biāo)量場(chǎng)在點(diǎn)M(1,2,1)處沿矢量方向的方向?qū)?shù)。5.設(shè)，求在點(diǎn)M(1,－2,1)處的。6.利用直角坐標(biāo)系證明：。7.設(shè)S為上半球面，求矢量場(chǎng)向上穿過S的通量。8.求矢量場(chǎng)從內(nèi)穿出閉合球面S：的通量。9.求矢量的散度。10.已知矢量，求矢量的旋度。11.證明成立，其中、為標(biāo)量場(chǎng)函數(shù)。12.證明：（1）；（2）；(3)。其中，為常矢量。第2章電磁感應(yīng)【本章教學(xué)要點(diǎn)】【導(dǎo)入案例】威力巨大的電磁炮美國(guó)海軍2010年12月10日宣布成功試射了電磁炮。海軍在試射中，將電磁炮以音速5倍的極速，擊向200公里外的目標(biāo)，射程為海軍常規(guī)武器的10倍，且破壞力驚人。美軍目標(biāo)在8年內(nèi)進(jìn)行海上實(shí)測(cè)，并于2025年前正式配備于軍艦上。兩次試射所產(chǎn)生的能量分別達(dá)33兆焦耳和32兆焦耳，打破于2008年創(chuàng)下的10兆焦耳紀(jì)錄。美軍最終實(shí)戰(zhàn)配備目標(biāo)是64兆焦耳級(jí)電磁炮，屆時(shí)射程最遠(yuǎn)可達(dá)321公里，可讓軍艦在敵艦射程范圍外發(fā)動(dòng)攻擊。電磁炮是利用電磁發(fā)射技術(shù)制成的一種先進(jìn)的動(dòng)能殺傷武器。與傳統(tǒng)的大炮將火藥燃?xì)鈮毫ψ饔糜趶椡璨煌?，電磁炮利用電磁系統(tǒng)中電磁場(chǎng)的作用力，其作用的時(shí)間要長(zhǎng)得多，可大大提高彈丸的速度和射程．因而引起了世界各國(guó)軍事家們的關(guān)注。電磁現(xiàn)象是廣泛存在的，人們很早就觀察到了，這些電磁現(xiàn)象有些源于自然界，有些則是人為產(chǎn)生的。在諸多的電磁現(xiàn)象中，人們最先認(rèn)識(shí)的是靜態(tài)的電場(chǎng)和磁場(chǎng)。英國(guó)科學(xué)家麥克斯韋在總結(jié)了前人大量的實(shí)驗(yàn)定律基礎(chǔ)上，建立了宏觀電磁場(chǎng)理論，這是物理學(xué)上的一大成就，它揭示了電磁場(chǎng)與電荷、電流之間以及電場(chǎng)與磁場(chǎng)之間的相互聯(lián)系及相互作用。2.1電荷及電荷守恒定律自然界中存在兩種電荷，正電荷和負(fù)電荷。任何物體所帶的電荷量總是以電子或質(zhì)子電荷量的整數(shù)倍出現(xiàn)的，電子帶負(fù)電荷，質(zhì)子帶正電荷，因此電荷量是不連續(xù)的，即電荷在空間的分布是離散的。但從宏觀電磁學(xué)觀點(diǎn)看，大量帶電粒子密集出現(xiàn)在某個(gè)空間體積內(nèi)時(shí)，電荷量可以視為連續(xù)分布。根據(jù)電荷分布的特點(diǎn)，常用體電荷密度、面電荷密度和線電荷密度來描述電荷的空間分布。1．體電荷密度體電荷密度定義為單位體積中的電荷量，即體電荷密度的單位為庫(kù)侖/米3()。式中，物理上理解為宏觀上它足夠小，小到能夠反映空間電荷密度分布的不均勻性。不難得到，有限區(qū)域V內(nèi)的總電荷量q為2．面電荷密度和線電荷密度實(shí)際應(yīng)用中常會(huì)遇到電荷分布在某一幾何曲面上，此時(shí)可用面電荷密度表示，定義為單位面積上的電荷量，即其單位為庫(kù)侖/米2()。同樣可以定義線電荷密度，表示單位長(zhǎng)度中的電荷量，即在實(shí)際應(yīng)用中經(jīng)常用到點(diǎn)電荷的概念，點(diǎn)電荷可以理解為一個(gè)體積很小而密度很大的帶電球體的極限。用電荷體積分布的概念來衡量，在某一點(diǎn)處，電荷體密度表示該點(diǎn)有一個(gè)點(diǎn)電荷。2.1.2電荷守恒定律實(shí)驗(yàn)表明，一個(gè)孤立系統(tǒng)的電荷總量是保持不變的，也就是說，在任何時(shí)刻，不論發(fā)生什么變化，系統(tǒng)中的正電荷與負(fù)電荷的代數(shù)和保持不變。這就是電磁現(xiàn)象中基本規(guī)律之一的電荷守恒定律。定律表明，如果孤立系統(tǒng)中某處在一個(gè)物理過程中產(chǎn)生或消滅了某種符號(hào)的電荷，那么必有等量的異號(hào)電荷伴隨產(chǎn)生或消滅；如果孤立系統(tǒng)中電荷總量增加或減少，必有等量的電荷進(jìn)入或離開該孤立系統(tǒng)。電荷守恒定律可以用數(shù)學(xué)的方法描述，稱為電流連續(xù)性方程，此方程在2.2節(jié)中介紹。2.2電流及電流連續(xù)性方程2.2.1電流及電流密度電流是電荷定向運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的，電流的強(qiáng)弱可以由電流強(qiáng)度來描述，它定義為單位時(shí)間內(nèi)通過導(dǎo)體任一橫截面的電荷量，數(shù)學(xué)表達(dá)式為若電荷運(yùn)動(dòng)的速度不隨時(shí)間變化，則形成的電流也不隨時(shí)間變化，稱為恒定電流。所以恒定電流的電流強(qiáng)度定義為式中Q是在時(shí)間t內(nèi)流過導(dǎo)體任一橫截面的電荷，I是常量。在SI單位制中，電流強(qiáng)度的單位為安培（A）()。【提示】電流強(qiáng)度的單位之所以是安培，是為紀(jì)念法國(guó)物理學(xué)家安培的緣故。1．體電流密度在通常情況下，電路中的電流只考慮某段導(dǎo)線中的總電流（體電流）。但在某些情況下導(dǎo)體內(nèi)部空間不同位置上，單位時(shí)間內(nèi)流過單位橫截面的電荷量可能不同，甚至其流動(dòng)的方向也不同。所以僅僅用穿過某一截面的電荷量無法描述電流在空間的分布情況，為此用電流密度矢量J來描述電流的分布情況，它表示導(dǎo)體中某點(diǎn)的電流特性，即電流的分布特性?？臻g任一點(diǎn)的電流密度矢量J的方向?yàn)樵擖c(diǎn)處正電荷的運(yùn)動(dòng)方向，其大小等于通過在該點(diǎn)垂直于J的單位面積的電流強(qiáng)度，如圖2.1（a）所示，即式中J是體傳導(dǎo)電流密度，單位為安培/米2（）。如果所取的面積元的法線方向與電流方向不平行，而成任意角θ，如圖2.1（b）所示，則通過該面積的電流是圖2.1體電流密度矢量

