第6章

一次函數(shù)6.2第1課時

一次函數(shù)的概念廖益陽2024/12/2時間是一個“常量”，但對于勤奮者來說，卻是一個“變量”，我們應當在有限的時間內做出偉大的事業(yè)！回顧舊知什么是函數(shù)?在某個變化過程中，有兩個變量x和y，如果給定一個x值，相應地就確定一個y值，那么我們稱y是x的函數(shù)，其中x是自變量，y是因變量.函數(shù)有圖象、列表、關系式三種表達方式.函數(shù)就在我們身邊加油站百盛電信局市政府東中海陵南路海陵北路204國道204國道步行街紅蘭路老王家望海西路望海東路老王的一天情景一7：30老王師傅到加油站加油.

已知某種汽油4.50元/升，請寫出加油費用y(元）與加油量x（升）之間的函數(shù)關系.y=4.5x

如果加油前老王師傅的汽車油箱里還剩6L汽油，那么在加油過程中，油箱中的油量Q(L)與時間t(min)之間有怎樣的函數(shù)關系.Q=25t+6

加油槍的流量25L/min，那么在加油過程中，油箱中的油量Q(L)與時間t(min)之間有怎樣的函數(shù)關系.Q=25t情景二8：00老王師傅來到電信局.

電信公司小靈通市話服務收費標準為月租費20元，通話費為每分鐘0.2元（不足1min按1min計算）,那么每月應繳費用y(元)隨通話時間t(min)之間的函數(shù)關系.y=0.2t+20情景三8：30老王師傅來到百盛超市.

已知體育用品專柜購進一批福娃毛絨玩具紀念品，每只銷售單價為78元，老王買福娃毛絨玩具紀念品花費的錢y（元）與福娃毛絨玩具紀念品只數(shù)x（只）之間的函數(shù)關系.y=78x8：30老王師傅來到百盛超市.

如果超市共購進福娃毛絨玩具紀念品2000件，預計每天可銷售150件福娃毛絨玩具，用y（件）表示銷售x天后剩余福娃毛絨玩具的件數(shù)，請寫出y與x的函數(shù)關系.y=-150x+2000討論交流觀察上述得到的函數(shù)表達式：（1）y=4.5x（2）Q=25t（3）Q=25t+6（4）y=0.2t+20（5）y=78x（6）y=-150x+20002.函數(shù)式右邊是關于自變量x的幾次式？1.每個函數(shù)式中各有幾個變量？3.假如用常數(shù)k表示一次項的系數(shù)，常數(shù)b表示常數(shù)項，那么上面的三個式子可以統(tǒng)一表示成什么關系式?4.請你用k、b的形式寫出函數(shù)式。定義一般地，形如y=kx+b

(k、b為常數(shù)，且k≠0)的函數(shù)叫做一次函數(shù)，其中x是自變量，y是x的函數(shù)．kx是一次項，k叫做

比例系數(shù)或一次項系數(shù)，b叫做

常數(shù)項

。特別地，當b＝0時，y＝kx

(k為常數(shù)，k≠0),y

叫做x的正比例函數(shù)．說明：正比例函數(shù)是特殊的一次函數(shù)．一次函數(shù)正比例函數(shù)練習1判斷下列說法是否正確：1.一次函數(shù)是正比例函數(shù)。（

）2.正比例函數(shù)不是一次函數(shù)。（）3.不是正比例函數(shù)就不是一次函數(shù)。（）4.正比例函數(shù)是一次函數(shù)。（）√×××下列說法中，正確的是()A.

一次函數(shù)是正比例函數(shù)B.

正比例函數(shù)是一次函數(shù)C.

