生物學(xué)中的數(shù)學(xué)思維思

維8一、數(shù)學(xué)與生物學(xué)的關(guān)系

生物學(xué)和其他學(xué)科一樣，既需要多層次的研究，解決不同層次的問題，又需要在不同層級的研究中，合理應(yīng)用數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)的方法解決問題，其中數(shù)學(xué)方法的應(yīng)用非常重要，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型可以將生物學(xué)問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，就可以利用函數(shù)、概率論、統(tǒng)計學(xué)等工具更高效、透徹地理解生物學(xué)問題。二、解題思想1.概率論在遺傳學(xué)中的應(yīng)用 (1)獨立事件概率為1 ①數(shù)學(xué)原理：獨立事件S概率P(S)等于1。即P(S)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＋…＋P(An)＝1。②生物學(xué)應(yīng)用模型案例當(dāng)群體發(fā)生淘汰時，剩余集合的概率總和為1令A(yù)a自交，其后代的基因型和概率分別為AA＝1/4、Aa＝1/2、aa＝1/4，若淘汰aa，則AA和Aa的概率分別為1/3和2/3當(dāng)某一群體概率為P(A)時，剩余群體概率為1－P(A)令A(yù)aBb自交，其后代純合子的比例為1/4，則后代雜合子的比例為1－1/4＝3/4模型案例限定研究范圍時，在特定范圍內(nèi)分析概率已知某疾病的致病基因型為XbXb或XbY，一對夫妻的基因型分別為XBXb和XBY，后代可能出現(xiàn)XBXB、XBXb、XBY、XbY四種基因型且比例相等，均為1/4，其中基因型為XbY的個體是患者，所以其后代出現(xiàn)患病男孩的概率是所有后代中基因型為XbY的占比，為1/4；男孩中患病的概率為后代男孩(XBY、XbY)中XbY的占比，為1/2(2)互斥事件加法原理，獨立事件乘法原理①數(shù)學(xué)原理互斥事件A或B發(fā)生的概率等于兩者概率之和，即P(A∪B)＝P(A)＋P(B)。獨立事件A和B同時或先后發(fā)生的概率等于兩者概率之積，即P(A∩B)＝P(A)·P(B)。②生物學(xué)應(yīng)用模型案例同一個體不同基因型屬于互斥事件Aa自交后代中出現(xiàn)AA、Aa、aa三種基因型的個體的比例為1/4、1/2、1/4，出現(xiàn)AA和出現(xiàn)Aa是互斥事件，則后代中出現(xiàn)AA或Aa的概率＝1/4＋1/2＝3/4雌雄配子隨機結(jié)合屬于獨立事件Aa自交時，雄配子中A的概率為1/2，雌配子中A的概率為1/2，雄配子A和雌配子A的相遇屬于獨立事件、同時發(fā)生，應(yīng)彼此相乘，因此后代中基因型為AA的概率為1/2×1/2＝1/4模型案例多對等位基因自由組合屬于獨立事件AaBb自交后代中，只考慮A/a，Aa占后代的1/2，只考慮B/b，Bb占后代的1/2(A/a、B/b獨立遺傳)，則后代出現(xiàn)Aa和出現(xiàn)Bb是獨立事件，則后代為AaBb的概率為1/2×1/2＝1/4嵌套條件的概率為獨立事件已知一個群體中AA和Aa的比例為1∶2，求群體自交后代中Aa的概率，由于親代Aa的概率為2/3，其后代為Aa的概率為1/2，這兩個事件為獨立事件，互不干擾，需要概率相乘，因此后代基因型為Aa的概率＝2/3×1/2＝1/3[思維示例①]

(2024·山東濰坊測試)我國科學(xué)家團隊在農(nóng)作物育種方面做出了突出貢獻。某二倍體農(nóng)作物是雌雄同花植物，可自花傳粉，也可異花傳粉，花的位置和花的顏色遺傳符合自由組合定律。研究者利用純系品種頂生紫花與腋生藍花植株進行了雜交實驗，F(xiàn)1植株全部表現(xiàn)為腋生紫花，讓F1植株自交，產(chǎn)生的F2植株中腋生紫花∶腋生藍花∶頂生紫花∶頂生藍花＝39∶9∶13∶3。下列敘述錯誤的是(

)A.由實驗結(jié)果可推測該農(nóng)作物花的顏色受3對等位基因控制B.在F2頂生紫花植株中基因型有7種，其中雜合子有4種C.F1植株自交所得F2中，每對基因均雜合的個體所占比例為1/8D.F2中的紫花植株隨機傳粉，則后代中藍花植株所占比例為16/169AF1自交產(chǎn)生的F2中紫花∶藍花＝13∶3，13∶3可看作是9∶3∶3∶1的變式，則花的顏色至少由2對等位基因控制，且根據(jù)題干“花的位置和花的顏色遺傳符合自由組合定律”可知，3對等位基因是獨立事件，使用乘法原理進行計算。

