第三講二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用

目錄

必備知識(shí)點(diǎn).......................................................................................................................................................1

考點(diǎn)一運(yùn)用二次函數(shù)求最大利潤(rùn).................................................................................................................1

考點(diǎn)二二次函數(shù)與幾何圖形.......................................................................................................................4

知識(shí)導(dǎo)航

必備知識(shí)點(diǎn)

知識(shí)點(diǎn)1二次函數(shù)的應(yīng)用

1.利用二次函數(shù)解決利潤(rùn)問(wèn)題

在商品經(jīng)營(yíng)活動(dòng)中，經(jīng)常會(huì)遇到求最大利潤(rùn)，最大銷量等問(wèn)題．解此類題的關(guān)鍵是通過(guò)題意，確定

出二次函數(shù)的解析式，然后確定其最大值，實(shí)際問(wèn)題中自變量x的取值要使實(shí)際問(wèn)題有意義，因此

在求二次函數(shù)的最值時(shí)，一定要注意自變量x的取值范圍．

2.幾何圖形中的最值問(wèn)題

幾何圖形中的二次函數(shù)問(wèn)題常見(jiàn)的有：幾何圖形中面積的最值，用料的最佳方案以及動(dòng)態(tài)幾何中的

最值的討論．

考點(diǎn)一運(yùn)用二次函數(shù)求最大利潤(rùn)

1．某超市以每件13元的價(jià)格購(gòu)進(jìn)一種商品，銷售時(shí)該商品的銷售單價(jià)不低于進(jìn)價(jià)且不高于18元．經(jīng)

過(guò)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該商品每天的銷售量y（件）與銷售單價(jià)x（元）之間滿足如圖所示的一次函數(shù)

關(guān)系．

（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）銷售單價(jià)定為多少時(shí)，該超市每天銷售這種商品所獲的利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？

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2．如圖①是氣勢(shì)如弘、古典凝重的開(kāi)封北門，也叫安遠(yuǎn)門，有安定遠(yuǎn)方之寓意．其主門洞的截面

如圖②，上部分可看作是拋物線形，下部分可看作是矩形，邊AB為16米，BC為6米，最高處

點(diǎn)E到地面AB的距離為8米．

（1）請(qǐng)?jiān)趫D②中建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，并求出拋物線的解析式．

（2）該主門洞內(nèi)設(shè)雙向行駛車道，正中間有0.6米寬的雙黃線．車輛必須在雙黃線兩側(cè)行駛，不

能壓雙黃線，并保持車輛最高點(diǎn)與門洞有不少于0.6米的空隙（安全距離），試判斷一輛大型貨運(yùn)

汽車裝載某大型設(shè)備后，寬3.7米，高6.6米，能否安全通過(guò)該主門洞？并說(shuō)明理由．

3．某商品的進(jìn)價(jià)為每件20元，售價(jià)為每件30元，每月可賣出180件，該商品每臺(tái)售價(jià)（元）與月

銷量（臺(tái)）滿足的函數(shù)關(guān)系式如下表所示．已知該商品計(jì)劃漲價(jià)銷售，但每件售價(jià)不能高于35

元．設(shè)每件商品的售價(jià)上漲x元（x為整數(shù)）時(shí)，月銷售利潤(rùn)為w元．

每臺(tái)售價(jià)（元）303132…30+x

月銷售量（臺(tái)）180170160…y

（1）上述表格中，y＝（用含x的代數(shù)式表示）；

（2）若銷售該商品每月所獲利潤(rùn)為1920元，那么每件商品的售價(jià)應(yīng)上漲多少元？

（3）當(dāng)售價(jià)定為多少元時(shí)，商場(chǎng)每月銷售該商品所獲得的利潤(rùn)w最大？最大利潤(rùn)是多少？

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4．隨著國(guó)內(nèi)疫情得到有效控制，某產(chǎn)品的銷售市場(chǎng)逐漸回暖．某經(jīng)銷商與生產(chǎn)廠家簽訂了一份該產(chǎn)

品的進(jìn)貨合同，約定一年內(nèi)進(jìn)價(jià)為0.1萬(wàn)元/臺(tái)．根據(jù)市場(chǎng)調(diào)研得知，一年內(nèi)該產(chǎn)品的售價(jià)y（萬(wàn)

