專項(xiàng)素養(yǎng)綜合練(一)三角形全等的四種常見類型類型一四邊形中構(gòu)造全等三角形1.如圖,在四邊形ABCD中,CB⊥AB于點(diǎn)B,CD⊥AD于點(diǎn)D,

點(diǎn)E,F分別在AB,AD上,AE=AF,CE=CF.(1)若AE=8,CD=6,求四邊形AECF的面積.(2)猜想∠DAB,∠ECF,∠DFC三者之間的數(shù)量關(guān)系,并證明

你的猜想.解析

(1)如圖,連接AC,

在△ACE和△ACF中,

∴△ACE≌△ACF(SSS),∴S△ACE=S△ACF,∠FAC=∠EAC.易證△ACD≌△ACB,∴CB=CD=6,∴S△ACF=S△ACE=

AE·CB=

×8×6=24,∴S四邊形AECF=S△ACF+S△ACE=24+24=48.(2)∠DAB+∠ECF=2∠DFC.證明:∵△ACE≌△ACF,∴∠FCA=∠ECA,∠FAC=∠EAC,∠AFC=∠AEC.∵∠DFC與∠AFC互補(bǔ),∠BEC與∠AEC互補(bǔ),∴∠DFC=∠BEC.∵∠AFC+∠DFC=∠FAC+∠FCA+∠AFC,∠BEC+∠AEC=

∠EAC+∠ECA+∠AEC,∴∠DFC=∠FCA+∠FAC,∠BEC=∠ECA+∠EAC,∴∠DFC+∠BEC=∠FCA+∠FAC+∠ECA+∠EAC=∠DAB+∠ECF,∴∠DAB+∠ECF=2∠DFC.類型二一線三等角模型2.(1)如圖,∠ACB=90°,AC=BC,BE⊥MN,AD⊥MN,垂足分別

為E、D.圖中哪條線段與AD相等?并說(shuō)明理由.(2)在(1)的情況下,線段DE、AD、BE具有怎樣的數(shù)量關(guān)系?

請(qǐng)寫出來(lái),并說(shuō)明理由.解析

(1)EC=AD.理由如下:∵AD⊥MN,BE⊥MN,∴∠ADC=∠BEC=90°,∴∠DAC+∠ACD=90°,∵∠ACB=90°,∴∠ACD+∠BCE=90°,∴∠DAC=∠ECB,∵∠ADC=∠CEB,AC=CB,∴△ADC≌△CEB,∴AD=EC.(2)DE+BE=AD.理由如下:由(1)得△ADC≌△CEB,∴AD=EC,CD=EB,∴CE=CD+DE=BE+DE=AD,即DE+BE=AD.3.【探究】如圖①,點(diǎn)B、C在∠MAN的邊AM、AN上,點(diǎn)E、F

在∠MAN內(nèi)部的射線AD上.若AB=AC,∠1=∠2=∠BAC,求證:

△ABE≌△CAF.【應(yīng)用】如圖②,在等腰三角形ABC中,AB=AC,AB>BC,點(diǎn)D

在邊BC上,CD=2BD,點(diǎn)E、F在線段AD上,∠1=∠2=∠BAC,

若△ABC的面積為9,則△ABE與△CDF的面積之和為

.解析【探究】證明:∵∠1+∠AEB=∠EAB+∠EBA+∠AEB,∴∠1=∠BAE+∠ABE,∵∠BAC=∠CAF+∠BAE,∠BAC=∠1,∴∠ABE=∠CAF,∵∠1=∠2,∴∠AEB=∠CFA,在△ABE和△CAF中,

∴△ABE≌△CAF(AAS).【應(yīng)用】易證△ABE≌△CAF,∴S△ABE=S△CAF,∴S△ABE+S△CDF=S△CAF+S△CDF=S△ACD,∵CD=2BD,△ABC的面積為9,∴S△ACD=

S△ABC=6,∴△ABE與△CDF的面積之和為6.4.(2023江蘇南京秦淮外國(guó)語(yǔ)學(xué)校月考)在△ABC中,AB=AC,

D,A,E三點(diǎn)都在直線m上,且DE=9cm,∠BDA=∠AEC=∠

BAC.(1)如圖①,若AB⊥AC,則BD與AE的數(shù)量關(guān)系為

,CE

與AD的數(shù)量關(guān)系為

.(2)如圖②,判斷并說(shuō)明線段BD,CE與DE的數(shù)量關(guān)系.(3)如圖③,若只保持D,A,E三點(diǎn)在直線m上,∠BDA=∠AEC,

