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微分中值定理及其應用定理4.1(費馬引理)

費馬引理與函數(shù)最值

設在點

的某鄰域內有定義，并且在處可導,如果對于任意證不妨設有所以,由函數(shù)在可導及極限的保號性,有推論4.1(最值的必要條件)的點稱為函數(shù)的駐點.

設如果存在,如果在[a,b]上連續(xù),則在[a,b]上一定有最大值和最小值.

由最值的必要條件,最大、最小值點只可能是駐點、不可導點或區(qū)間的端點.求函數(shù)最大值與最小值的一般步驟:1.求駐點和不可導點;2.求出區(qū)間端點及駐點和不可導點的函數(shù)值,3.在實際問題的應用中,問題本身可以保證目標是最小值;比較大小,其中最大者就是最大值,最小者就種思想求應用問題的最值.函數(shù)的最大值或最小值一定存在,我們通常用這例4.1

求函數(shù)在[-1,4]上的最大值解計算與最小值.(-1,4)內駐點比較得,最大值最小值解駐點:可能是不可導點.與最小值.練習

求函數(shù)在的最大值比較得,最大值最小值例4.2欲建造一個糧倉,糧倉內下部為圓柱形,頂部解則建造糧倉所需材料的總價為為半球形.設用于建造圓柱形部分的材料的單價為由題意有用于建造半球形部分的材料單價為如果糧食只能儲存在圓柱形部分,且規(guī)定糧倉儲藏量為問如何選取圓柱形的尺寸才能使造價最低？故代入上式得求導得令得駐點

所求問題的最小值一定存在,故駐點就是問題的最小值點,唯一駐點,即當時,

造價最低.例4.3在一個半徑為R的廣場中心安裝一燈塔,解則問燈塔多高時才能使廣場周圍的路上最亮？由物理知識有,照度.

求導得

所求問題的最大值一定存在,故駐點就是問題的最大值點,當燈塔的高度為時,

能使廣場周圍的路上最亮.令得唯一駐點例4.4鐵路線上段的距離為工廠距處為垂直于(見圖).為了運輸需要,要在線上選定一點向工廠修筑一條公路.已知鐵路上每公里貨運的費用與公路上每公里的費用之比為3:5.為了使貨物從供應站運到工廠的運費最少,問點應選在何處？則解則設鐵路上每公里貨運的費用為,公路上每公里的費用,從點到點的總運費為,故

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