元/臺(tái)）與簽約后的月份數(shù)x（1≤x≤12且為整數(shù)）滿足關(guān)系式：y＝．

估計(jì)這一年實(shí)際每月的銷售量p（臺(tái)）與月份x之間存在如圖所示的變化趨勢(shì)．

（1）求實(shí)際每月的銷售量p（臺(tái)）與簽約后的月份數(shù)x之間的函數(shù)表達(dá)式；

（2）請(qǐng)估計(jì)這一年中簽約后的第幾月實(shí)際銷售利潤(rùn)W最高，最高為多少萬(wàn)元？

5．某大型農(nóng)貿(mào)市場(chǎng)新建了100個(gè)固定攤位，經(jīng)調(diào)查分析發(fā)現(xiàn)，去年1月至12月，每個(gè)固定攤位的

租金y（元）與月份x之間滿足關(guān)系式如下表，每月租出的固定攤位的個(gè)數(shù)p（個(gè)）與月份x之間

的函數(shù)圖象如圖所示．每個(gè)固定攤位租用者支付月租金給市場(chǎng)管理公司，由市場(chǎng)管理公司為每個(gè)

攤位支付管理費(fèi)，管理費(fèi)m（元）與月份x之間關(guān)系滿足m＝20x（1≤x≤12，且x為正整數(shù)）．

x（x為正整數(shù)）1≤x≤67≤x≤12

y/元400﹣40x+820

（1）試求p與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）分別時(shí)算3月份和8月份市場(chǎng)管理公司的收益（收益＝租金﹣攤位管理費(fèi)）；

（3）請(qǐng)你通過(guò)計(jì)算說(shuō)明市場(chǎng)管理公司哪個(gè)月的收益最大？

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考點(diǎn)二二次函數(shù)與幾何圖形

6．在一塊等腰直角三角形鐵皮上截一塊矩形鐵皮．如圖，已有的鐵皮是等腰直角三角形ABC，它的

底邊AB長(zhǎng)20厘米．要截得的矩形EFGD的邊FG在AB上，頂點(diǎn)E、D分別在邊CA、CB上．設(shè)

EF的長(zhǎng)為x厘米，矩形EFGD的面積為y平方厘米，試寫出y關(guān)于x的函數(shù)解析式及定義域，

并求當(dāng)EF的長(zhǎng)為4厘米時(shí)所截得的矩形的面積．

7．問(wèn)題探究

（1）如圖1，在四邊形ABCD中，連接AC，AD＝CD＝10，AC＝12，S四邊形ABCD＝72，求△ABC

的面積；

問(wèn)題解決

（2）如圖2，有一個(gè)菱形廣場(chǎng)ABCD，已知AD＝60米，∠DAB＝60°，連接AC．現(xiàn)計(jì)劃對(duì)這

個(gè)廣場(chǎng)進(jìn)行綠化．在△DMP和△DNP區(qū)域種植綠植，且滿足點(diǎn)P、M、N分別在AC、AB、CB

上，PM∥AD，PN∥CD，為了節(jié)省成本，要求種植綠植的區(qū)域面積盡可能的小，問(wèn)△DMP與△

DNP的面積之和是否存在最小值，若存在，請(qǐng)求出其最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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8．問(wèn)題提出：（1）如圖①，等邊△ABC的邊長(zhǎng)為1，D是BC邊上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DE?AB，

垂足為E，設(shè)線段AE的長(zhǎng)度為x，Rt△EBD的面積為y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式．

問(wèn)題解決：（2）某路口拐角處有一個(gè)五邊形空地，為方便市民出行的需要，市政局準(zhǔn)備在這片空

地上給廣大來(lái)往群眾搭建一個(gè)既能遮陽(yáng)又能避雨的遮陽(yáng)棚．經(jīng)過(guò)勘測(cè)發(fā)現(xiàn)，在如圖②所示的五邊

形ABCDE中，∠A＝∠B＝150°，∠C＝∠D＝60°，DE＝2AE＝8米，AB＝BC，根據(jù)該路

口的實(shí)際條件限制，需將遮陽(yáng)棚形狀設(shè)計(jì)為三角形，且△FGH的頂點(diǎn)F、G、H分布在邊AB、

CD、DE上，點(diǎn)F為AB中點(diǎn)，DH＝DG，為進(jìn)一步提升市民的出行體驗(yàn)，想讓遮陽(yáng)棚面積盡可

能大．請(qǐng)問(wèn)，是否存在符合設(shè)計(jì)要求的面積最大的△FGH？若存在，求△FGH面積的最大值，若

不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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9．如圖，矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，點(diǎn)E在邊AD上，點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)沿CB運(yùn)動(dòng)到