故通過導(dǎo)體中任意橫截面的電流強(qiáng)度與電流密度矢量的關(guān)系是2．面電流密度假如電荷只在導(dǎo)體表面一個(gè)小薄層內(nèi)流動(dòng)時(shí)，為了方便分析，經(jīng)常忽略薄層的厚度，認(rèn)為電荷在一個(gè)幾何曲面上流動(dòng)，從而形成面電流。通常用面電流密度來描述面電流的分布情況，如圖2.2所示。即式中是通過線元的電流，在某點(diǎn)的方向?yàn)樵擖c(diǎn)電流的流動(dòng)方向，大小為單位時(shí)間內(nèi)垂直通過包括該點(diǎn)的單位長(zhǎng)度的電量。面電流密度的單位為安培/米()。圖2.2面電流密度3．線電流密度若電荷沿橫截面可以忽略的曲線流動(dòng)，所形成的電流稱為線電流。長(zhǎng)度元為的電流稱為電流元，若電荷以速度運(yùn)動(dòng)，則2.2.2電流連續(xù)性方程由電荷守恒定律可知，電荷既不能被創(chuàng)造，也不能被消滅，電荷是守恒的。它只能從一個(gè)物體轉(zhuǎn)移到另一個(gè)物體，或從一個(gè)地方轉(zhuǎn)移到另一個(gè)地方，一個(gè)物體帶電量為零只說明它所攜帶的正負(fù)電荷的電荷量相等。物體的帶電過程實(shí)質(zhì)上是電荷的遷移過程。導(dǎo)電區(qū)域內(nèi)任取一個(gè)閉合面S，設(shè)閉合面S包圍的區(qū)域內(nèi)體電荷密度為，穿出曲面的電流可用體電流密度J來描述，則流出閉合面S的總電流為根據(jù)電荷守恒定律，單位時(shí)間內(nèi)由閉合面流出的電荷應(yīng)等于單位時(shí)間內(nèi)面內(nèi)電荷的減少量。因而得式中的Q為時(shí)刻t曲面S內(nèi)包圍的總電荷量，即故有式（2.15）稱為電流連續(xù)性方程的積分形式。是電荷守恒定律的數(shù)學(xué)表述。它表明，區(qū)域內(nèi)電荷的任何變化都必然伴隨著穿越區(qū)域表面的電荷流動(dòng)。也說明了電荷既不

能憑空產(chǎn)生，也不能憑空消失，只能轉(zhuǎn)移。利用散度定理可將式（2.15）左邊的閉合面積分轉(zhuǎn)換為體積分。于是有式（2.16）對(duì)任意選擇的體積均成立，故有式（2.17）稱為電流連續(xù)性方程的微分形式。在恒定電場(chǎng)中，激發(fā)電場(chǎng)的源是恒定的電流，導(dǎo)體內(nèi)部電荷保持恒定，即不隨時(shí)間變化，故，所以得式（2.18）稱為恒定電流連續(xù)性方程的積分形式。同理可得恒定電流連續(xù)性方程的微分形式為式（2.19）說明恒定電流激發(fā)的恒定電場(chǎng)是一個(gè)無散場(chǎng)（或稱管型場(chǎng)）。如果收縮閉合面S成一個(gè)點(diǎn)（即包含幾個(gè)導(dǎo)線分支的結(jié)點(diǎn)），則式（2.18）可解釋為這就是電路理論中的基爾霍夫電流定律，即在任意時(shí)刻，流入一個(gè)結(jié)點(diǎn)的電流的代數(shù)和為零。2.3庫(kù)侖定律與電場(chǎng)強(qiáng)度2.3.1庫(kù)侖定律庫(kù)侖定律是1784-1785年間法國(guó)物理學(xué)家?guī)靵鐾ㄟ^扭秤(如圖2.3所示)實(shí)驗(yàn)總結(jié)出來的。是關(guān)于一個(gè)帶電粒子與另一個(gè)帶電粒子之間作用力的定量描述，闡明了帶電體相互作用的規(guī)律。庫(kù)侖定律可表述為：真空中任意兩個(gè)靜止點(diǎn)電荷和之間作用力的大小與兩個(gè)電荷的電荷量成正比，與兩個(gè)電荷距離的平方成反比；作用力的方向沿兩個(gè)電荷的連線方向，同性電荷相斥，異性電荷相吸，如圖2.4所示。其數(shù)學(xué)表達(dá)式為其中是點(diǎn)電荷和之間的距離，法拉/米（），稱為真空中的介電常數(shù)。

圖2.3庫(kù)侖扭秤圖2.4點(diǎn)電荷間的作用力【知識(shí)要點(diǎn)提醒】（1）庫(kù)侖定律只適用于計(jì)算兩個(gè)點(diǎn)電荷間的相互作用力。（不能根據(jù)直覺認(rèn)為當(dāng)無限小時(shí)作用力就無限大，因?yàn)楫?dāng)無限小時(shí)兩電荷已經(jīng)失去了作為點(diǎn)電荷的前提。）（2）應(yīng)用庫(kù)侖定律求點(diǎn)電荷間相互作用力時(shí)，不用把表示正、負(fù)電荷的符號(hào)代入公式中，計(jì)算過程中可用絕對(duì)值計(jì)算，其結(jié)果可根據(jù)電荷的正、負(fù)確定作用力為引力或斥力以及作用力的方向。（3）庫(kù)侖力一樣遵守牛頓第三定律，不要認(rèn)為電荷量大的對(duì)電荷量小的電荷作用力大。(兩電荷之間是作用力和反作用力)2.3.2電場(chǎng)強(qiáng)度庫(kù)侖定律表明，即使電荷相距很遠(yuǎn)，一個(gè)電荷也要對(duì)另一個(gè)電荷施加作用力。即任何電荷在其所處空間內(nèi)都能激發(fā)出電場(chǎng)。人們正是通過電場(chǎng)中電荷受力的特性認(rèn)識(shí)和研究電場(chǎng)的，電荷之間的作用力是通過電場(chǎng)來傳遞和施加的。電場(chǎng)對(duì)電荷的作用力大小及方向可用電場(chǎng)強(qiáng)度矢量來描述。靜止的電荷會(huì)在其周圍空間激發(fā)出靜電場(chǎng)，場(chǎng)內(nèi)某點(diǎn)處一個(gè)靜止的試驗(yàn)電荷q受到的靜電場(chǎng)力為F，則該點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度定義為即為單位試驗(yàn)電荷受到的電場(chǎng)力。其中F的單位為牛頓（N），的單位為庫(kù)侖（C），電場(chǎng)強(qiáng)度的單位為伏特/米（）。的意義是，試驗(yàn)電荷的引入不至于影響空間電場(chǎng)的分布，或者說試驗(yàn)電荷本身產(chǎn)生的電場(chǎng)可忽略不計(jì)。由庫(kù)侖定律可得真空中靜止點(diǎn)電荷q激發(fā)的電場(chǎng)強(qiáng)度為電荷之間的作用力滿足疊加原理，空間中N個(gè)靜止點(diǎn)電荷在某點(diǎn)激發(fā)的電場(chǎng)強(qiáng)度，等于各點(diǎn)電荷單獨(dú)在該點(diǎn)產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度的疊加，即如果電荷在某空間以體密度連續(xù)分布，則在空間任意點(diǎn)產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度為【小思考】如果電荷連續(xù)分布在曲面和曲線上，則其電場(chǎng)分布情況如何？2.3.3電位函數(shù)如果在電場(chǎng)強(qiáng)度為E的電場(chǎng)中放置一個(gè)試驗(yàn)電荷q，則在該電荷上將作用一個(gè)電場(chǎng)力F，電場(chǎng)力將使電荷q移動(dòng)一段距離，電荷的移動(dòng)電場(chǎng)力會(huì)做功。即如圖2.5所示，當(dāng)電荷q沿電場(chǎng)中任意一個(gè)閉合路徑移動(dòng)一周時(shí)，電場(chǎng)力所做的功為對(duì)單位正電荷，做功為所以可見，電荷從場(chǎng)中的a點(diǎn)移到c點(diǎn),不論經(jīng)過何種路徑，電場(chǎng)力所做的功都相等，即與路徑無關(guān)。所以靜電場(chǎng)是保守場(chǎng)，又叫位場(chǎng)，可用位函數(shù)來描述。圖2.5電荷在電場(chǎng)中沿任意路徑移動(dòng)式(2.26)表示把單位正電荷從電場(chǎng)中的a點(diǎn)移到c點(diǎn)電場(chǎng)力所做的功,又稱為從a點(diǎn)到c點(diǎn)的電位差和分別為標(biāo)量場(chǎng)中a點(diǎn)和c點(diǎn)相對(duì)于某一參考點(diǎn)的電位值。即設(shè)為參考點(diǎn)，令其電位為零，則場(chǎng)中任一點(diǎn)a的電位可寫為在電場(chǎng)中，將電位相等的各點(diǎn)連接起來構(gòu)成曲線或曲面，將這些線或面叫做等位線或等位面?！咎崾尽康任痪€或等位面不相交，電荷在其上移動(dòng)時(shí)，電場(chǎng)力不做功。【例2.1】一個(gè)半徑為的球體均勻分布著體電荷密度()的電荷，球體內(nèi)外介電常數(shù)均為，求球體內(nèi)外的電場(chǎng)強(qiáng)度及電位分布。解：采用球坐標(biāo)系分析本題。在r<a的區(qū)域，即球內(nèi)距球心處的電場(chǎng)強(qiáng)度可由式（2.25）計(jì)算為

