模塊二常見模型專練

專題30半角模型

例1（2022年·貴州黔西·中考真題）綜合與實踐

（1）如圖1，在正方形ABCD中，點M、N分別在AD、CD上，若∠MBN＝45°，則MN，AM，CN的數(shù)量

關系為．

（2）如圖2，在四邊形ABCD中，BC∥AD，AB＝BC，∠A+∠C＝180°，點M、N分別在AD、CD上，若

∠MBN＝∠ABC，試探索線段MN、AM、CN有怎樣的數(shù)量關系？請寫出猜想，并給予證明．

（3）如圖3，在四邊形ABCD中，AB＝BC，∠ABC+∠ADC＝180°，點M、N分別在DA、CD的延長線上，

若∠MBN＝∠ABC，試探究線段MN、AM、CN的數(shù)量關系為．

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從正方形的一個頂點引出夾角為45°的兩條射線，并連接它們與該頂點的兩對邊的交點構成的基本平

面幾何模型稱為半角模型。

模型1：正方形中的半角模型

模型2：等腰直角三角形中的半角模型

結論一

半角模型中射線與端點對邊交點的連線長等于端點兩相鄰點到各自最近交點的距離和。

即如圖中，四邊形ABCD是正方形，點E,F分別在BC和CD邊上，滿足∠EAF=45°，連結EF，則有：EF=BE+DF。

結論二

兩射線的公共端點是射線截端點兩對邊所得直角三角形的一個旁心，即射線平分截得的直角三角形兩

銳角的外角。

結論三

兩射線的端點到射線與端點兩對邊交點的連線的距離等于正方形的邊長。

結論四

過兩射線的端點且垂直于射線與端點兩對邊交點連線的直線分“半角三角形”得的兩個三角形與半角

三角形外的兩個小三角形分別全等。

結論五

射線截端點兩對邊所得直角三角形的兩直角邊相等時，其斜邊長取到最小值，其面積取到最大值。

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【變式1】（2021·遼寧·沈陽市南昌中學（含：西校區(qū)、光榮中學）九年級階段練習）如圖，菱形ABCD與

菱形EBGF的頂點B重合，頂點F在射線AC上運動，且，對角線AC、BD相交于

點O．

（1）如圖1．當點F與點O重合時，直接寫出的值為；

（2）當頂點F運動到如圖2的位置時，連接CG，，且，試探究CG與DF的數(shù)量關系，

說明理由，并直接寫出直線CG與DF所夾銳角的度數(shù)；

（3）如圖3，取點P為AD的中點，若B、E、P三點共線，且當CF＝2時，請直接寫出BP的長．

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【變式2】（2021·河南平頂山·九年級期中）（1）閱讀理解

如圖1，在正方形ABCD中，若E，F(xiàn)分別是CD，BC邊上的點，∠EAF＝45°，則我們常常會想到：把ADE

繞點A順時針旋轉90°，得到ABG．易證AEF≌，得出線段BF，DE，EF之間的關系為；

（2）類比探究

如圖2，在等邊ABC中，D，E為BC邊上的點，∠DAE＝30°，BD＝1，EC＝2．求線段DE的長；

（3）拓展應用

如圖3，在ABC中，AB＝AC＝，∠BAC＝150°，點D，E在BC邊上，∠DAE＝75°，若DE是等

腰ADE的腰，請直接寫出線段BD的長．

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【變式3】（2021·遼寧沈陽·一模）（1）思維探究：

如圖1，點E，F(xiàn)分別在正方形ABCD的邊BC，CD上，且∠EAF＝45°，連接EF，則三條線段EF，BE，

DF滿足的等量關系式是；小明的思路是：將△ADF繞點A順時針方向旋轉90°至△ABG的位置，并

說明點G，B，E在同一條直線上，然后證明△AEF≌即可得證結論；（只需填空，無需證明）

（2）思維延伸：

如圖2，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點D，E均在邊BC上，點D在點E的左側，且∠DAE＝45°，

猜想三條線段BD，DE，EC應滿足的等量關系，并說明理由；

（3）思維拓廣：

如圖3，在△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝AC＝5，點D，E均在直線BC上，點D在點E的左側，且∠DAE

＝30°，當BD＝1時，請直接寫出線段CE的長．

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【變式4】（2021·全國·九年級專題練習）如圖1，在菱形ABCD中，AC＝2，BD＝2，AC，BD相交于點