正比例函數(shù)不是一次函數(shù) D.一次函數(shù)不可能是正比例函數(shù)B變式1.1正比例函數(shù)y＝kx怎樣理解一次函數(shù):1.一次:指自變量的指數(shù)為12.自變量的系數(shù)不為0：k≠011.一次:指自變量的指數(shù)為12.自變量的系數(shù)不為0：k≠03.常數(shù)項為0：b=01+0方法小結下列函數(shù)關系式中，哪些是一次函數(shù)，哪些是正比例函數(shù)？（1）y=-x-4它是一次函數(shù)，不是正比例函數(shù)。（2）y=5x2+6它不是一次函數(shù)，也不是正比例函數(shù)。（3）y=2πx它是一次函數(shù)，也是正比例函數(shù)。它不是一次函數(shù)，也不是正比例函數(shù)(5)y=-8x它是一次函數(shù)，也是正比例函數(shù)。(4)練習2變式2.1(1)函數(shù)表達式的右邊是否是整式的形式，需要化簡的應先化簡；判斷函數(shù)是否為一次函數(shù)的方法：(2)看它是否符合一次函數(shù)表達式y(tǒng)=kx+b的結構特征：

①k≠0；②自變量x的次數(shù)是1；③常數(shù)項b可以為任意實數(shù).(3)當b=0時，既是正比例函數(shù)，又是一次函數(shù).判斷下列函數(shù)是不是一次函數(shù),如果是一次函數(shù),是不是正比例函數(shù)?(1)y＝2x－1(2)y＝3x2＋2(3)m＝－5n(5)y＝2(t－5)(4)y=6－3x(6)2y＝x－1它不是一次函數(shù)，也不是正比例函數(shù)。它是一次函數(shù)，也是正比例函數(shù)。一次函數(shù)一次函數(shù)一次函數(shù)一次函數(shù)變式2.2

解：(1)因為y＝3x2－x(3x－2)＝2x，所以y＝3x2－x(3x－2)是一次函數(shù)；變式2.3

(2)x2＋y＝1，即y＝1－x2.因為x的次數(shù)是2，所以x2＋y＝1不是一次函數(shù)；右圖反映的是正比例函數(shù)與一次函數(shù)的從屬關系，A表示____函數(shù)，B表示____函數(shù)AB一次函數(shù)正比例函數(shù)練習3下列函數(shù)關系式中，哪些是一次函數(shù)？哪些是正比例函數(shù)？(4)y=2πx(1)y=-2x(2)y=2x-6(3)y=x3(5)y=(6)y=5+3x（1）（2）（4）（6）正比例函數(shù)有：（1）（4）解：一次函數(shù)有：

變式3.1①s=2h2②x2y+1③y=5x+2④y-2=2(x-1)⑤xy=1⑥x+y=0⑦

屬于一次函數(shù)的有屬于正比例函數(shù)的有③④⑥⑦④⑥⑦變式3.21.已知下列函數(shù):y=2x+1;;s=60t;y=100-25x,其中表示一次函數(shù)的有()(A)1個(B)2個(C)3個(D)4個D變式3.3下列函數(shù)中哪些是一次函數(shù)，哪些是正比例函數(shù)？解：（1）（4）（5）（6）（8）是一次函數(shù)，

（1）（5）（6）是正比例函數(shù).

變式3.4

A

B變式3.5下列函數(shù)中，屬于正比例函數(shù)的是（

A

）A.

y

＝－8

x

B.

y

＝－8

x

＋1C.

y

＝8

x2＋1D.

y

＝－

A.

2個B.

3個C.

4個D.

5個AB123456789101112變式3.6②④⑤⑥②④⑥變式3.7有下列函數(shù)：其中一定是一次函數(shù)的有()A.4個B.3個C.2個D.1個B變式3.8（1）m取何值時，是一次函數(shù)？（2）

m取何值時，是正比例函數(shù)？解：（1）由題意得：

所以m≠-1m+1≠0m+1≠0（2）由題意得：所以m=1且m2-1=0練習4已知關于x的函數(shù)y＝(m＋1)x2－|m|＋n＋4．(1)當m，n為何值時，此函數(shù)是一次函數(shù)？(2)當m，n為何值時，此函數(shù)是正比例函數(shù)？解：(1)根據題意，得2－|m|＝1，①m＋1≠0，②由①，得m＝±1，由②，得m≠－1．∴當m＝1，n

為任意實數(shù)時，這個函數(shù)是一次函數(shù).變式4.1(2)由題意，得2－|m|＝1，m＋1≠0，n＋4＝0.