（V/m）

在r>a的區(qū)域，即球外距球心處的電場(chǎng)強(qiáng)度為（V/m）由于電荷分布在有限區(qū)域，可選無窮遠(yuǎn)點(diǎn)為參考點(diǎn)。則在r<a時(shí)，（V）在r>a時(shí)，（V）【小思考】如果選擇球心為參考點(diǎn)，則球內(nèi)外的電位分布情況如何？2.4高斯定理和電通量密度2.4.1電通量密度電場(chǎng)強(qiáng)度是描述電場(chǎng)強(qiáng)弱的矢量，同樣的電荷源在不同媒質(zhì)中激發(fā)的電場(chǎng)強(qiáng)度不同，也就是說電場(chǎng)強(qiáng)度是一個(gè)與媒質(zhì)有關(guān)的場(chǎng)量。為分析方便，這里引入另一個(gè)描述電場(chǎng)的基本量，即電通量密度D。在簡(jiǎn)單媒質(zhì)中，電通量密度定義為其單位是庫(kù)侖/米2（），式中是媒質(zhì)的介電常數(shù)，在真空中。對(duì)真空中的點(diǎn)電荷q激發(fā)的電場(chǎng)，電通量密度為可見，電通量密度與媒質(zhì)的介電常數(shù)無關(guān)，僅與電荷、距離有關(guān)。實(shí)際上，對(duì)于簡(jiǎn)單媒質(zhì)中的點(diǎn)電荷，上式均成立而不管其介電常數(shù)如何。這正是引入電通量密度的一個(gè)方便之處。電通量密度又稱為電位移矢量，有關(guān)內(nèi)容將在本章其它節(jié)中介紹。2.4.2高斯定理高斯定理把穿過一個(gè)封閉面的電通量與這個(gè)封閉面內(nèi)的點(diǎn)電荷聯(lián)系起來。如果封閉面內(nèi)有一點(diǎn)電荷q，且此封閉面就是以點(diǎn)電荷為球心的球面，則球面上各點(diǎn)的電通量密度是相等的，其方向就是球面上任意面元的外法線方向，因而電通量為可見，電通量?jī)H取決于點(diǎn)電荷的電荷量q，而與球的半徑無關(guān)。當(dāng)所取封閉面為非球面時(shí)，則可利用立體角的概念得出穿過它的電通量仍為q。如果在封閉面內(nèi)有若干個(gè)電荷，則穿出封閉面的電通量等于此面所包圍的總電荷量Q。即進(jìn)行積分的面稱為高斯面。式（2.32）即為高斯定理的積分形式，即穿過任意封閉面的電通量等于封閉面所包圍的自由電荷總電量。對(duì)于簡(jiǎn)單的電荷分布，可方便地利用此關(guān)系來求出電通量密度。高斯定理也可用真空中的電場(chǎng)強(qiáng)度表示為【提示】高斯定理由德國(guó)數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家、物理學(xué)家K.F.Gauss于1839年導(dǎo)出。若封閉面所包圍的體積內(nèi)的電荷以體密度分布，則式（2.32）可寫為應(yīng)用散度定理，式（2.34）可寫為上式對(duì)任意封閉面所包圍的體積都成立，因此等式兩邊被積函數(shù)必定相等，于是有式（2.35）是高斯定理的微分形式，即空間任意點(diǎn)電通量密度的散度等于該點(diǎn)自由電荷的體密度。這是靜電場(chǎng)的一個(gè)基本方程。公式說明，空間任意存在正電荷密度的點(diǎn)都發(fā)出電力線；有負(fù)的電荷密度時(shí)，則有電力線流向該點(diǎn)。電荷是電通量的源，也是電場(chǎng)的源?！纠?.2】利用高斯定理求解例2.1中球體內(nèi)外電場(chǎng)強(qiáng)度。解：在r<a的區(qū)域,所以（V/m）在r>a的區(qū)域，（V/m）可見，利用高斯定理求解電場(chǎng)強(qiáng)度更方便。2.5歐姆定律和焦耳定律的微分形式2.5.1歐姆定律的微分形式實(shí)驗(yàn)表明,當(dāng)導(dǎo)體溫度恒定不變時(shí),導(dǎo)體兩端的電壓與通過這段導(dǎo)體的電流成正比,這就是歐姆定律，即式中R為導(dǎo)體的電阻，它的單位為歐姆（Ω）。若設(shè)為導(dǎo)體長(zhǎng)度，S為導(dǎo)體橫截面積，為導(dǎo)體的電導(dǎo)率（由導(dǎo)體的材料決定，單位為。表2.1中列出了有關(guān)材料的電阻率和電導(dǎo)率），則計(jì)算電阻的表達(dá)式為或表2.1常用材料在常溫下的電阻率和電導(dǎo)率實(shí)驗(yàn)表明，通常情況下的金屬導(dǎo)體非常準(zhǔn)確地遵從歐姆定律，只有在電流密度達(dá)到1010數(shù)量級(jí)時(shí)，才有1%的偏差。所以在電流密度小于1010的金屬導(dǎo)體中可認(rèn)為U和I之間是線性關(guān)系。由計(jì)算電阻的表達(dá)式可導(dǎo)出歐姆定律的微分形式。在電導(dǎo)率為的導(dǎo)體內(nèi)沿電流方向取一個(gè)微小的圓柱形體積元，其長(zhǎng)度為，橫截面積為，如圖2.6所示。則圓柱體兩端面之間的電阻為，通過截面的電流。由于圓柱體兩端間的電壓可由電場(chǎng)強(qiáng)度表示為，則由(2.37)得圖2.6歐姆定律微分形式推導(dǎo)整理得式(2.39)就是歐姆定律的微分形式，描述了導(dǎo)體中每一點(diǎn)上的導(dǎo)電規(guī)律，它表明：通過導(dǎo)體中任一點(diǎn)的體電流密度矢量與電場(chǎng)強(qiáng)度成正比，且兩者方向相同，大小等于該點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度矢量與導(dǎo)體電導(dǎo)率的乘積。

