2024年高考數(shù)學(xué)備戰(zhàn)交集和并集知識(shí)點(diǎn)解析

并集

已知下列集合：

力=3/-1=0},6={無￡N|lWxW4},C={-1,1

問題1：集合人與集合力各有幾個(gè)元素？

提示：力={-1,1},笈={1,2,3,4},即集合/有2個(gè)元

B有4個(gè)元素.

問題2：若將集合Z與集合方的元素放在一起，構(gòu)J

的集合是什么？

提示：{—1,12,3,4}.

問題3：集合C中的元素與集合4方有什么關(guān)系？

提示：集合C中元素屬于集合力或?qū)儆诩鲜?/p>

并集的概念:

一般地，由所有屬于集合/或?qū)儆诩象舤

文字

成的集合，稱為集合力與乃的并集，記作出

語言

“研夕')

符號(hào)

，負(fù)噌｝

.、?一AU6=fx|xGZG

五3S

圖形

、：JCT—一

語三

并集的性質(zhì):

(iyun="Ji,即兩個(gè)集合的并集滿足交換律.

(2)ZLU=d，即任何集合與其本身的并集等于這個(gè)唉

(3)ZU。=。LU=且任何集合與空集的并集等于這個(gè)嗦

(4)/mu?,即任何集合都是該集合

合并集的子集.

(5)若4旦5,則/U5=互，反之也成立，即任何集合

的并集，等于這個(gè)集合本身.

疑難解析：

理解并集應(yīng)關(guān)注三點(diǎn)

(1)/U6仍是一個(gè)集合，由所有屬于力或?qū)儆?的R

⑵“或”的數(shù)學(xué)內(nèi)涵的形象圖示如下：

4日,或，￡8

①②③

且與任〃且%且4cA

(3)若集合力和6中有公共元素，根據(jù)集合元素的工

在中僅出現(xiàn)一次.

交集

(取G"8G即兩個(gè)集合的交集滿足交換春

(2)力02=即任何集合與其本身的交集等于

本身.

(3)4G0=0門力=上，即任何集合與空集的交集名

(4)力門8三/,力門56，即兩個(gè)集合的交集是手

合的子集.

(5)若則/nj5=4,反之也成立，即若/

集，則力，B的公共部分是4

疑難解析

理解交集的概念應(yīng)關(guān)注四點(diǎn)

(1)概念中"且"即"同時(shí)"的意思，兩個(gè)集合交集中的元素必須同時(shí)

是兩個(gè)集合的元素.

(2)概念中的"所有"兩字不能省，否則將會(huì)漏掉一些元素，一定要將

相同元素全部找出.

(3)當(dāng)集合/和集合8無公共元素時(shí)，不能說集合4,8沒有交集,而

是AC\8=0.

(4)定義中，且B"與"x￡(/n8)”是等價(jià)的，即由既屬于力，

又屬于8的元素組成的集合為/ns而只屬于集合/或只屬于集合B

的元素，不屬于AC\B.

并集的運(yùn)算

[例1]

(1)(廣東高考)已知集合M={-1,0,1},/V=(0,1,2},則A4U/V=()

A.{-1,0,1)

B.{-1,0,1,21

C.{-1,0,2)

D.{011}

(2)若集合A={x\x>-1}.B={x\-2<x<2},則ZU8等于()

A.{x\x>-2}

B.{x\x>-1}

C.{x\-2<x<-1]

D.{x[T<x<2}

［解析］

(l)MUN表示屬于M或?qū)儆贜的元素構(gòu)成的集合，故MUN={-

101,2}.

(2)畫出數(shù)軸如圖所示，故AUB={x|x>-2}.

BJ不

-2-12%

［答案］(1)B(2)A

并集的運(yùn)算技巧

(1)若集合中元素個(gè)數(shù)有限，則直接根據(jù)并集的定義求解，但要注意集

合中元素的互異性.

(2)若集合中元素個(gè)數(shù)無限，可借助數(shù)軸，利用數(shù)軸分析法求解，但要

注意是否去掉端點(diǎn)值.