O．

(1)求邊AB的長；

(2)求∠BAC的度數(shù)；

(3)如圖2，將一個足夠大的直角三角板60°角的頂點放在菱形ABCD的頂點A處，繞點A左右旋轉，其中三

角板60°角的兩邊分別與邊BC，CD相交于點E，F(xiàn)，連接EF．判斷AEF是哪一種特殊三角形，并說明理

由．△

21．（2020·重慶江津·八年級期中）（1）如圖1，在正方形ABCD中，E是AB上一點，G是AD上一點，

∠ECG=45°，求證EG=BE+GD．

（2）請用（1）的經驗和知識完成此題：如圖2，在四邊形ABCD中，AG//BC(BC>AG)，∠B=90°，AB=BC=12，

E是AB上一點，且∠ECG=45°，BE=4，求EG的長？

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【變式5】（2020·全國·九年級專題練習）請閱讀下列材料：

已知：如圖（1）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點D、E分別為線段BC上兩動點，若∠DAE＝

45°．探究線段BD、DE、EC三條線段之間的數(shù)量關系：

（1）猜想BD、DE、EC三條線段之間存在的數(shù)量關系式，直接寫出你的猜想；

（2）當動點E在線段BC上，動點D運動在線段CB延長線上時，如圖（2），其它條件不變，（1）中探究

的結論是否發(fā)生改變？請說明你的猜想并給予證明；

（3）已知：如圖（3），等邊三角形ABC中，點D、E在邊AB上，且∠DCE＝30°，請你找出一個條件，使

線段DE、AD、EB能構成一個等腰三角形，并求出此時等腰三角形頂角的度數(shù)．

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【培優(yōu)練習】

1．（2022秋·山西·九年級統(tǒng)考期末）閱讀以下材料，并按要求完成相應的任務：

從正方形的一個頂點引出夾角為45的兩條射線，并連接它們與該頂點的兩對邊的交點構成的基本平面幾何

模型稱為半角模型．半角模型可證出多個幾何結論，例如：

如下圖1，在正方形ABCD中，以A為頂點的EAF45，AE、AF與BC、CD邊分別交于E、F兩點．易

證得EFBEFD．

大致證明思路：如圖2，將△ADF繞點A順時針旋轉90，得到ABH，由HBE180可得H、B、E三

點共線，HAEEAF45，進而可證明AEH≌AEF，故EFBEDF．

任務：

如圖3，在四邊形ABCD中，ABAD，BD90，BAD120，以A為頂點的EAF60，AE、

AF與BC、CD邊分別交于E、F兩點．請參照閱讀材料中的解題方法，你認為結論EFBEDF是否依

然成立，若成立，請寫出證明過程；若不成立，請說明理由．

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2．（2022秋·陜西寶雞·九年級統(tǒng)考階段練習）已知，如圖1，四邊形ABCD是正方形，E，F(xiàn)分別在邊BC、

CD上，且EAF45，我們把這種模型稱為“半角模型”，在解決“半角模型”問題時，旋轉是一種常用的方

法．

(1)在圖1中，連接EF，為了證明結論“EFBEDF”，小亮將ADF繞點A順時針旋轉90后解答了這

個問題，請按小亮的思路寫出證明過程；

(2)如圖2，當EAF繞點A旋轉到圖2位置時，試探究EF與DF、BE之間有怎樣的數(shù)量關系？

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3．（2022秋·江蘇揚州·八年級?？茧A段練習）（1）【閱讀理解】如圖，已知ABC中，ABAC，點D、E

1

是邊BC上兩動點，且滿足DAEBAC，

2

求證：BDCEDE．

我們把這種模型稱為“半角模型”，在解決“半角模型”問題時，旋轉是一種常用的方法．

小明的解題思路：將半角DAE兩邊的三角形通過旋轉，在一邊合并成新的△AFE，然后證明與半角形成

的VADE全等，再通過全等的性質進行等量代換，得到線段之間的數(shù)量關系．

請你根據(jù)小明的思路寫出完整的解答過程．

證明：將△ABD繞點A旋轉至△ACF，使AB與AC重合，連接EF，

……

（2）【應用提升】如圖，正方形ABCD（四邊相等，四個角都是直角）的邊長為4，點P從點A出發(fā)，以每

秒1個單位長度的速度沿射線AD點D運動；點Q點D同時出發(fā)，以相同的速度沿射線AD方向向右運動，

當點P到達點D時，點Q也停止運動，連接BP，過點P作BP的垂線交過點Q平行于CD的直線l于點E，BE

與CD相交于點F，連接PF，設點P運動時間為ts，

①求PBE的度數(shù)；

②試探索在運動過程中△PDF的周長是否隨時間t的變化而變化？若變化，說明理由；若不變，試求這個

定值．

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4．（2021秋·廣西南寧·九年級統(tǒng)考期中）【探索發(fā)現(xiàn)】如圖①，四邊形ABCD是正方形，M，N分別在邊CD、