2.4.2電阻工程上經(jīng)常需要計(jì)算兩個(gè)電極之間填充的導(dǎo)電媒質(zhì)的電阻。在導(dǎo)電媒質(zhì)中，電流從一個(gè)電極流向另一個(gè)電極，我們把兩個(gè)電極之間導(dǎo)電媒質(zhì)中的電流I與兩極間的電壓U的比值稱為導(dǎo)電媒質(zhì)的電導(dǎo)G，即電導(dǎo)的單位是西門子（S），其倒數(shù)即為電阻R，即由歐姆定律可知，電阻值由導(dǎo)電媒質(zhì)的材料和結(jié)構(gòu)確定。對(duì)于形狀較為規(guī)則的導(dǎo)電媒質(zhì)，可按下列步驟計(jì)算電阻：假設(shè)導(dǎo)電媒質(zhì)兩極間通過的電流為I；求出體電流密度J；利用求電場(chǎng)強(qiáng)度E；求兩極間的電位差U；利用求電阻R。【提示】也可以用其它的方法來計(jì)算導(dǎo)電媒質(zhì)的電阻。【例2.3】有一扇形導(dǎo)電媒質(zhì)片如圖2.7所示，張角為，內(nèi)半徑為a，外半徑為b，厚度為d，導(dǎo)電媒質(zhì)的電導(dǎo)率為，求A、B面之間的電阻。解：根據(jù)式（2.37），可得電導(dǎo)表達(dá)式。所以圖中所取電導(dǎo)元是則A、B面間的電導(dǎo)是(S)

圖2.7扇型導(dǎo)電媒質(zhì)片A、B面間的電阻是(Ω)

【例2.4】一根內(nèi)導(dǎo)體半徑為a，外導(dǎo)體內(nèi)半徑為b（外導(dǎo)體很薄，厚度忽略不計(jì)）的同軸電纜，內(nèi)外導(dǎo)體間填充電導(dǎo)率為的導(dǎo)電媒質(zhì)，如圖2.8所示。求同軸電纜單位長(zhǎng)度的漏電阻。圖2.8同軸電纜解：先假設(shè)由內(nèi)導(dǎo)體流向外導(dǎo)體的電流為I，則沿徑向流過同一圓柱面的漏電流密度相等，即

所以內(nèi)外導(dǎo)體間的電壓則單位長(zhǎng)度漏電阻是

（Ω/m）

【小思考】是否可以用例2.2的解法來求解本例？2.5.3焦耳定律的微分形式在金屬導(dǎo)體中，自由電子在電場(chǎng)力的作用下的定向運(yùn)動(dòng)形成電流。在這個(gè)運(yùn)動(dòng)中電場(chǎng)力不斷地對(duì)自由電子作功，自由電子獲得能量。當(dāng)電子與金屬晶格點(diǎn)陣上原子碰撞時(shí),此能量轉(zhuǎn)變?yōu)榻苟鸁幔詫?dǎo)體也稱導(dǎo)電媒質(zhì)。設(shè)導(dǎo)電媒質(zhì)中通有電流I，其兩端的電壓為U，則單位時(shí)間內(nèi)電場(chǎng)對(duì)電荷所作的功,即功率是在導(dǎo)電媒質(zhì)中仍以一個(gè)微小的圓柱體積元來推導(dǎo)焦耳定律的微分形式。在電場(chǎng)中體積元的體積為，它的熱損耗功率是

,當(dāng)所取的體積元的體積趨盡于零時(shí)，的極限就是導(dǎo)體中任一點(diǎn)的熱功率密度，它是單位時(shí)間內(nèi)電流在導(dǎo)體任一點(diǎn)的單位體積中所產(chǎn)生的熱量，單位是。它的表達(dá)式為也可表示為式（2.44）是焦耳定律的微分形式。在恒定電流和時(shí)變電流的情況下都成立。它表明由電場(chǎng)提供的單位體積的功率是電場(chǎng)強(qiáng)度和體電流密度的點(diǎn)積。2.6電介質(zhì)中的電場(chǎng)及電位移矢量真空是物理學(xué)的理想狀態(tài)，無論是工程實(shí)際應(yīng)用，還是進(jìn)行科學(xué)研究，總是在特定的物質(zhì)空間進(jìn)行的。介質(zhì)是物質(zhì)的一種統(tǒng)稱，電介質(zhì)是指磁導(dǎo)率為的媒質(zhì)。所有物質(zhì)都是由帶正電荷和負(fù)電荷的粒子組成的，如果將它們都放入電場(chǎng)中，帶電粒子因受到電場(chǎng)力的作用而改變其狀態(tài)。導(dǎo)體中含有大量自由電荷，而理想電介質(zhì)中則沒有自由電荷。將介質(zhì)置入電場(chǎng)中，介質(zhì)內(nèi)的電場(chǎng)同樣會(huì)發(fā)生變化，這是因?yàn)殡妶?chǎng)使介質(zhì)發(fā)生極化，形成束縛電荷，束縛電荷也產(chǎn)生電場(chǎng)，因而引起介質(zhì)內(nèi)總電場(chǎng)的改變。2.6.1電介質(zhì)的極化1.極化強(qiáng)度P電介質(zhì)的分子一般有兩種類型：一種分子的正電荷作用中心和負(fù)電荷作用中心是重合的，沒有電偶極矩，稱為無極分子；另一種分子的正負(fù)電荷中心不重合，形成固有的電偶極矩，稱為有極分子。當(dāng)無外加電場(chǎng)時(shí)，分子作無規(guī)則熱運(yùn)動(dòng)，宏觀上呈現(xiàn)電中性。在宏觀電場(chǎng)的作用下，無極分子(如分子)，正負(fù)電荷的中心相對(duì)位移，形成電偶極矩，而有極分子(如分子)，固有電偶極矩的取向?qū)②呄蚺c電場(chǎng)方向一致，這種現(xiàn)象稱為電介質(zhì)的極化?？傊徽摕o極性介質(zhì)，還是有極性介質(zhì)，在外電場(chǎng)作用下，分子內(nèi)部的束縛電荷都將形成電偶極子，對(duì)外呈現(xiàn)帶電現(xiàn)象（如圖2.9所示），從而使介質(zhì)中的場(chǎng)強(qiáng)為場(chǎng)源電荷（或稱自由電荷）與介質(zhì)中的束縛電荷產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)相疊加，因而改變了原來的電場(chǎng)分布。圖2.9外電場(chǎng)作用所以，可以認(rèn)為電介質(zhì)對(duì)電場(chǎng)的影響歸結(jié)為束縛電荷產(chǎn)生的影響，這樣，在計(jì)算電場(chǎng)時(shí)，如果考慮了電介質(zhì)表面和體內(nèi)的束縛電荷，原來的電介質(zhì)所占的空間可視為真空，而束縛電荷所產(chǎn)生的電場(chǎng)賦有抵消作用，使得總合成電場(chǎng)減弱。