解得m＝1，n＝－4.∴當m＝1，n＝－4時，這個函數(shù)是正比例函數(shù)．已知函數(shù)y=(m-1)x+1-m2（1）當m為何值時，這個函數(shù)是一次函數(shù)?解：由題意可得m-1≠0，解得m≠1.即m≠1時，這個函數(shù)是一次函數(shù).變式4.2（2）當m為何值時，這個函數(shù)是正比例函數(shù)?解：由題意可得m-1≠0，1-m2=0，解得m=-1.即m=-1時，這個函數(shù)是正比例函數(shù).已知函數(shù)y=(m-1)x+1-m2

1

1變式4.31.若y＝(m－1)x＋5是一次函數(shù),則

.2.若y＝2x

m2－3

－4是一次函數(shù),則

.3.若關于x的函數(shù)

是正比例函數(shù)，則m=______，n=_____.m≠1m=±2-224.在一次函數(shù)y=-3x-6中，自變量x的系數(shù)是

，常數(shù)項是

。-3-65.若y=(m-2)x+m2

-4是關于x的正比例函數(shù)，則m

；若是關于x的一次函數(shù)，則m

.=-2≠2

變式4.4

解：(1)根據一次函數(shù)的定義，得m2－3=1，m－2≠0，解得m=－2.

解：(2)根據正比例函數(shù)的定義，得m2－3＝1，m－2≠0，且n＋1＝0，∴m＝－2，n＝－1.∴當m＝－2，n＝－1時，y是x的正比例函數(shù)．變式4.5函數(shù)

y

＝（

m

－2）

x

＋

m2－4（

m

為常數(shù)）.（1）當

m

取何值時，

y

是

x

的正比例函數(shù)？解：（1）由題意，得

m2－4＝0，且

m

－2≠0，∴

m

＝－2.∴當

m

＝－2時，

y

是

x

的正比例函數(shù).（2）當

m

取何值時，

y

是

x

的一次函數(shù)？解：（2）由題意，得

m

－2≠0，∴

m

≠2.∴當

m

≠2時，

y

是

x

的一次

函數(shù).1234567891011121314變式4.6已知函數(shù)y=(2-m)x+2m-6.求當m滿足什么條件，（1）函數(shù)為一次函數(shù)；（2）函數(shù)為正比例函數(shù)？解：（1）2-m≠0即m≠2∴當m≠2時，函數(shù)y=(2-m)x+2m-6為一次函數(shù)（2）2m-6=0即m=3∴當m=3時，函數(shù)y=(2-m)x+2m-6為正比例函數(shù)變式4.7當m滿足什么條件時，函數(shù)y＝(m－2)x|m|－1＋4是一次函數(shù)？請寫出其表達式.解:當|m|－1＝1，且m－2≠0，即m＝－2時，y＝

(m－2)x|m|－1＋4是一次函數(shù)，其表達式是y＝－4x＋4.變式4.81.若y＝(m－1)x＋5是一次函數(shù),則

.2.若y＝2x

m2－3

－4是一次函數(shù),則

.3.若關于x的函數(shù)

是正比例函數(shù)，則m=______，n=_____.m≠1m=±2-22變式4.9已知y=(3-a)x+4-2a,當a

時,這個函數(shù)是一次函數(shù),當a

時,這個函數(shù)是正比例函數(shù).

≠3=2變式4.10將函數(shù)3x+2y=1改寫成y=kx+b的形式,并指出k和b的值.已知函數(shù)y=(m+1)x+(m2-1)，當m

時，

y是x的一次函數(shù)；當m

時,y是x的正比例函數(shù).變式4.11已知函數(shù)

y

＝（

k

＋1）

x

＋

k

－1，當

k

?

時，它是一次函數(shù)；當

k

時，它是正比例函數(shù).≠－

1

＝1

123456789101112練習5水池中有水465m3，每小時排水15m3，排水th后，水池中還有水

ym3．試寫出y

與t之間的函數(shù)表達式，并判斷y是否為

t的一次函數(shù)，是否為t的正比例函數(shù)；寫出自變量的取值范圍.解：y＝－15t＋465y是t的一次函數(shù)，但不是正比例函數(shù).（0≤t≤31）交流用函數(shù)表達式表示下列變化過程中兩個變量之間關系，并指出其中的一次函數(shù)、正比例函數(shù)。（1）正方形面積S