BC上，且∠MAN=45°，我們把這種模型稱為“半角模型”，在解決“半角模型”問題時，旋轉是一種常用的方

法．如，小明將△ADM繞點A順時針旋轉90°，點D與點B重合，得到△ABE，如圖②．從而證明出了

DM+BN=MN．

(1)請你按照小明的方法證明：DM+BN=MN；

【類比延伸】

(2)如圖③，點N、M分別在正方形ABCD的邊BC、CD的延長線上，∠MAN=45°，連接數(shù)MN，請根據(jù)小

明的發(fā)現(xiàn)給你的啟示寫出MN、DM、BN之間的數(shù)量關系，并證明．

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5．（2022·全國·九年級專題練習）問題背景：在解決“半角模型”問題時，旋轉是一種常用方法．如圖①，在

四邊形ABCD中，ABAD，BAD120，BADC90，點E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點，且EAF60，

連接EF，探究線段BE，EF，DF之間的數(shù)量關系．

(1)探究發(fā)現(xiàn)：小明同學的方法是將ABE繞點A逆時針旋轉120°至△ADG的位置，使得AB與AD重合，

然后證明△AGF≌△AEF，從而得出結論：____________；

(2)拓展延伸：如圖②，在正方形ABCD中，E、F分別在邊BC、CD上，且EAF45，連接EF，（1）中

的結論是否仍然成立？若成立，請寫出證明過程，若不成立，請說明理由．

(3)嘗試應用：在（2）的條件下，若BE3，DF2，求正方形ABCD的邊長．

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6．（2020秋·重慶璧山·九年級重慶市璧山中學校?？茧A段練習）“半角型”問題探究：如圖1，在四邊形ABCD

中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，且∠EAF＝60°，探究圖中線段BE，EF，F(xiàn)D之間的數(shù)

量關系．

（1）小明同學的方法是將△ABE繞點A逆時針旋轉120°到△ADG的位置，然后再證明△AFE≌△AFG，

從而得出結論：

（2）如圖2，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F(xiàn)分別是邊BC，CD上的點，且∠EAF

1

＝∠BAD，上述結論是否仍然成立，并說明理由．

2

（3）如圖3，邊長為4的正方形ABCD中，點E、F分別在AB、CD上，AE＝CF＝1，O為EF的中點，

動點G、H分別在邊AD、BC上，EF與GH的交點P在O、F之間（與O、F不重合），且∠GPE＝45°，

設AG＝m，求m的取值范圍．

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7．（2022秋·江蘇·八年級專題練習）【探索發(fā)現(xiàn)】如圖①，四邊形ABCD是正方形，M，N分別在邊CD、

BC上，且MAN=45，我們把這種模型稱為“半角模型”，在解決“半角模型”問題時，旋轉是一種常用的方

法．如圖①，將ADM繞點A順時針旋轉90，點D與點B重合，得到ABE，連接AM、AN、MN．

（1）試判斷DM，BN，MN之間的數(shù)量關系，并寫出證明過程．

（2）如圖②，點M、N分別在正方形ABCD的邊BC、CD的延長線上，MAN=45，連接MN，請寫出

MN、DM、BN之間的數(shù)量關系，并寫出證明過程．

（3）如圖③，在四邊形ABCD中，AB=AD，BAD=120，B+D=180，點N，M分別在邊BC，CD

上，MAN=60，請直接寫出線段BN，DM，MN之間的數(shù)量關系．

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8．（2020秋·河南安陽·八年級?？茧A段練習）如圖1：在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B

＝ADC＝90°，E、F分別是BC，CD上的點，且∠EAF＝60°，探究圖中線段BE，EF，F(xiàn)D之間的數(shù)量關系．

（1）小王同學探究此問題的方法是：延長FD到點G，使DG＝BE，連接AG，先證明△ABE≌△ADG，再

證明△AEF≌△AGF，即可得出BE，EF，F(xiàn)D之間的數(shù)量關系，他的結論應是．

像上面這樣有公共頂點，銳角等于較大角的一半，且組成這個較大角的兩邊相等的幾何模型稱為半角模型．

拓展

（2）如圖2，若在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分別是BC，CD上的點，且∠EAF

1

＝∠BAD，則BE，EF，F(xiàn)D之間的數(shù)量關系是．請證明你的結論．

2

實際應用

（3）如圖3，在某次軍事演習中，艦艇甲在指揮中心（O處）北偏西30°的A處，艦艇乙在指揮中心南偏

東70°的B處，且兩艦艇到指揮中心的距離相等接到行動指令后，艦艇甲向正東方向以60海里/小時的速度

前進，艦艇乙沿北偏東50°的方向以80海里小時的速度前進，1.2小時后，指揮中心觀測到甲、乙兩艦艇分

別到達E，F(xiàn)處，且兩艦艇之間的夾角為70°，試求此時兩艦艇之間的距離是海里（直接寫出答案）．

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9．（2022秋·八年級課時練習）如圖，正方形ABCD中，E、F分別在邊BC、CD上，且∠EAF＝45°，連接