點(diǎn)B停止，點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)，沿折線AE→EC運(yùn)動(dòng)，它們同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動(dòng)速度都是1cm/s，點(diǎn)P

運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)同時(shí)停止，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s），△BPQ的面積為S（cm2）．當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)E

時(shí)，S＝24（cm2）．

（1）填空：AE＝，CE＝；

（2）求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出自變量t的取值范圍．

10．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝8，AC＝6，點(diǎn)P，Q同時(shí)從點(diǎn)B出發(fā)，點(diǎn)P以每秒5個(gè)

單位長(zhǎng)度的速度沿折線BA﹣AC運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿折線BC﹣CA運(yùn)動(dòng)，當(dāng)

點(diǎn)P，Q相遇時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，△PBQ的面積為S．

（1）當(dāng)P，Q兩點(diǎn)相遇時(shí)，t＝秒；

（2）求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出t的取值范圍．

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11．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC、BC的長(zhǎng)恰好為方程x2﹣14x+a＝0的兩根，且AC﹣

BC＝2，D為AB的中點(diǎn)．

（1）求a的值．

（2）動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿A→D→C的路線向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，沿B→C的路線

向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)．若點(diǎn)P、Q同時(shí)出發(fā)，速度都為每秒2個(gè)單位，當(dāng)點(diǎn)P經(jīng)過(guò)點(diǎn)D時(shí)，點(diǎn)P速度變

為每秒3單位，同時(shí)點(diǎn)Q速度變?yōu)槊棵?個(gè)單位．當(dāng)其中有一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)整個(gè)運(yùn)動(dòng)隨之結(jié)束．設(shè)

運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，設(shè)△PCQ的面積為S，試求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；并

指出自變量t的取值范圍．

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12．問(wèn)題探究

（1）如圖1，在菱形ABCD中，∠A＝120°，AB＝4，點(diǎn)P為邊CD的中點(diǎn)，Q為邊AD上一點(diǎn)，

且DP+DQ＝5，連接BP、PQ、BQ，求△BPQ的面積；

問(wèn)題解決

（2）為響應(yīng)市政府“建設(shè)美麗城市，改善生活環(huán)境”的號(hào)召，某小區(qū)欲建造如圖2所示的四邊

形ABCD休閑廣場(chǎng)，∠A＝∠ABC＝∠C＝90°，AB＝40米，BC＝60米．按照規(guī)劃要求，點(diǎn)P、

Q分別在邊CD、AD上，滿足DP+DQ＝40米，連接BP、PQ、BQ，其中△PBQ為健身休閑區(qū)，

其他區(qū)域?yàn)榫坝^綠化區(qū)，為了使綠化面積盡可能大，希望健身休閑區(qū)的面積盡可能小，那么按此

要求修建的這個(gè)健身休閑區(qū)（△PBQ）是否存在最小面積？若存在，求出最小面積及此時(shí)DP的

長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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13．問(wèn)題提出：

（1）如圖①，在四邊形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AB＝8，AD＝11，點(diǎn)E在線段BC上，且

BE＝5，連接DE，作EF⊥DE，交AB于點(diǎn)F，求四邊形ADEF的面積；

問(wèn)題解決：

（2）精密儀器廠要生產(chǎn)一種特殊的四邊形ABCD金屬部件，如圖②所示，部件要求是：BC＝4cm，

點(diǎn)D到BC的距離為5cm，∠D＝90°，且CD＝2AD．已知生產(chǎn)這種金屬部件的材料每平方厘米

造價(jià)60元，在滿足要求和保證質(zhì)量的前提下，儀器廠希望造價(jià)最低，請(qǐng)你幫忙求出一個(gè)這種四

邊形金屬部件的最低造價(jià)．

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14．為了提高巴中市民的生活質(zhì)量，巴中市對(duì)老舊小區(qū)進(jìn)行了美化改造．如圖，在老舊小區(qū)改造中，

某小區(qū)決定用總長(zhǎng)27m的柵欄，再借助外墻圍成一個(gè)矩形綠化帶ABCD，中間用柵欄隔成兩個(gè)小

矩形，已知房屋外墻長(zhǎng)9m．

（1）當(dāng)AB長(zhǎng)為多少時(shí)，綠化帶ABCD的面積為42m2？

（2）當(dāng)AB長(zhǎng)為多少時(shí)，綠化帶ABCD的面積最大，最大面積是多少？

15．如圖，根據(jù)防疫的相關(guān)要