隨邊長x

變化而變化；

解：

S＝

x2

，S

不是x

的一次函數(shù).解：

C＝4x，

C是x

的一次函數(shù)，也是正比例函數(shù)．（2）正方形周長C

隨邊長x變化而變化．交流用函數(shù)表達式表示下列變化過程中兩個變量之間關系，并指出其中的一次函數(shù)、正比例函數(shù)。（3）長方形的長為常量a

時，面積S隨寬x變化而變化；

解：S＝ax，S

是x

的一次函數(shù)，也是正比例函數(shù)．Aykm解：（4）

y與x之間的函數(shù)關系為：y＝300x，y是x的一次函數(shù)，也是正比例函數(shù).交流用函數(shù)表達式表示下列變化過程中兩個變量之間關系，并指出其中的一次函數(shù)、正比例函數(shù)。（4）列車以300km／h的速度駛離A站，列車行駛路程y(km)隨行駛時間

x(h)變化而變化；AB200kmCykm解：（5）

y與x之間的函數(shù)關系為：y＝120x＋200，y是x的一次函數(shù)；但不是正比例函數(shù).交流（5）如圖，A、B兩地相距200km，一列火車從B地出發(fā)以120km/h的速度駛向C，火車離A地的路程y(km)隨行駛時間x(h)變化而變化．一盤蚊香長105cm，點燃后，每小時縮短10cm.(1)寫出蚊香點燃后的長度y(cm)與蚊香燃燒時間t(h)之間的函數(shù)表達式；解：蚊香點燃后，每小時縮短10cm，th將縮短10tcm，所以y(cm)與t(h)之間的函數(shù)表達式為：y＝105－10t.例題(2)該盤蚊香可燃燒多長時間?

一個長方形的長為15cm，寬為10cm．如果將長方形的長減少xcm，寬不變，那么長方形的面積y(cm2)與x(cm)之間有怎樣的函數(shù)表達式？判斷y是否為x的一次函數(shù)，是否為x的正比例函數(shù).解：y是x的一次函數(shù)，但不是正比例函數(shù).（0≤x≤15），y＝150－10x變式5.1寫出下列各題中y關于x的函數(shù)表達式,并判斷y是不是x的一次函數(shù),是不是x的正比例函數(shù).(1)長方形的面積為20,長方形的長y與寬x之間的關系;(2)剛上市時西瓜每千克3.6元,買西瓜的總價y(元)與所買西瓜的質量x(千克)之間的關系;(3)倉庫內有粉筆400盒,如果每個星期領出36盒,倉庫內余下的粉筆盒數(shù)y與星期數(shù)x之間的關系;(4)小林的爸爸為小林存了一份教育儲蓄,首次存入10000元,以后每個月存入500元,存入總錢數(shù)y(元)與月數(shù)x之間的關系.變式5.2寫出下列各題中x與y之間表達式，并判斷y是否為x的一次函數(shù)，是否為正比例函數(shù).(1)每盒鉛筆12支，售價2.4元，鉛筆售價y(元)與鉛筆支數(shù)x(支)之間的關系；

(2)一個長方形的面積是16平方厘米，它的一邊長y(厘米)與其鄰邊長x(厘米)的關系.

變式5.3用長為12米的竹籬笆圍成一個如圖所示的長方形的養(yǎng)雞場，養(yǎng)雞場一邊靠墻(足夠長)，另三邊用竹籬笆圍成，如果養(yǎng)雞場一邊長為x米，與其相鄰的另一邊長為y米.解：(3)由題意得y＋2x＝12，∴y＝－2x＋12.y是x的一次函數(shù)．某學校要建一塊長方形菜地供學生勞動實踐，菜地的一邊靠墻（墻足夠長），另外三邊用木欄圍成，木欄總長40m.如圖，設長方形的一邊長為