練習(xí)：

若集合A二{1,4,x},B={1,x2},AUB={1,4,x},則滿足條件的實(shí)

數(shù)乂有()

A.1個(gè)

B.2個(gè)

C.3個(gè)

D.4個(gè)

解析：從AUB={1,4,X}看它與集合A,B元素之間的關(guān)系，可以發(fā)

現(xiàn)AUB=A，從而B是A的子集，則x2=4或x2=x,解得x=±2或

1或0.當(dāng)x=±2時(shí)，符合題意；當(dāng)x=1時(shí)，與集合元素的互異性相矛

盾(舍去)；當(dāng)x=0時(shí)，符合題意.因此x=±2或0.

答案：C

交集的運(yùn)算

[例2](1)(北京高考)已知集合A={-1,0,1},B={x|-l<x<1}，則A

nB=()

A.{0}

B.{-1,0}

C.{0,1}

D.{-1,0,1)

(2)設(shè)集合A={x|-l<x<2},B={x|0<x<4},則AAB等于()

A.{x|0<x<2}

B.{x|l<x<2}

C.{x|0<x<4}

D.{x|l<x<4}

［解析］⑴集合片含有整數(shù)一1,0,

(2)在數(shù)軸上表示出集合力與如下圖.

則由交集的定義，/n6={x|0〈xW2}.

［答案］(1)B(2)A

交集的運(yùn)算技巧

求交集運(yùn)算應(yīng)關(guān)注兩點(diǎn)：

(1)求交集就是求兩集合的所有公共元素形成的集合.

(2)利用集合的并、交求參數(shù)的值時(shí)，要檢驗(yàn)集合元素的互異性.

交集、并集性質(zhì)的應(yīng)用

［例3］已知集合力={x\—3"W4},集合6={x|A+1：

1},且/U5=/,試求A的取值范圍.

［解］；4U4=力，二分5二0和5W。兩手

①當(dāng)5=0時(shí)，A+1>2A-1,：.k<2.

②當(dāng)5W。，則根據(jù)題意如圖所示：

,II-

-34+12k~14x

A+1W2JI-L

根據(jù)數(shù)軸可得一34+1,解得24，

2A—1W4,

綜合①②可得k的取值范圍是卜必w|}.

性質(zhì)應(yīng)用技巧

并集、交集的性質(zhì)應(yīng)用技巧：

對于涉及集合運(yùn)算的問題，可利用集合運(yùn)算的等價(jià)性（即若AUB=A,

則BcA,反之也成立；若AC1B=B,則BcA,反之也成立），轉(zhuǎn)化為相

關(guān)集合之間的關(guān)系求解.

把本例中的條件aAUB=A^換為aAC\B=A^,求

解：9

：AHB=A9:.AQB.

又???力=國一34W4},6二{M〃+lWxW2〃一1},可知

R+1&—3,

由數(shù)軸（如圖所示）可知2攵_1三%解得左

A+1-3424-14

即當(dāng)力nB=z時(shí)，大的取值范圍為。.

本節(jié)易錯(cuò)題：

預(yù)警：含字母的集合運(yùn)算忽視空集或檢驗(yàn)

［典例］

(1)已知M={2,a2-3a+5,5},N={1,a2-6a+10,3}^MAN={2,3},

則a的值是()

A.1或2

B.2或4

C.2

D.1

(2)已知集合A二{x|x2-3x+2=0},B={x|x2-2x+a-1=0},若AD

B=B,則a的取值范圍為________.

［解析］

(l)-.-MnN={2,3}/.a2-3a+5=3;a=1或2.當(dāng)a=1時(shí)，N={1,5,3},

M={2,3,5}不合題意；當(dāng)a=2時(shí)，N={L2,3},M={2,3,5}符合題意.

(2)由題意,得A={1,2}.-.AnB=B,

.?.當(dāng)B=。時(shí)，(-2)2-4(a-1)<0,解得a>2;

當(dāng)1￡B時(shí)，1-2+a-1=0,解得3=2,且此時(shí)8二{1},符合題意；

當(dāng)2￡8時(shí)，4?4+合-1=0，解得a=1，此時(shí)B:{0,2},不合題意.綜

上所述，a的取值范圍是{a|aN2}.

［答案］(1)C(2){a|a>2)

設(shè)集合必二區(qū)一2?v5},N={x\2-?x<2t^l9，WR}.

=N,則實(shí)數(shù)，的取值范圍為.

解析：由MGN=N,得.故當(dāng)N=。，即2/+1W2-

時(shí)，MAN=N成立；當(dāng)N#。時(shí)，由圖得

V,、、

-6?b△8?

-22-t2:+15”

2—r<2r+L

<2f+l<5