DE=9cm,增加條件:BD=EF=7cm,點(diǎn)A在線段DE上以2cm/s

的速度由點(diǎn)D向點(diǎn)E運(yùn)動(dòng),同時(shí),點(diǎn)C在線段EF上以xcm/s的速度由點(diǎn)E向點(diǎn)F運(yùn)動(dòng),它們運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為ts.是否存在某一時(shí)

刻,使△ABD與△EAC全等?若存在,求出相應(yīng)的t和x的值;若

不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

圖①

圖②

圖③

解析

(1)∵∠BDA=∠BAC,∴180°-∠BDA=180°-∠BAC,∴∠BAD+∠ABD=∠BAD+∠CAE,∴∠ABD=∠CAE,又∵∠BDA=∠AEC,BA=AC,∴△ABD≌△CAE(AAS),∴BD=AE,CE=AD.故答案為BD=AE;CE=AD.(2)DE=BD+CE.理由:易證△ABD≌△CAE(AAS),∴BD=AE,CE=AD,∴DE=AE+AD=BD+CE.(3)存在.當(dāng)△DAB≌△ECA時(shí),AD=CE=2tcm,BD=AE=7cm,∵DE=9cm,∴2t+7=9,∴t=1,此時(shí)CE=2cm,∴x=2.當(dāng)△DAB≌△EAC時(shí),AD=AE=4.5cm,DB=EC=7cm,∴t=

=

,x=7÷

=

.綜上,當(dāng)△ABD與△EAC全等時(shí),t=1,x=2或t=

,x=

.類型三倍長(zhǎng)中線模型5.如圖,BD是△ABC的中線,AB=10,BC=6,求中線BD的取值范

圍.

解析如圖,延長(zhǎng)BD至E,使DE=BD,連接CE,∵BD是△ABC的中線,∴AD=DC,在△ABD和△CED中,

∴△ABD≌△CED(SAS),∴EC=AB=10,在△BCE中,CE-BC<BE<CE+BC,即10-6<BE<10+6,∴4<BE<16,∴4<2BD<16,∴2<BD<8.類型四手拉手模型6.如圖,AB=AC,AE=AD,∠CAB=∠EAD.(1)求證:△AEC≌△ADB.(2)若∠CAB=∠EAD=90°,試判斷BD與CE的數(shù)量及位置關(guān)系

并證明.

解析

(1)證明:∵∠CAB=∠EAD,∴∠CAB+∠BAE=∠EAD+∠BAE,∴∠CAE=∠BAD,在△AEC和△ADB中,

∴△AEC≌△ADB(SAS).(2)CE=BD且CE⊥BD.證明:如圖,將直線CE與AB的交點(diǎn)記為O,由(1)可知△AEC≌△ADB,∴CE=BD,∠ACE=∠ABD,∵∠BOF=∠AOC,∠CAB=90°,∴∠BFO=90°,∴CE⊥BD.

7.問(wèn)題發(fā)現(xiàn):如圖①,已知C為線段AB上一點(diǎn),分別以線段AC,

BC為直角邊作等腰直角三角形,∠ACD=90°,CA=CD,CB=CE,

連接AE,BD,線段AE,BD之間的數(shù)量關(guān)系為

,位置關(guān)

系為

.拓展探究:如圖②,把Rt△ACD繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),線段AE,BD

交于點(diǎn)F,則AE與BD之間的關(guān)系是否仍然成立?請(qǐng)說(shuō)明理由.解析問(wèn)題發(fā)現(xiàn):如圖,延長(zhǎng)BD,交AE于點(diǎn)F,

易知∠ACE=∠DCB=90°,∵CA=CD,CB=CE,∴△ACE≌△DCB(SAS),∴AE=BD,∠CAE=∠CDB,∵∠CDB+∠CBD=90°,∴∠CAE+∠CBD=90°,∴∠AFD=90°,∴AF⊥FB,∴AE⊥BD.故答案為AE=BD;AE⊥BD.拓展探究:成立.理由如下:如圖,設(shè)CE與BD相交于