EF，這種模型屬于“半角模型”中的一類，在解決“半角模型”問題時，旋轉是一種常用的分析思路．例如圖

中△ADF與△ABG可以看作繞點A旋轉90°的關系．這可以證明結論“EF＝BE＋DF”，請補充輔助線的作法，

并寫出證明過程．

（1）延長CB到點G，使BG＝，連接AG；

（2）證明：EF＝BE＋DF

10．（2021·江蘇·九年級專題練習）已知如圖1，四邊形ABCD是正方形，E,F分別在邊BC、CD上，且

EAF45，我們把這種模型稱為“半角模型”，在解決“半角模型”問題時，旋轉是一種常用的方法．

（1）在圖l中，連接EF，為了證明結論“EFBEDF”，小亮將ADF繞點A順時針旋轉90后解答了這

個問題，請按小亮的思路寫出證明過程；

（2）如圖2，當EAF繞點A旋轉到圖2位置時，試探究EF與DF、BE之間有怎樣的數(shù)量關系？

（3）如圖3，如果四邊形ABCD中，ABAD，BADBCD90，∠EAF=45o，且BC7，DC13，

CF5，求BE的長．

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11．（2021秋·江蘇鎮(zhèn)江·八年級階段練習）如圖①：在四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=ADC=90°，

E、F分別是BC，CD上的點，且∠EAF=60°，探究圖中線段BE，EF，F(xiàn)D之間的數(shù)量關系．

（1）小王同學探究此問題的方法是：延長FD到點G，使DG=BE，連接AG，先證明△ABE≌△ADG，再

證明△AEF≌△AGF，即可得出BE，EF，F(xiàn)D之間的數(shù)量關系，他的結論應是____________．

象上面這樣有公共頂點，銳角等于較大角的一半，且組成這個較大角的兩邊相等的幾何模型稱為半角

模型．

（2）拓展如圖②，若在四邊形ABCD中,，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分別是BC，CD上的點，且

1

∠EAF=∠BAD，則BE，EF，F(xiàn)D之間的數(shù)量關系是________________．

2

請證明你的結論．

（3）實際應用如圖③,在某次軍事演習中,艦艇甲在指揮中心(O處)北偏西35°的A處，艦艇乙在指揮中心

南偏東75°的B處,，且兩艦艇到指揮中心的距離相等接到行動指令后，艦艇甲向正東方向以60海里/小時的

速度前進,艦艇乙沿北偏東50°的方向以80海里小時的速度前進，1.2小時后,指揮中心觀測到甲、乙兩艦艇

分別到達E，F(xiàn)處，且兩艦艇之間的夾角為65°,試求此時兩艦艇之間的距離是_____________海里(直接寫出

答案）．

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12．（2022秋·遼寧鞍山·九年級統(tǒng)考期中）如圖1，四邊形ABCD是正方形，E，F(xiàn)分別在邊BC、CD上，

且EAF45，我們把這種模型稱為“半角模型”，在解決“半角模型”問題時，旋轉是一種常用的方法．

(1)直接寫出圖1中線段EF、BE、DF之間的數(shù)量關系；

(2)如圖2，當EAF繞點A旋轉到圖2位置時，試探究EF與DF、BE之間有怎樣的數(shù)量關系？

(3)如圖3，如果四邊形ABCD中，ABAD，BADBCD90，EAF45，且BC7，DC13，CF5，

求BE的長．

13．（2022秋·上海普陀·八年級?？计谥校ㄌ剿靼l(fā)現(xiàn)）如圖①，四邊形ABCD是正方形，M,N分別在邊

CD、BC上，且MAN45，我們把這種模型稱為“半角模型”，在解決“半角模型”問題時，旋轉是一種常

用的方法，如圖①，將△ADM繞點A順時針旋轉90，點D與點B重合，得到ABE，連接AM、AN、MN．

(1)試判斷DM，BN，MN之間的數(shù)量關系，并寫出證明過程；

(2)如圖①如果正方形的邊長為4，求三角形CMN的周長；

(3)如圖②，點M、N分別在正方形ABCD的邊BC、CD的延長線上，MAN45，連接MN，請寫出

MN、DM、BN之間的數(shù)量關系，并寫出證明過程．

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14．（2023·江西·九年級專題練習）【模型建立】

(1)如圖1，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是邊BC，CD上的點，且EAF45，探究圖中線段EF，BE，

DF之間的數(shù)量關系．

小明的探究思路如下：延長CB到點G，使BGDF，連接AG，先證明ADF≌ABG