束縛電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)是極化后的電介質(zhì)內(nèi)部所有電偶極子的宏觀效應(yīng)。為了分析介質(zhì)極化的宏觀效應(yīng)，描述介質(zhì)的極化程度，引入極化強(qiáng)度矢量P，它定義為單位體積內(nèi)的電偶極矩的矢量和，即式中，為體積元中的第i個(gè)分子的電偶極矩。由此可見，極化強(qiáng)度P是電偶極矩的體密度，單位為庫(kù)侖/平方米（）。2.極化電荷介質(zhì)沒有極化時(shí)，由于無規(guī)則運(yùn)動(dòng)，不會(huì)出現(xiàn)宏觀的電荷分布。介質(zhì)產(chǎn)生極化后，由于電偶極矩的有序排列，導(dǎo)致介質(zhì)表面和內(nèi)部可能出現(xiàn)極化電荷分布，如果外加電場(chǎng)是隨時(shí)間變化的，極化強(qiáng)度矢量P和極化電荷也隨時(shí)間變化，并在一定范圍內(nèi)發(fā)生運(yùn)動(dòng)從而形成極化電流。這種由極化引起的宏觀電荷稱為極化電荷。介質(zhì)中的極化電荷不能離開分子移動(dòng)，所以又稱為束縛電荷。極化電荷的分布用極化電荷密度或極化電荷面密度來表示。在極化介質(zhì)中，設(shè)每一個(gè)分子的正負(fù)電荷間的平均相對(duì)位移為，則分子電偶極矩。在曲面S上任取一個(gè)面元，計(jì)算從它穿出去的電荷。為方便計(jì)算，假定極化過程中負(fù)電荷不動(dòng)，而正電荷有一位移。顯然，處于體積元中的正電荷將從面元穿出，如圖2.10所示。設(shè)單位體積中的分子數(shù)為n，則穿過面元的電荷量為所以閉合曲面S穿出體積的正電荷量為。由電中性可知，留在閉合曲面S內(nèi)的極化電荷量則為由此可得介質(zhì)體內(nèi)的電荷體密度為

式（2.48）表示介質(zhì)內(nèi)一點(diǎn)的束縛體電荷密度等于這點(diǎn)上極化強(qiáng)度散度的負(fù)值，反映了介質(zhì)內(nèi)部某點(diǎn)的極化電荷分布與極化強(qiáng)度之間的關(guān)系?，F(xiàn)在計(jì)算極化電荷面密度，在介質(zhì)體內(nèi)緊貼表面取一個(gè)閉曲面，從這個(gè)閉曲面上穿出的極化電荷是電介質(zhì)表面上的極化面電荷。由式（2.46）可知，從面積元上穿出的極化電荷量，故極化電荷面密度為式中，n為介質(zhì)表面的外法向單位矢量，該式表示介質(zhì)表面上一點(diǎn)的束縛面電荷密度等于該點(diǎn)的極化強(qiáng)度在面積元外法線方向上的分量，反映了極化電荷面密度與極化強(qiáng)度的關(guān)系。2.6.1電位移矢量當(dāng)介質(zhì)在外加電場(chǎng)的作用下極化時(shí)，因有極化電荷產(chǎn)生，將在空間中產(chǎn)生附加電場(chǎng)。此附加電場(chǎng)有減弱電介質(zhì)極化的趨勢(shì)，常稱為退極化場(chǎng)。這時(shí)空間中的電場(chǎng)應(yīng)為外加電場(chǎng)與附加電場(chǎng)的合成場(chǎng)，即實(shí)驗(yàn)表明，在均勻、線形和各向同性的電介質(zhì)中，極化強(qiáng)度矢量與電介質(zhì)中的合成電場(chǎng)強(qiáng)度成正比，它們的關(guān)系是式中稱為電介質(zhì)的極化率（或稱為極化系數(shù)），是無量綱的常數(shù)，其大小取決于電介質(zhì)的性質(zhì)。在分析電介質(zhì)中的電場(chǎng)時(shí)，引入一個(gè)輔助矢量D，其定義為矢量D稱為電位移矢量，單位為庫(kù)侖/平方米()。對(duì)于線性、各向同性的電介質(zhì)，將式（2.51）代入式（2.52）中，得式中稱為電介質(zhì)的介電常數(shù)（或電介質(zhì)的電容率），是物質(zhì)的三個(gè)電特性參數(shù)之一（另兩個(gè)是磁導(dǎo)率和電導(dǎo)率）。稱為電介質(zhì)的相對(duì)介電常數(shù)，是無量綱常數(shù)?！纠?.5】有兩塊板間距離為d的大平行導(dǎo)體板，兩板接上直流電壓源U，充電后又?jǐn)嚅_電源；然后在兩板間插入一塊均勻介質(zhì)板，其相對(duì)介電常數(shù)。假設(shè)介質(zhì)板的厚度比d略小一點(diǎn)，留下一空氣隙，如圖2.11所示。試求（可以忽略邊緣效應(yīng)）:（１）放入介質(zhì)板前后，平行板間的電場(chǎng)分布；（２）介質(zhì)板表面的束縛面電荷密度，和介質(zhì)板內(nèi)的束縛體電荷密度。解：忽略邊緣效應(yīng)，認(rèn)為板間的電場(chǎng)是均勻的,方向與極板垂直。

圖2.11平行導(dǎo)體板（１）加入介質(zhì)板前的電場(chǎng)強(qiáng)度為(即方向從正極板指向負(fù)極板)

設(shè)兩極板上自由電荷面密度分別為和，根據(jù)高斯定理，作如圖2.11中虛線所示柱形高斯面，上下底面與極板平行，ΔS是其面積，所以因而得充電后電源切斷,極板上的自由電荷密度保持不變。用高斯定理求得所以空氣間隙中的電場(chǎng)強(qiáng)度為

(與未加介質(zhì)板前相同)介質(zhì)中的電場(chǎng)強(qiáng)度為(是未加介質(zhì)板前場(chǎng)強(qiáng)的1/4)

（２）介質(zhì)中的極化強(qiáng)度

若考慮束縛電荷,則兩板間的全部空間(含介質(zhì)空間)都視為空氣(εr=1)。兩層束縛面電荷在空氣間隙部分產(chǎn)生的電場(chǎng)為零,所以空氣間隙的電場(chǎng)與未加介質(zhì)板前相同。而在介質(zhì)板所在區(qū)域內(nèi)，電場(chǎng)是兩層自由電荷和兩層束縛面電荷產(chǎn)生場(chǎng)的疊加，它們產(chǎn)生的電場(chǎng)相反，即2.7畢奧—薩伐定律及磁感應(yīng)強(qiáng)度2.7.1安培磁力定律電磁現(xiàn)象是相互聯(lián)系的，有著共同的根源。安培對(duì)電流的磁效應(yīng)進(jìn)行了大量的實(shí)驗(yàn)研究，得到了電流相互作用力的公式，稱為安培磁力定律。如圖2.12所示，和是真空中兩個(gè)細(xì)導(dǎo)線回路，其上電流分別為和，則回路對(duì)的作用力為圖2.12兩個(gè)載流回路間的作用力式中，r是電流元至的距離，是由指向的單位矢量，，是真空的磁導(dǎo)率。安培磁力定律表明，任意兩個(gè)恒定電流元之間存在力的作用，作用力不僅和恒定電流元的大小有關(guān)，同時(shí)還與恒定電流元之間的夾角有關(guān)。2.7.2畢奧—薩伐定律及磁感應(yīng)強(qiáng)度因?yàn)檫\(yùn)動(dòng)的電荷形成電流，安培力正是反映兩段運(yùn)動(dòng)電荷之間的作用力。但該力有別于庫(kù)侖力，不能由庫(kù)侖定律得出，稱之為磁力或磁場(chǎng)力?？蛇M(jìn)一步表示為式中上式稱為畢奧-薩伐（J.B.Biot.F.Savart）定律，矢量B可看作是電流回路作用于單位電流元的磁場(chǎng)力，它是表征電流回路在其周圍建立的磁場(chǎng)特性的一個(gè)物理量，稱為磁通量密度或磁感應(yīng)強(qiáng)度。它的單位是特斯拉（T），即。在電場(chǎng)中，由高斯定理可知，穿過任意封閉面的電通量等于封閉面所包圍的自由電荷總電量，電力線是起止于正負(fù)電荷的。而自然界不存在單獨(dú)的磁荷，所以磁場(chǎng)中的磁力線總是閉合的，即閉合的磁力線穿進(jìn)閉合面多少條，也必然穿出同樣多的條數(shù)，結(jié)果使穿過閉合面的磁通量恒為零，即利用散度定理可得式（2.56）稱為磁通連續(xù)性原理，也稱為磁場(chǎng)的高斯定理，式（2.57）是它的微分形式。為方便起見，通常引入磁場(chǎng)強(qiáng)度矢量H，在簡(jiǎn)單媒質(zhì)中，H由下式定義：(A/m)

