5.1.2弧度制角度制

把圓周等分成360份，稱其中每一份所對的圓心角為1度，這種用度作單位來度量角的制度稱為角度制，角度制還規(guī)定1度等于60分，1分等于60秒．溫故知新∠A30o45o60o…sinA…正弦三角函數(shù)溫故知新

如圖是一種折疊扇，折疊扇打開、合攏的過程可以抽象成扇形圓心角的變大、變小，那么在這個過程中，扇形的什么量在發(fā)生變化？這些變化的量之間存在何種關(guān)系呢？由此你能想到度量角的其他方法嗎？探究新知

如圖，半徑為

r

的圓的圓心與原點重合，角α的始邊與x軸的非負半軸重合，交圓于點

A，終邊與圓交于點

B.圓心角α所對的

的長為l

.問題1：如果α=1o，

l

等于多少？

，是個定值

.探究新知問題2：如果α=no，

等于多少？

，是個定值

.

如圖，半徑為

r

的圓的圓心與原點重合，角α的始邊與x軸的非負半軸重合，交圓于點

A，終邊與圓交于點

B.圓心角α所對的

的長為l

.探究新知問題3：如果α=120o，135o，270o呢？

當α=120o時，

，是個定值

.當α=135o時，

，是個定值

.當α=270o時，

，是個定值

.

如圖，半徑為

r

的圓的圓心與原點重合，角α的始邊與x軸的非負半軸重合，交圓于點

A，終邊與圓交于點

B.圓心角α所對的

的長為l

.弧長與半徑的比值與半徑無關(guān)，僅與角α的大小有關(guān)

.探究新知

長度等于半徑長的圓弧所對的圓心角為1弧度的角，記作1

rad，這種以弧度為單位來度量角的制度稱為弧度制

．1.

弧度制探究新知

長度等于半徑長的圓弧所對的圓心角為1弧度的角，記作1

rad，這種以弧度為單位來度量角的制度稱為弧度制

．1.

弧度制注意：（1）弧度制是十進制的，角度制中度、分、秒是六十進制

；（2）無論是以“弧度”還是以“度”為單位，角的大小都是一個與半徑大小無關(guān)的定值

．2.

弧度數(shù)的推廣

的長OB旋轉(zhuǎn)的方向∠AOB的弧度數(shù)r逆時針方向12πr逆時針方向2r－2πr順時針方向0順時針方向2π－π不旋轉(zhuǎn)0若α＝xrad，得到弧長的計算公式.

如果半徑為r的圓的圓心角α所對的弧長為l，則：例1

利用單位圓，寫出360o，180o，90o，1o的圓心角所對應(yīng)的弧度數(shù)

.例題精析解:1o的圓心角對應(yīng)的弧度數(shù)是

rad

.360o的圓心角的弧長是2π,那么它對應(yīng)的弧度數(shù)是2π

rad

；180o的圓心角的弧長是π

,那么它對應(yīng)的弧度數(shù)是π

rad

；90o的圓心角對應(yīng)的弧度數(shù)是

rad

；在單位圓中，例1

利用單位圓，寫出360o，180o，90o，1o的圓心角所對應(yīng)的弧度數(shù)

.例題精析360o＝2π

rad90o＝

rad1o＝

rad180o＝πrad1o＝rad

≈0.01745rad1rad＝

≈

′探究新知3.

弧度制和角度制之間的相互轉(zhuǎn)化180o＝πrad1o＝rad

≈0.01745rad1rad＝

≈

′例2

把下列各角從度化為弧度

:（1）120o

；（2）25o30′

.例題精析解:（1）120o=120×

rad=

rad；（2）25o30′=25.5o=25.5×

rad=

rad

．1o＝

rad例題精析例3

把下列各角從弧度化為度

:（1）

rad；

（2）5rad.解:（1）

rad＝×（2）5rad＝5×＝135o

；≈286.5o

.另解：

rad＝×180o＝135o；1rad＝πrad＝180o例題精析例4

如圖.設(shè)扇形的圓心角α＝x.半徑為r，弧長為l，扇形面積記為S．（1）用r與x表示扇形的面積S；（2）用r與l表示扇形的面積S．解:（1）xrad角的大小是周角的

，所形成扇形的面積S是整個圓的面積πr2的.即

（2）由

可得又因為，所以

.（1）

.例題精析課堂小結(jié)1.

弧度制2.

弧度數(shù)的推廣3.

弧度制和角度制之間的相互轉(zhuǎn)化1o＝

rad4.

弧長公式5.

扇形面積公式180o