6.2.1排列

1.分類加法計數(shù)原理：一般地，如果完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法，那么完成這件事共有N=

種不同的方法.一般地，如果完成一件事有n類不同方案，在第1類方案中有m1種不同的方法，在第2類方案中有m2種不同的方法，

??????在第n類方案中有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N=

種不同的方法.復習引入2.分步乘法計數(shù)原理：一般地，完成一件事需要兩個步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有N=

種不同的方法.一般地，如果完成一件事需要n個步驟，做第1步有m1種不同的方法，做第2步有m2種不同的方法，??????，做第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N=

種不同的方法.問題1:從甲、乙、丙3名同學中選出2名參加一項活動，其中1名同學參加上午的活動，另1名同學參加下午的活動，有幾種不同的選法？探究:排列思考：1.“要完成的一件事”是什么？2.如何完成？要完成的一件事情是“選出2名同學參加活動,1名參加上午的活動,另1名參加下午的活動”,可以分步完成.第1步：確定參加上午活動的同學，從3人中任選1名，有3種選法.第2步：確定參加下午活動的同學，當參加上午活動的同學確定后，參加下午活動的同學只能從剩下的2人中去選，有2種選法.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，不同的選法種數(shù)為N=3×2=6種.下午相應的選法上午甲丙乙甲乙甲丙乙甲乙丙丙甲丙乙乙丙甲丙甲乙如果把上面問題中被取出的對象叫做元素,那么問題就可敘述為：從3個不同的元素a,b,c中任意取出2個，并按照一定的順序排成一列，共有多少種不同的排列方法？ab,ac,ba,bc,ca,cb3×2=6.abcbaccba問題1:從甲、乙、丙3名同學中選出2名參加一項活動，其中1名同學參加上午的活動，另1名同學參加下午的活動，有幾種不同的選法？所有不同排列是不同的排列方法種數(shù)為問題2：

從1,

2,3,4這4個數(shù)字中，每次取出3個排成一個三位數(shù)，共可得到多少個不同的三位數(shù)?思考：1.“要完成的一件事”是什么？2.如何完成？要完成的一件事情是“從4個數(shù)字中，每次取出3個排成一個三位數(shù)”,可以分步完成.第1步：確定百位上的數(shù)字,從1,2,3,4這4個數(shù)字中任取1個，有4種方法；第2步：確定十位上的數(shù)字,當百位上的數(shù)字確定后,十位上的數(shù)字只能從余下的3個數(shù)字中去取,有3種方法；第3步：確定個位上的數(shù)字,當百位、十位上的數(shù)字確定后,個位的數(shù)字只能從余下的2個數(shù)字中去取,有2種方法.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，不同的選法種數(shù)為N=4×3×2=24４種３種２種問題2：從1,

2,3,4這4個數(shù)字中，每次取出3個排成一個三位數(shù)，共可得到多少個不同的三位數(shù)?百位：十位：個位：樹狀圖如下圖所示：由此可寫出所有的三位數(shù)：123,124,132,134,142,143;213,214,231,234,241,243;312,314,321,324,341,342;412,413,421,423,431,432.如果把上面問題中被取出的對象叫做元素,那么個問題可敘述為：從4個不同的元素a,b,c,d中任意取出3個，并按照一定的順序排成一列，共有多少種不同的排列方法？4×3×2=24.abcdcdbdcbbacdcdadcacabdbdadbadabcbcacbaabc,abd,acb,acd,adb,adc;bac,bad,bca,bcd,bda,bdc;cab,cad,cba,cbd,cda,cdb;dab,dac,dba,dbc,dca,dcb.問題2：從1,

2,3,4這4個數(shù)字中，每次取出3個排成一個三位數(shù)，共可得到多少個不同的三位數(shù)?所有不同排列是不同的排列方法種數(shù)為思考：上述問題1，問題2的共同特點是什么？你能將它們推廣到一般情形嗎？實質是:從3個不同的元素中,任取2個,按一定的順序排成一列,有哪些不同的排法.實質是:從4個不同的元素中,任取3個,按照一定的順序排成一列,寫出所有不同的排法.問題1：從甲、乙、丙3名同學中選出2名參加一項活動，其中1名同學參加上午的活動，另1名同學參加下午的活動，有多少種不同的選法？問題2：從1，2，3，4這4個數(shù)字中，每次取出3個排成一個三位數(shù)，共可得到多少個不同的三位數(shù)？問題1和問題2都是研究從一些不同元素中取出部分元素，并按照一定的順序排成一列的方法數(shù).我們把這種計數(shù)方法稱為排列.一般地，從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素，并按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列(arrangement).排列的定義：排列的定義中包含兩個基本內容：一是“取出元素”；二是“按照一定順序排成一列”．“一定順序”就是與位置有關，這也是判斷一個問題是不是排列問題的重要標志．

根據(jù)排列的定義，兩個排列相同，當且僅當這兩個排列的元素完全相同，而且元素的排列順序也完全相同．歸納總結練習（1）首先要保證元素無重復性，即從n個不同元素中，取出m

(m≤n)個不同的元素，否則不是排列問題.（2）要保證元素的有序性，即安排這m個元素時是有序的，有序就是排列，無序則不是排列.