解析只研究花的顏色，親本紫花和藍花雜交，F(xiàn)1全部是紫花，F(xiàn)1自交，F(xiàn)2中紫花∶藍花＝13∶3，13∶3可看作是9∶3∶3∶1的變式，則花的顏色至少由2對等位基因控制，A錯誤；只研究花的位置，親本頂生和腋生雜交，F(xiàn)1全部是腋生，F(xiàn)1自交，F(xiàn)2中腋生∶頂生＝3∶1，則腋生是顯性性狀、頂生是隱性性狀。假設(shè)該性狀由D/d基因控制，花的顏色由A/a、B/b基因控制，則F2中頂生紫花的基因型有ddA_B_、ddA_bb(或ddaaB_)、ddaabb，共有7種，其中雜合子有4種，B正確；F1植株的基因型為AaBbDd，F(xiàn)1植株自交所得F2中，每對基因均雜合的個體所占比例為1/2×1/2×1/2＝1/8，C正確；F2中的紫花植株隨機傳粉，只研究花的顏色，則親本有1/13AABB、2/13AABb、2/13AaBB、4/13AaBb、1/13AAbb(或1/13aaBB)、2/13Aabb(或2/13aaBb)、1/13aabb，隨機傳粉其產(chǎn)生的配子的基因型及比例有4/13AB、4/13Ab、2/13aB、3/13ab(或4/13AB、4/13aB、2/13Ab、3/13ab)，藍花所占比例是(2/13)×(2/13)＋(3/13)×(2/13)×2＝16/169，D正確。[思維示例②]

(2024·河南名校聯(lián)盟)人群中某常染色體顯性遺傳病的發(fā)病率為36%，一對夫婦中妻子患病，丈夫正常，他們所生的子女患該病的概率是(

) A.5/9 B.4/9 C.3/5 D.4/5A設(shè)該遺傳病由A、a基因控制，顯性遺傳病基因型為AA和Aa，所占比例是36%，則aa所占比例為64%(所有基因型概率總和為1)。子代患病的概率為互斥事件，發(fā)生的概率等于出現(xiàn)AA和Aa兩種基因型的概率之和。

解析由“名師支招”可知，aa所占比例為64%，則根據(jù)遺傳平衡定律可得，a基因頻率為0.8，A基因頻率為0.2。丈夫正常，基因型為aa，妻子患病，有2種可能基因型AA和Aa，這兩種基因型的比例為(0.2×0.2)∶(2×0.2×0.8)＝1∶8，故妻子基因型為AA的概率＝1/9，為Aa的概率＝8/9，子女患該病的概率＝1/9＋1/2×8/9＝5/9，A正確。2.統(tǒng)計學(xué)在調(diào)查問題中的應(yīng)用[思維示例③]

(2022·山東卷，12)根據(jù)所捕獲動物占該種群總數(shù)的比例可估算種群數(shù)量。若在某封閉魚塘中捕獲了1000條魚售賣，第2天用相同方法捕獲了950條魚。假設(shè)魚始終保持均勻分布，則該魚塘中魚的初始數(shù)量約為(

) A.2×104條

B.4×104條 C.6×104條

D.8×104條

解析由題“根據(jù)所捕獲動物占該種群總數(shù)的比例可估算種群數(shù)量”，假設(shè)該種群總數(shù)為x，則有1000/x＝950/(x－1000)，計算得出x＝2×104，即該魚塘中魚的初始數(shù)量為2×104條，A正確。A3.數(shù)列在配子種類計算中的應(yīng)用 (1)在連續(xù)自交和自由交配中的應(yīng)用類型有關(guān)比例Aa連續(xù)自交后代的基因型比例AA∶Aa∶aa＝(2n－1)∶2∶(2n－1)Aa連續(xù)自交并淘汰aa后的基因型比例AA∶Aa＝(2n－1)∶2Aa連續(xù)自由交配后代的基因型比例AA∶Aa∶aa＝1∶2∶1Aa連續(xù)自由交配并淘汰aa后的基因型比例AA∶Aa＝n∶2注：n代表代數(shù)。[思維示例④]

(2024·江西九校聯(lián)考)果蠅(2n＝8)缺失一條點狀染色體的個體稱為單體，可以存活，而且能夠繁殖后代；若兩條點狀染色體均缺失則不能存活；增加一條點狀染色體的個體稱為三體，仍可以存活，而且能夠繁殖后代。若讓單體雄果蠅(基因型為a)和三體雌果蠅(基因型為Aaa)相互交配，下列對子代基因型和表型及其比例的分析，正確的是(

)A.子代中三體所占的比例為1/4B.子代正常果蠅中基因型為Aa的個體所占的比例為2/3C.子代中單體果蠅的基因型有兩種且所占比例相同D.子代中致死個體所占的比例為1/12A4.導(dǎo)數(shù)在速率問題中的應(yīng)用

函數(shù)在某一點的導(dǎo)數(shù)是指這個函數(shù)在這一點處的變化率。當(dāng)函數(shù)定義域和取值都在實數(shù)域的時候，導(dǎo)數(shù)可以表示函數(shù)的曲線上的切線斜率。生物學(xué)中常常借用基本的導(dǎo)數(shù)來分析某一研究對象的“變化量”和“變化率”的關(guān)系，以增加理解深度。[思維示例⑤]

(2024·湖南長沙期末)將A、B兩種物質(zhì)混合，T1時加入酶C。如圖為最適溫度下A、B濃度的變化曲線。下列敘述錯誤的是(

)CA.酶C降低了A生成B這一反應(yīng)的活化能B.該體系中酶促反應(yīng)速率先快后慢C.T2后B增加緩慢是酶活性降低導(dǎo)致的D.適當(dāng)降低反應(yīng)溫度，T2值增大分析曲線圖：將A、B兩種物質(zhì)混合，T1時加入酶C，加入酶C后，A濃度逐漸降低，B濃度逐漸升高，說明酶C催化物質(zhì)A生成了物質(zhì)B