式中是媒質(zhì)的磁導(dǎo)率。2.8法拉第電磁感應(yīng)定律隨時(shí)間變化的電場(chǎng)和磁場(chǎng)是相互關(guān)聯(lián)的，它們相互激勵(lì)，形成統(tǒng)一的電磁場(chǎng)，這首先由英國(guó)科學(xué)家法拉第在實(shí)驗(yàn)中觀察到。表征這一重要電磁現(xiàn)象的基本規(guī)律就是法拉第電磁感應(yīng)定律。2.8.1法拉第電磁感應(yīng)定律的積分形式法拉第在實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)，當(dāng)穿過導(dǎo)體回路的磁通量發(fā)生變化時(shí)，回路中將感應(yīng)一電動(dòng)勢(shì)，會(huì)出現(xiàn)感應(yīng)電流，這就是電磁感應(yīng)現(xiàn)象。法拉第通過對(duì)電磁感應(yīng)現(xiàn)象的研究，總結(jié)出電磁感應(yīng)的規(guī)律：當(dāng)穿過導(dǎo)體回路的磁通量發(fā)生變化時(shí)，回路中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)與穿過此回路的磁通量的時(shí)間率成正比。楞次指出了感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的極性，即它在回路中引起的感應(yīng)電流的方向是使它所產(chǎn)生的磁場(chǎng)阻礙磁通的變化。這兩個(gè)結(jié)果結(jié)合在一起就是法拉第電磁感應(yīng)定律。若規(guī)定回路中感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的參考方向與穿過該回路的磁通參考方向符號(hào)右手螺旋關(guān)系，則法拉第電磁感應(yīng)定律可表示為式中，負(fù)號(hào)表示回路中感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的作用總是要阻止回路中磁通量的改變。設(shè)任意導(dǎo)體回路圍成的曲面為S，則穿過回路的磁通量。則式（2.59）可以寫成由于電流是電荷的定向運(yùn)動(dòng)形成的,而電荷的定向運(yùn)動(dòng)往往是電場(chǎng)力對(duì)其作用的結(jié)果。當(dāng)磁通量發(fā)生變化時(shí),導(dǎo)體回路中產(chǎn)生感應(yīng)電流,預(yù)示著導(dǎo)體回路中存在電場(chǎng)。顯然，這個(gè)電場(chǎng)不是電荷激發(fā)的，而是由于回路的磁通量發(fā)生變化而引起的，稱為感應(yīng)電場(chǎng)，記做?；芈分械母袘?yīng)電動(dòng)勢(shì)應(yīng)等于感應(yīng)電場(chǎng)沿此回路的積分，即則式（2.60）可表示為由此可見，感應(yīng)電場(chǎng)不同于靜電場(chǎng)，它是一種非保守場(chǎng)。通常情況下，空間中可能既存在靜電場(chǎng)又存在感應(yīng)電場(chǎng),則總電場(chǎng)。由于，則有這就是法拉第電磁感應(yīng)定律的積分形式。它表明電場(chǎng)強(qiáng)度沿任意閉合曲線的環(huán)量等于穿過以該閉合曲線為邊界的任意曲面的磁通量變化率的負(fù)值。磁通變化可以是由于磁場(chǎng)隨時(shí)間變化引起的，也可以是由于回路自身運(yùn)動(dòng)引起的，這樣，式（2.63）可寫為上式右端的兩個(gè)積分分別對(duì)應(yīng)著磁場(chǎng)變化和導(dǎo)體運(yùn)動(dòng)的貢獻(xiàn)。如果回路是靜止的，則于是得到當(dāng)磁場(chǎng)不隨時(shí)間變化時(shí)，有【例2.6】單匝矩形線圈置于時(shí)變場(chǎng)中，如圖2.13所示。初始時(shí)刻，線圈平面的法向單位矢量n與y軸成角。求：線圈靜止時(shí)的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)；線圈以速度ω繞ｘ軸旋轉(zhuǎn)時(shí)的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)。解：（1）線圈靜止時(shí)，穿過線圈的磁通為圖2.13場(chǎng)中的矩形線圈故感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為（2）線圈以角速度ω繞x軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，法向單位矢量n的方向隨時(shí)間變化。在t時(shí)刻，n與y軸的夾角,所以故感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為2.8.2法拉第電磁感應(yīng)定律的微分形式對(duì)式（2.65）左邊應(yīng)用斯托克斯定理，可得對(duì)任意的S有這就是法拉第電磁感應(yīng)定律的微分形式。它揭示了隨時(shí)間變化的磁場(chǎng)將激發(fā)電場(chǎng)這一重要的概念，是電磁場(chǎng)的基本方程之一。我們稱該電場(chǎng)為感應(yīng)電場(chǎng)，以區(qū)別于由電荷產(chǎn)生的庫(kù)侖電場(chǎng)，庫(kù)侖電場(chǎng)是無旋場(chǎng)，而感應(yīng)電場(chǎng)是旋渦場(chǎng)。其旋渦源是磁通的變化。

【提示】法拉第電磁感應(yīng)定律的重要意義在于，一方面，依據(jù)電磁感應(yīng)的原理，人們制造出了發(fā)電機(jī)，電能的大規(guī)模生產(chǎn)和遠(yuǎn)距離輸送成為可能；另一方面，電磁感應(yīng)現(xiàn)象在電工技術(shù)、電子技術(shù)以及電磁測(cè)量等方面都有廣泛的應(yīng)用。人類社會(huì)從此邁進(jìn)了電氣化時(shí)代。【本章小結(jié)】本章主要介紹宏觀電磁感應(yīng)現(xiàn)象及其規(guī)律和常用電磁場(chǎng)物理量，并介紹了電路三大參量之一-電阻的計(jì)算方法。1.電荷及電荷守恒定律（1）體電荷密度：。（2）面電荷密度：。（3）線電荷密度：。（4）電荷守恒定律描述為：一個(gè)孤立系統(tǒng)的電荷總量是保持不變的，也就是說，在任何時(shí)刻，不論發(fā)生什么變化，系統(tǒng)中的正電荷與負(fù)電荷的代數(shù)和保持不變。2.電流及電流連續(xù)性方程（1）電流：。（2）體電流密度：。（3）面電流密度：。（4）電流連續(xù)性方程：微分形式為；積分形式為。3.庫(kù)侖定律和電場(chǎng)強(qiáng)度