x

m，另一邊長為

y

m，當

x

在一定范圍內變化時，

y

隨

x

的變化而變化，則

y

與

x

之間滿足

（填“正比例函數(shù)關系”或“一次函數(shù)關系”）.（第7題）一次函數(shù)關系

1234567891011121314變式5.4某桶裝水銷售部每天的房租、人員工資等固定成本為200元，每桶水

的進價是5元.現(xiàn)在每桶水的銷售價格為8元，用

x

（桶）表示每天的銷售

數(shù)量，用

y

（元）表示每天的利潤（利潤＝總銷售額－固定成本－售出

水的成本）.（1）試寫出

y

與

x

之間的函數(shù)表達式.解：（1）

y

與

x

之間的函數(shù)表達式為

y

＝8

x

－5

x

－200＝3

x

－200.1234567891011121314變式5.5（2）若固定成本增加了5％，每桶水的進價增加了1元，求此時

y

與

x

之

間的函數(shù)表達式.解：（2）

y

與

x

之間的函數(shù)表達式為

y

＝8

x

－（5＋1）

x

－200×（1＋

5％）＝2

x

－210.1234567891011121314已知A、B兩地相距30km，B、C兩地相距48km，某人騎自行車以

12km/h的速度從A地出發(fā)，經過B地到達C地.設此人的騎車時間為

x

h，

與B地的距離為

y

km.（1）當此人在A、B兩地之間時，求

y

與

x

之間的函數(shù)表達式及自變量

x

的取值范圍.解：（1）由題意，得

y

＝30－12

x

（0≤

x

≤2.5）.（2）當此人在B、C兩地之間時，求

y

與

x

之間的函數(shù)表達式及自變量

x

的取值范圍.解：（2）由題意，得

y

＝12

x

－30（2.5≤

x

≤6.5）.1234567891011121314變式5.6

甲超市在端午節(jié)這天進行蘋果優(yōu)惠促銷活動，蘋果的標價為10元/千

克，如果一次購買4千克以上，那么超過4千克的部分按標價的6折售賣.（1）文文購買3千克蘋果需付

元；購買5千克蘋果需付

元.（2）設購買蘋果

x

千克，付費

y

元.求

y

關于

x

的函數(shù)表達式.

30

46

1234567891011121314變式5.7（3）當天，隔壁的乙超市也在進行蘋果優(yōu)惠促銷活動，同樣的蘋果的

標價也為10元/千克，且全部按標價的8折售賣.如果文文要購買10千克蘋

果，那么她在哪家超市購買更劃算？解：（3）文文在甲超市購買10千克蘋果需付6×10＋16＝76（元）；

文文在乙超市購買10千克蘋果需付10×10×0.8＝80（元）.∵

76＜80，

∴文文在甲超市購買更劃算.1234567891011121314甲、乙兩地相距100km，一輛汽車以每小時40km的速度從甲地開往乙地，t小時與乙地相距skm，s與t的函數(shù)關系式是

s＝100－40t

?；經過2h汽車與乙地的距離是

20

km

?；經過

2.1

?h，汽車與乙地相距16km.

s＝100－40t20

km2.1變式5.8據測試:擰不緊的水龍頭每秒鐘會滴下兩滴水，每滴水約0.05毫升.小明同學在洗手時，沒有把水龍頭擰緊，當小明離開x小時后水龍頭滴了y毫升水.你能寫出y與x之間的關系式嗎？y是x的一次函數(shù)嗎？解:因為1小時＝3600秒，所以y與x的關系式是y＝360x，是一次函數(shù).變式5.9容積為800升的水池內已貯水200升，若每分鐘注入的水量是15升，設池內的水量為Q(升)，注水時間為t(分鐘).(1)請寫出Q與t的函數(shù)關系式.解:(1)Q＝15t＋200(0≤t≤40)；(2)注水多長時間可以把水池注滿？解:(2)40分鐘；(3)當注水時間為0.2小時時，池中水量是多少？解:(3)0.2小時＝12分鐘，Q＝380(升).變式5.10寫出下列各題中x與y之間的關系式，并判斷y是否為x的一次函數(shù)，是否為正比例函數(shù).(1)小王每天記憶10個英語單詞，x天后他記憶的單詞總量為y個.解:(1)y＝10x，y是x的一次函數(shù)，也是正比例函數(shù).變式5.11(2)將一根長為100cm的鐵絲制作成一個長方形，其中一邊長為xcm，與其相鄰的另一邊長為ycm.解:(2)y＝50－x(0＜x＜50)，y是x的一次函數(shù)，但不是正比例函數(shù).（1）在速度為70km/h的運動中，路程

