選修4-1幾何證明選講第1課時圓的進一步認識1.(2017·鎮(zhèn)江期末)如圖，已知AB是圓O的直徑，P是上半圓上的任意一點，PC是∠APB的平分線，點E是eq\o(AB,\s\up8(︵))的中點．求證：直線PC經(jīng)過點E.證明：連結(jié)AE，EB，OE，由題意知∠AOE＝∠BOE＝90°，因為∠APE是圓周角，∠AOE是同弧上的圓心角，所以∠APE＝eq\f(1,2)∠AOE＝45°.同理可得，∠BPE＝eq\f(1,2)∠BOE＝45°，所以PE是∠APB的平分線，又PC是∠APB的平分線，所以PC與PE重合，所以直線PC經(jīng)過點E.2.如圖，圓O的兩弦AB，CD交于點F，從F點引BC的平行線和直線AD交于P，再從P引這個圓的切線，切點是Q.求證：PF＝PQ.證明：因為A，B，C，D四點共圓，所以ADF＝ABC.因為PF∥BC，所以AFP＝ABC.所以AFP＝FDP.又因為APF＝FPD，所以△APF∽△FPD.所以eq\f(PF,PA)＝eq\f(PD,PF).所以PF2＝PA·PD.因為PQ與圓O相切，所以PQ2＝PA·PD.所以PF2＝PQ2.所以PF＝PQ.3.如圖，圓O與圓P相交于A，B兩點，點P在圓O上，圓O的弦BC切圓P于點B，CP及其延長線交圓P于D，E兩點，過點E作EF⊥CE交CB延長線于點F.若CD＝2，CB＝2eq\r(2)，求EF的長．解：連結(jié)PB，∵BC切圓P于點B，∴PB⊥BC.又CD＝2，CB＝2eq\r(2)，由切割線定理得CB2＝CD·CE，∴CE＝4，DE＝2，BP＝1.∵EF⊥CE，∴△CPB∽△CFE，∴eq\f(EF,PB)＝eq\f(CE,CB)，EF＝eq\r(2).4.如圖，AB，AC是圓O的切線，ADE是圓O的割線，求證：BE·CD＝BD·CE.證明：∵AB是圓O的切線，∴∠ABD＝∠AEB.∵∠BAD＝∠EAB，∴△BAD∽△EAB.∴eq\f(BD,BE)＝eq\f(AB,AE).同理eq\f(CD,CE)＝eq\f(AC,AE).∵AB，AC是圓O的切線，∴AB＝AC.∴eq\f(BD,BE)＝eq\f(CD,CE)，即BE·CD＝BD·CE.5.(2017·南通、泰州模擬)如圖，已知△ABC內(nèi)接于圓O，連結(jié)AO并延長交圓O于點D，∠ACB＝∠ADC.求證：AD·BC＝2AC·CD.證明：證明：連結(jié)OC.因為∠ACB＝∠ADC，∠ABC＝∠ADC，所以∠ACB＝∠ABC.因為OC＝OD，所以∠OCD＝∠ADC.所以∠ACB＝∠OCD.所以△ABC∽△ODC.所以eq\f(AC,OC)＝eq\f(BC,CD)，即AC·CD＝OC·BC.因為OC＝eq\f(1,2)AD，所以AD·BC＝2AC·CD.6.(2017·蘇北三市模擬)如圖，圓O的弦AB，MN交于點C，且點A為弧MN的中點，點D在弧BM上．若∠ACN＝3∠ADB，求∠ADB的大?。猓哼B結(jié)AN，DN.因為A為弧MN的中點，所以∠ANM＝∠ADN.而∠NAB＝∠NDB，所以∠ANM＋∠NAB＝∠ADN＋∠NDB，即∠BCN＝∠ADB.又∠ACN＝3∠ADB，所以∠ACN＋∠BCN＝3∠ADB＋∠ADB＝180°，故∠ADB＝45°.7.如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，以邊AC上的點O為圓心，OA為半徑作圓，與邊AB，AC分別交于點E，F(xiàn)，EC與圓O交于點D，連結(jié)AD并延長交BC于P.(1)求證：AE·AB＝AD·AP.(2)已知AE＝EB＝4，AD＝5，求AP的長．(1)證明：連結(jié)EF，則∠AEF＝90°.∵∠ACB＝90°，∴B，C，F(xiàn)，E四點共圓．則∠AFE＝∠B.∵∠ADE＝∠AFE，∴∠ADE＝∠B.∴B，P，D，E四點共圓．則AE·AB＝AD·AP.(2)解：∵AE＝EB＝4，AD＝5，∴AB＝8.由(1)AE·AB＝AD·AP，得AP＝eq\f(32,5).8.(2017·蘇錫常鎮(zhèn)二模)如圖，直線DE切圓O于點D，直線EO交圓O于A，B兩點，DC⊥OB于點C，且DE＝2BE，求證：2OC＝3BC.證明：連結(jié)OD，設(shè)圓的半徑為R，BE＝x，則OD＝R，DE＝2BE＝2x，在Rt△ODE中，∵DC⊥OB，∴OD2＝OC?OE，∴R2＝OC(R＋x)①.∵直線DE切圓O于點D，∴DE2＝BE?AE，∴4x2＝x(2R＋x)②，∴x＝eq\f(2R,3).代入①，解得OC＝eq\f(3R,5)，∴BC＝OB－OC＝eq\f(2R,5)，∴2OC＝3BC.9.如圖，已知AB為圓O的直徑，BC切圓O于點B，AC交圓O于點P，E為線段BC的中點．求證：OP⊥PE.證明：連結(jié)BP，∵AB是圓O的直徑，∴∠APB＝90°，∴∠BPC＝90°.在Rt△BPC中，∵E是邊BC的中點，∴BE＝EC，∴BE＝EP，∴∠1＝∠3.∵B，P為圓O上的點，∴OB＝OP，∴∠2＝∠4.∵BC切圓O于點B，∴∠ABC＝90°，即∠1＋∠2＝90°，從而∠3＋∠4＝90°，∴∠OPE＝90°.∴OP⊥PE.10.(2017·金陵中學質(zhì)檢)如圖，已知AB為圓O的直徑，C，F(xiàn)為圓O上的兩點，OC⊥AB，過點F作圓O的切線FD交AB的延長線于點D，連結(jié)CF交AB于點E.求證：DE2＝DA·DB.證明：連結(jié)OF.∵DF切圓O于F，∴∠OFD＝90°.∴∠OFC＋∠CFD＝90°.∵OC＝OF，∴∠OCF＝∠OFC.∵CO⊥AB于O，∴∠OCF＋∠CEO＝90°.∴∠CFD＝∠CEO＝∠DEF，∴DF＝DE.∵DF是圓O的切線，∴DF2＝DB·DA.∴DE2＝DB·DA.11.(2017·南通、泰州期末)已知圓O的直徑AB＝4，C為AO的中點，弦DE過點C且滿足CE＝2CD，求△OCE的面積．解：設(shè)CD＝x，則CE＝2x.因為CA＝1，CB＝3，由相交弦定理，得CA·CB＝CD·CE，所以1×3＝x·2x＝2x2，所以x＝eq\f(\r(6),2).取DE的中點H，連結(jié)OH，則OH⊥DE.因為OH2＝OE2－EH2＝4－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)x))eq\