（1）庫(kù)侖定律：。（2）電場(chǎng)強(qiáng)度：。（3）電位：。4．高斯定理和電通量密度（1）電通量密度：。（2）高斯定理：積分形式為；微分形式為。5．歐姆定律的微分形式：；焦耳定律的微分形式：。6.電介質(zhì)中的電場(chǎng)及電位移矢量（1）極化強(qiáng)度：。

（2）極化電荷體密度；極化電荷面密度。（3）電位移矢量。7.畢奧—薩伐定律及磁感應(yīng)強(qiáng)度（1）安培磁力定律：（2）畢奧.薩伐定律：8.法拉第電磁感應(yīng)定律：積分形式為;微分形式為。它揭示了隨時(shí)間變化的磁場(chǎng)將激發(fā)電場(chǎng)這一重要的概念?！玖?xí)題】一、填空題1.電位參考點(diǎn)就是指定電位值恒為

的點(diǎn)；電位參考點(diǎn)選定之后，電場(chǎng)中各點(diǎn)的電位值是__________。2.法拉第電磁感應(yīng)定律的微分形式是

。3.靜止電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)，稱之為___________。4.電荷__________形成電流；電流體密度的單位是

。5.電場(chǎng)強(qiáng)度的方向是

運(yùn)動(dòng)的方向。二、選擇題1.電場(chǎng)中試驗(yàn)電荷受到的作用力與試驗(yàn)電荷電量成()關(guān)系。A.正比B.反比C.平方D.平方根2.磁通Φ的單位為()A.特斯拉B.韋伯C.庫(kù)侖D.安匝3.真空中介電常數(shù)的數(shù)值為()A.8.85×10.9F/mB.8.85×10.10F/mC.8.85×10.11F/mD.8.85×10.12F/m4.單位時(shí)間內(nèi)通過某面積S的電荷量，定義為穿過該面積的（）。A．通量B．電流C．電阻D．環(huán)流5．磁場(chǎng)強(qiáng)度的單位是（）。A．韋伯B．特斯拉C．亨利D．安培/米三、分析計(jì)算題1.設(shè)同心球電容器的內(nèi)導(dǎo)體半徑為a，外導(dǎo)體的內(nèi)半徑為b，內(nèi)、外導(dǎo)體間填充電導(dǎo)率為的導(dǎo)電媒質(zhì)，如圖2.14所示。求內(nèi)、外導(dǎo)體間的絕緣電阻。

圖2.14同心球電容器圖2.15扇形弧片2.如圖2.15所示，由兩塊電導(dǎo)率分別為的金屬薄片構(gòu)成一扇形弧片，，內(nèi)外弧半徑分別為a和b，弧片厚度為h，若電極A、B上的電位分別為零和，試求：電極A、B間的電阻R。3.設(shè)一扇形電阻片的尺寸如圖2.7所示,材料的電導(dǎo)率為,試計(jì)算：(1)沿厚度方向的電阻；(2)沿圓弧面間的電阻。4.有一電荷均勻分布的無限長(zhǎng)直導(dǎo)線，線密度為，求空間各點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度。5.有兩塊間距為d（m）的無限大帶電平行平面，上下極板上分別帶有均勻電荷，求平行板內(nèi)外各點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度。6.同軸線橫截面如圖2.16所示，內(nèi)導(dǎo)體半徑為a，外導(dǎo)體的內(nèi)半徑為b，內(nèi)、外導(dǎo)體單位長(zhǎng)度帶電量分別為和，其間填充介電常數(shù)為的均勻電介質(zhì)，計(jì)算內(nèi)外導(dǎo)體間的電場(chǎng)強(qiáng)度和電位差。圖2.16同軸線

7.空氣中有兩條電荷均勻分布的無限長(zhǎng)直線電荷，電荷密度分別為（C/m）。兩線電荷相距d（m）。求空間任意點(diǎn)的點(diǎn)位。8.一電荷均勻分布的圓盤，半徑為a，電荷密度為，求與圓盤垂直的軸線上一點(diǎn)的電位。9.在中心位于原點(diǎn)，邊長(zhǎng)L為電介質(zhì)立方體的極化強(qiáng)度為。（1）計(jì)算面和體束縛電荷密度；（2）證明總束縛電荷為零。10.空心介質(zhì)球的內(nèi)外半徑分別為和a,b已知極化強(qiáng)度，求束縛面電荷密度和束縛體電荷密度。第3章時(shí)變電磁場(chǎng)【本章教學(xué)要點(diǎn)】【導(dǎo)入案例】詹姆斯·克拉克·麥克斯韋是英國(guó)19世紀(jì)偉大的物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家。1831年11月13日生于蘇格蘭的愛丁堡，自幼聰穎，父親是個(gè)知識(shí)淵博的律師，使麥克斯韋從小受到良好的教育。麥克斯韋大約于1855年開始研究電磁學(xué)，在潛心研究了法拉第關(guān)于電磁學(xué)方面的新理論和思想之后，堅(jiān)信法拉第的新理論包含著真理。于是他抱著給法拉第的理論“提供數(shù)學(xué)方法基礎(chǔ)”的愿望，決心把法拉第的天才思想以清晰準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)形式表示出來。他在前人成就的基礎(chǔ)上，對(duì)整個(gè)電磁現(xiàn)象作了系統(tǒng)、全面的研究，憑借他高深的數(shù)學(xué)造詣和豐富的想象力接連發(fā)表了電磁場(chǎng)理論的三篇論文：《論法拉第的力線》、《論物理的力線》和《電磁場(chǎng)的動(dòng)力學(xué)理論》。在論文中，麥克斯韋對(duì)前人和他自己的工作進(jìn)行了綜合概括，將電磁場(chǎng)理論用簡(jiǎn)潔、對(duì)稱、完美的數(shù)學(xué)形式表示出來，經(jīng)后人整理和改寫，成為經(jīng)典電動(dòng)力學(xué)主要基礎(chǔ)的麥克斯韋方程組。據(jù)此，1865年他預(yù)言了電磁波的存在，并計(jì)算了電磁波的傳播速度等于光速，同時(shí)得出結(jié)論：光是電磁波的一種形式，揭示了光現(xiàn)象和電磁現(xiàn)象之間的聯(lián)系。麥克斯韋于1873年出版了科學(xué)名著《電磁理論》，系統(tǒng)、全面、完美地闡述了電磁場(chǎng)理論，這一理論成為經(jīng)典物理學(xué)的重要支柱之一。麥克斯韋嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度和科學(xué)研究方法是人類極其寶貴的精神財(cái)富。本章首先介紹位移電流的概念和全電流安培環(huán)路定律，然后討論麥克斯韋方程組,時(shí)變電磁場(chǎng)的邊界條件等，同時(shí)導(dǎo)出時(shí)變電磁場(chǎng)的能量守恒定律-坡印廷定理，然后引入動(dòng)態(tài)矢量位和標(biāo)量位的概念，以方便時(shí)變電磁場(chǎng)的運(yùn)算。3.1位移電流與全電流定律除了電荷產(chǎn)生電場(chǎng)外，變化的磁場(chǎng)也要在空間產(chǎn)生電場(chǎng)，麥克斯韋稱由變化磁場(chǎng)所產(chǎn)生的電場(chǎng)為感應(yīng)電場(chǎng)（渦旋電場(chǎng)）；但在把安培環(huán)路定律應(yīng)用到非恒定電流電路時(shí)，麥克斯韋遇到了矛盾，這又引出了“位移電流”的假說。它揭示了電場(chǎng)和磁場(chǎng)相聯(lián)系的另一方面，即變化電場(chǎng)又將激發(fā)磁場(chǎng)。麥克斯韋對(duì)電磁場(chǎng)理論重大貢獻(xiàn)的核心是位移電流的假說。3.1.1安培環(huán)路定律本節(jié)首先討論無限長(zhǎng)載流直導(dǎo)線引起的磁場(chǎng)，在此基礎(chǔ)上得到一般形式的安培環(huán)路定律。如圖3.1所示，無限長(zhǎng)直導(dǎo)線上流過電流I，則真空中P點(diǎn)的磁通量密度可以由畢奧薩伐定律求得。圖3.1載流直導(dǎo)線