y

（km）與時間

x

（h）之間

的關系；解：（1）根據題意，可得

y

＝70

x

，

y

是

x

的一次函數(shù)（2）居民用電價格是0.53元/（千瓦·時），電費

y

（元）與用電量

x

（千瓦·時）之間的關系；解：（2）根據題意，可得

y

＝0.53

x

，

y

是

x

的一次函數(shù)寫出下列各題中

y

與

x

之間的函數(shù)表達式，并判斷

y

是否是

x

的一

次函數(shù).123456789101112變式5.12（4）某人每個月的收入為3

500元，這個人的總收入

y

（元）與工作時

間

x

（月）之間的關系.解：（4）根據題意，可得

y

＝3

500

x

，

y

是

x

的一次函數(shù)（3）汽車離A站4km，以40km/h的速度向遠離A站的方向行駛了

x

h，汽

車離A站的距離

y

（km）與時間

x

（h）之間的關系；解：（3）根據題意，可得

y

＝4＋40

x

，

y

是

x

的一次函數(shù)123456789101112

12.某市政府為了增強城鎮(zhèn)居民抵御大病風險的能力，積極完善城鎮(zhèn)居

民醫(yī)療保險制度，納入醫(yī)療保險的居民大病住院醫(yī)療費用的報銷比例標

準如下表：醫(yī)療費用范圍報銷比例標準不超過800元不予報銷超過800元且不超過3

000元的部分50％超過3

000元且不超過5

000元的部分60％超過5

000元的部分70％123456789101112變式5.13設享受醫(yī)保的某居民某次的大病住院醫(yī)療費用為

x

元，且800＜

x

≤3

000，按上述標準報銷后，該居民實際支出的金額為

y

元，求

y

關于

x

的

函數(shù)表達式.解：

y

＝800＋（1－50％）×（

x

－800）＝0.5

x

＋400123456789101112（1）有人發(fā)現(xiàn),在20~25oC時,蟋蟀每分鐘鳴叫次數(shù)c與溫度t（℃）有關,即c的值大約是t的7倍與35的差；c=7t-35(20≤t≤25)（2）某地電費的單價為0.8元/（kW·h），請用表達式表示電費y（元）與所用電量x（kW·h）之間的函數(shù)關系.y=0.8x變式5.14（3）某城市的市內電話的月收費額y（元）包括：月租費22元，撥打電話x分的計時費（按0.1元/分收?。?y=0.1x+22（x≥0）（4）把一個長10cm、寬5cm的長方形的長減少xcm,寬不變,長方形的面積y（cm2）隨x

的變化而變化.y=-5x+50下列變化過程中，y是x的正比例函數(shù)是()A．某村共有耕地，該村人均占有耕地y(單位：)隨該村人數(shù)x(單位：人)的變化而變化B．一天內，溫嶺市氣溫y(單位：)隨時間x(單位：時)的變化而變化C．汽車油箱內的存油y(單位：升)隨行駛時間x(單位：時)的變化而變化D．某人一年總收入y(單位：元)隨年內平均月收入x(單位：元)的變化而變化D變式5.15

下列各組變量的關系中，成正比例關系的有（

D

）A.人的身高與年齡B.汽車從甲地到乙地，所用時間與行駛速度C.正方形的面積與它的邊長D.圓的周長與它的半徑D1234567891011121314變式5.16下列問題中，變量y與x成一次函數(shù)關系的是(

)路程一定時，時間y和速度x

B.長10米的鐵絲折成長為y、寬為x的長方形

C.圓的面積y與它的半徑x

D.斜邊長為5的直角三角形的直角邊y和xB變式5.17新定義：[a，b]為一次函數(shù)y=ax+b(a≠0，a、b為實數(shù))的“關聯(lián)數(shù)”．若“關聯(lián)數(shù)”為[3，m-2]的一次函數(shù)是正比例函數(shù)，則點(1-m，1+m)在第____象限．解：∵“關聯(lián)數(shù)”為[3，m-2]的一次函數(shù)是正比例函數(shù)，∴y＝3x+m-2是正比例函數(shù)，∴m-2＝0，解得：m＝2，則1-m＝-1，1+m＝3，故點（1-m，1+m）在第二象限．練習6

規(guī)定：[

k

，

b