而檢驗它是否有序的依據(jù)就是變換元素的位置，看結果是否發(fā)生變化，有變化是有序，無變化就是無序.排列問題的判斷方法：反思歸納2.寫出:(1)用0~4這5個自然數(shù)組成的沒有重復數(shù)字的全部兩位數(shù)；(2)從a，b，c，d中取出2個字母的所有排列.解：(1)10121314202123243031323440414243共16個.(2)abacadbabcbdcacbcddadbdc共12個.課本P16例1：某省中學生足球賽預選賽每組有6支隊，每支隊都要與同組的其他各隊在主、客場分別比賽1場，那么每組共進行多少場比賽?分析:每組任意2支隊之間進行的1場比賽，可以看作是從該組6支隊中選取2支，按“主隊、客隊”的順序排成的一個排列.解：可以先從這6支隊中選1支為主隊，然后從剩下的5支隊中選1支為客隊.按分步乘法計數(shù)原理，每組進行的比賽場數(shù)為

6×5＝30.例題課本P16例2：(1)一張餐桌上有5盤不同的菜，甲、乙、丙3名同學每人從中各取1盤菜，共有多少種不同的取法?(2)學校食堂的一個窗口共賣5種菜，甲、乙、丙3名同學每人從中選一種，共有多少種不同的選法?例題分析：3名同學每人從5盤不同的菜中取1盤菜；可看作是從這5盤菜中任取3盤，放在3個位置（給3名同學）的一個排列；而3名同學每人從食堂窗口的5種菜中選1種，每人都有5種選法，不能看成一個排列.課本P16解：(1)可以先從這5盤菜中取1盤給同學甲，然后從剩下的4盤菜中取1盤給同學乙，最后從剩下的3盤菜中取1盤給同學丙.按分步乘法計數(shù)原理，不同的取法種數(shù)為5×4×3＝60.(2)可以先讓同學甲從5種菜中選1種，有5種選法；再讓同學乙從5種菜中選1種，也有5種選法；最后讓同學丙從5種菜中選1種，同樣有5種選法.按分步乘法計數(shù)原理，不同的選法種數(shù)為5×5×5＝125.

例2：(1)一張餐桌上有5盤不同的菜，甲、乙、丙3名同學每人從中各取1盤菜，共有多少種不同的取法?(2)學校食堂的一個窗口共賣5種菜，甲、乙、丙3名同學每人從中選一種，共有多少種不同的選法?課本P16練習說明：排列的簡單計算：樹狀圖分析、列舉、分步乘法計數(shù)原理.2.(1)有7本不同的書，從中選3本送給3名同學，每人各1本，共有多少種不同的送法？(2)有7種不同的書，要買3本送給3名同學，每人各1本，共有多少種不同的送法？解：(1)從7本不同的書中選3本送給3名同學，相當于從7個不同元素中任取3個元素的一個排列，所以共有7×6×5＝210(種)不同的送法.(2)從7種不同的書中買3本書，這3本書并不要求都不相同，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理知，共有7×7×7＝343(種)不同的送法.隨堂檢測2.滬寧高鐵線上有六個大站：上海、蘇州、無錫、常州、鎮(zhèn)江、南京，鐵路部門應為滬寧線上的六個大站(這六個大站之間)準備不同的火車票的種數(shù)為（

）A.15 B.30

C.12 D.36解析：對于兩個大站A和B，從A到B的火車票與從B到A的火車票不同，因為每張車票對應一個起點站和一個終點站，因此，每張火車票對應從6個不同元素(大站)中取出2個不同元素(起點站和終點站)的一種排列，故不同的火車票有6×5＝30(種).3.考生甲填報某高校專業(yè)意向，打算從5個專業(yè)中挑選3個，分別作為第一，第二，第三志愿，則總共有________種不同的填法.解析：從5個專業(yè)中挑選3個，分別作為第一，第二，第三志愿，這是個排列問題.所以總共的填法有5×4×3＝60(種).4.有4名大學生可以到5家單位實習，若每家單位至多招1名實習生，每名大學生至多到1家單位實習，且這4名大學生全部被分配完畢，共有多少種分配方案？解：可以理解為從5家單位中選出4家單位，分別把4名大學生安排到4家單位，共有5×4×3×2＝120種分配方案.5.從0,1,2,3這四個數(shù)字中，每次取出三個不同的數(shù)字排成一個三位數(shù)．(1)能組成多少個不同的三位數(shù)？并寫出這些三位數(shù)；(2)若組成這些三位數(shù)中，1不能在百位，2不能在十位，3不能在個位，則這樣的三位數(shù)共有多少個？并寫出這些三位數(shù)．解：(1)組成三位數(shù)分三個步驟：第一步：選百位上的數(shù)字，0不能排在首位，故有3種不同的排法；第二步：選十位上的數(shù)字，有3種不同的排法；第三步：選個位上的數(shù)字，有2種不同的排法．由分步乘法計數(shù)原理得共有3×3×2＝18個不同的三位數(shù)．畫出右面的樹狀圖：由樹狀圖知，所有的三位數(shù)為102，103，120，123，130，132，201，203，210，213，230，231，301，302，310，312，320，321.由樹狀圖知，符合條件的三位數(shù)有8個：201,210,230,231,301,302,310,312.(2)直接畫出樹狀圖：課堂小結一般地，從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素，并按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列(arrangement).1.排列的定義：2.排列問題的判斷方法：(1)元素的無重復性；(2)元素的有序性.判斷關鍵是看選出的元素有沒有順序要求.課外作業(yè)2.一位老師要給4個班輪流做講座，每個班講1場，有多少種輪流次序?解：第一場講座可以從4個班中任選1個，有4種選法；第二場講座從剩下的3個班中任選1個，有3種選法；第3場講座可從剩下的2個班中任選1個，有2種選法；最后一場再給最后1個班進行講座，所以共有4×3×2×1＝24種輪流次序．課本P173.學校乒乓團體比賽采用5場3勝制