考慮到磁場(chǎng)的分布具有對(duì)稱性，采用圓柱坐標(biāo)系進(jìn)行分析，使直線電流與Z軸重合,線電流的中點(diǎn)位于原點(diǎn)，顯然可以僅在為常數(shù)的平面內(nèi)計(jì)算磁場(chǎng)，不妨取=0，則場(chǎng)點(diǎn)的位置矢量為，點(diǎn)源的位置矢量為，故距離矢量

R=,

（用撇表示場(chǎng)源）根據(jù)畢奧薩伐定律有=

==(coscos)

或?qū)憺?sinsin)

式中=

=，那么無限長(zhǎng)直線電流可看作一段直線電流的兩端無限延伸，即，,利用式（3.,1）即可求得真空中無限長(zhǎng)直線電流所產(chǎn)生的磁場(chǎng)為用磁場(chǎng)強(qiáng)度表示為

式（3.2)是磁場(chǎng)分布的一個(gè)重要公式，若以為半徑繞直導(dǎo)線一周積分，可得即式（3.3）是恒定電流的磁場(chǎng)所遵守的一條基本定律，即安培環(huán)路定律。它表明，在恒定電流的磁場(chǎng)中，磁場(chǎng)強(qiáng)度沿任何閉合路徑的線積分等于該路徑所包圍的電流?！咎崾尽窟@里的應(yīng)理解為傳導(dǎo)電流的代數(shù)和。式（3.3）是真空中安培環(huán)路定律的積分形式，結(jié)合斯托克斯定理可得回路是任意取的，故有這是安培環(huán)路定律的微分形式，它表明磁場(chǎng)存在著旋渦源J?！纠?.1】半徑為a的無限長(zhǎng)直導(dǎo)線通有電流I,試計(jì)算導(dǎo)體內(nèi)外的磁場(chǎng)強(qiáng)度。解：引入圓柱坐標(biāo)系計(jì)算電流的磁場(chǎng)?？梢钥闯?，場(chǎng)與和Z坐標(biāo)無關(guān)，根據(jù)安培環(huán)路定律，在ra的圓柱內(nèi)故對(duì)于r>a的圓柱外,積分回路所包圍的電流為I,顯然圖3.2描述的是該無限長(zhǎng)直導(dǎo)線導(dǎo)體內(nèi)外磁場(chǎng)的分布情況。圖3.2直導(dǎo)體的磁場(chǎng)計(jì)算3.1.2位移電流及全電流安培環(huán)路定律變化的磁場(chǎng)產(chǎn)生電場(chǎng)，麥克斯韋在此基礎(chǔ)上提出了感應(yīng)電場(chǎng)（渦旋電場(chǎng)）的概念,那么變化的電場(chǎng)能否產(chǎn)生磁場(chǎng)呢？麥克斯韋發(fā)現(xiàn)了將恒定電流中的安培環(huán)路定律應(yīng)用于時(shí)變電磁場(chǎng)時(shí)的矛盾,提出了位移電流的假說，對(duì)安培環(huán)路定律進(jìn)行了修訂?，F(xiàn)在研究如圖3.3所示的包含有電容的交變電流電路。圖3.3非恒定電流下的安培環(huán)路定律將安培環(huán)路定律應(yīng)用于閉合曲線，顯然對(duì)于面有，而對(duì)于面，顯然兩式互相矛盾，直接原因是傳導(dǎo)電流不連續(xù)。說明在將電流恒定情況下的安培環(huán)路定律應(yīng)用到時(shí)變電流的情況時(shí)，必須加以修正。麥克斯韋深入研究了這一矛盾，提出了位移電流假說。他認(rèn)為在電容器的兩極板間存在著另一種電流，其量值與傳導(dǎo)電流i相等。因?yàn)閷?duì)于S1和S2構(gòu)成的閉合面，應(yīng)用電流連續(xù)性方程，有

=式中的q為極板上的電荷量。再應(yīng)用高斯定理

于這個(gè)閉合面，式（3.5）變?yōu)?/p>

其中麥克斯韋稱為位移電流密度，單位為A/m2。如果我們承認(rèn)S2上有位移電流流過，并考慮到S2的面元方向，則由式（3.6）可寫出這是消除了原安培環(huán)路定律的矛盾，即對(duì)上述兩個(gè)不同的面S1和S2，得到相同的積分結(jié)果。一般來說，空間可能同時(shí)存在真實(shí)電流和位移電流，則安培環(huán)路定律表示為式（3.9）稱為全電流安培環(huán)路定律的積分形式，其中的S是閉合路徑所包圍的一個(gè)曲面。它表明，磁場(chǎng)強(qiáng)度沿任意閉合曲面的線積分等于該路徑所包圍曲面上的全電流。應(yīng)用斯托克斯定理有，則式（3.9）可寫成

因?yàn)榛芈芳捌浒鼑拿娣eS是任意的，所以由式（3.10）可以得到式（3.11）是全電流安培環(huán)路定律的微分形式。它表明位移電流與傳導(dǎo)電流一樣都可產(chǎn)生時(shí)變磁場(chǎng)，進(jìn)一步說明了時(shí)變電場(chǎng)產(chǎn)生時(shí)變磁場(chǎng)。位移電流同傳導(dǎo)電流一樣，具有激發(fā)磁場(chǎng)這一物理本質(zhì)，但其它方面截然不同。真空中的位移電流僅對(duì)應(yīng)于電場(chǎng)變化，不伴有電荷運(yùn)動(dòng)，且不產(chǎn)生焦耳熱。在電介質(zhì)中雖會(huì)產(chǎn)生熱效應(yīng)，但與傳導(dǎo)電流通過導(dǎo)體產(chǎn)生的焦耳熱不同，它遵從完全不同的規(guī)律。【提示】在良導(dǎo)體中傳導(dǎo)電流占主導(dǎo)地位，位移電流可以忽略不記。3.2麥克斯韋方程組麥克斯韋集電磁學(xué)一系列實(shí)驗(yàn)定律之大成，總結(jié)出宏觀電磁場(chǎng)現(xiàn)象的客觀規(guī)律，即麥克斯韋方程組，奠定了經(jīng)典電磁場(chǎng)的理論基礎(chǔ)。麥可斯韋方程組有兩種基本形式，積分形式與微分形式，在時(shí)諧場(chǎng)中又以復(fù)數(shù)形式出現(xiàn)。3.2.1麥克斯韋方程組宏觀電磁現(xiàn)象的基本規(guī)律可以用麥克斯韋方程組高度概括。這一電磁場(chǎng)基本方程組的基本變量為4個(gè)場(chǎng)矢量（簡(jiǎn)稱場(chǎng)量）：電場(chǎng)強(qiáng)度、磁感應(yīng)強(qiáng)度、電位移矢量、和磁場(chǎng)強(qiáng)度，以及兩個(gè)源量：電流密度和電荷密度。在靜止媒質(zhì)