2024-2025學(xué)年上海市虹口區(qū)高三上學(xué)期11月期中數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷一、填空題（本大題共有12題,滿分54分,第1-6題每題4分,第7-12題每題5分）

1.已知集合,且,則實(shí)數(shù).

2.已知扇形的半徑是3,弧長(zhǎng)為6,則扇形圓心角的弧度數(shù)是.

3.*已知點(diǎn)是角終邊上一點(diǎn),若,則.

4.*已知，向量與的夾角為.向量在方向上的數(shù)量投影為.

5.已知直線,若,則實(shí)數(shù)的值為.

6.若有兩個(gè)復(fù)數(shù),滿足,則.

7.上海是一座魔幻都市，有著豐富的旅游資源。甲、乙兩人相約來(lái)到上海旅游，兩人分別從四個(gè)景點(diǎn)中隨機(jī)選擇一個(gè)景點(diǎn)游覽，甲、乙兩人恰好選擇同一景點(diǎn)的概率為.8.*若,則.

9.*已知函數(shù)的值域是，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.

10.中國(guó)剪紙是一種用剪刀或刻刀在紙上剪刻花紋的中國(guó)古老民間藝術(shù)之一.已知某剪紙的裁剪工藝如下:取一張半徑為1的圓形紙片,記為,在內(nèi)作內(nèi)接正方形,接著在該正方形內(nèi)作內(nèi)切圓,記為,并裁剪去該正方形與內(nèi)切圓之間的部分（如圖所示陰影部分），記為一次裁剪操作，，不斷重復(fù)上述裁剪操作，則被裁剪部分的面積之和的極限為.

11.為雙曲線右支上兩不同點(diǎn),則取值范圍是.

12.和的零點(diǎn)按從小到大順序可以分別構(gòu)成兩個(gè)等差數(shù)列，則所構(gòu)成的集合為.二、選擇題（本題共4小題，前2題每小題4分；后2題每小題5分，共18分）

13.*若,則是（）.

A.銳角三角形;B.直角三角形;C.鈍角三角形;D.無(wú)法確定.

14.將某學(xué)校一次物理測(cè)試學(xué)生的成績(jī)統(tǒng)計(jì)如下圖所示,則估計(jì)本次物理測(cè)試學(xué)生成績(jī)的平均分為（同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）（）.A.68;B.70;C.72;D.74.

15.*設(shè)與是兩個(gè)不同的冪函數(shù),記,則中的元素個(gè)數(shù)的可能是（）.

A.0、1、2、;B.1、2、3;C.1、2、3、4;D.0、1、2、;3.

16.已知定圓,點(diǎn)A是圓所在平面內(nèi)一定點(diǎn),點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn),若線段的中垂線交直線于點(diǎn)，則點(diǎn)的軌跡可能是：(1)橢圓；(2)雙曲線；(3)拋物線；(4)圓；(5)直線；(6)一個(gè)點(diǎn).其中所有可能的結(jié)果有（）.

A.2個(gè);B.3個(gè);C.4個(gè);D.5個(gè).

三、解答題.（本大題共5小題，滿分78分）

17.（本題滿分14分,第（1）題滿分6分，第（2）題滿分8分）如圖所示五面體中,四邊形為長(zhǎng)方形,平面和是全等的等邊三角形.（1）求證:;

（2）若已知,求該五面體的體積.

18.（本題滿分14分,第(1)題滿分6分,第(2)題滿分8分)

*設(shè)（常數(shù)）。

（1）為上的嚴(yán)格增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）設(shè)，若對(duì)于任意，都有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。

19.（本題滿分14分，第（1）題滿分2分，第（2）題滿分4分，第（3）題滿分8分）

仰暉樓有A、B兩部電梯。已知電梯每上一層需要5秒，電梯在某層樓停留時(shí)開(kāi)門到關(guān)門所花時(shí)間為10秒（人員均能在電梯開(kāi)關(guān)門時(shí)間內(nèi)完成進(jìn)出電梯和按樓層等操作）.某天清晨，樓上還沒(méi)有人，1樓已經(jīng)有若干人均欲乘坐電梯上樓，目的地分別是樓.現(xiàn)兩部電梯均恰好在1樓（兩部電梯互相獨(dú)立運(yùn)行，可以獨(dú)立開(kāi)關(guān)門，在1樓按下按鈕后將同時(shí)打開(kāi)門），且每部電梯容量足夠容納所有人.定義為：從A（B）電梯開(kāi)門時(shí)刻算起，到電梯內(nèi)最后一人到達(dá)目標(biāo)樓層后A（B）電梯門關(guān)閉為止，所花時(shí)間.記"運(yùn)輸完成時(shí)間".

（1）若所有人均乘坐一部電梯，求；

（2）為了研究的最小值，我們需要對(duì)電梯的"乘坐安排"作出一些合理假設(shè).例如：假設(shè)兩部電梯都有人乘坐。理由：分開(kāi)乘坐，比如去2層的人都坐電梯A，其余人坐電梯B，則均小于（1）中，故"運(yùn)輸完成時(shí)間"也小于（1）中，所以要使得最小，兩部電梯一定都有人乘坐.請(qǐng)你在此基礎(chǔ)上再提出1至2條關(guān)于電梯"乘坐安排"的合理假設(shè)，并簡(jiǎn)述作出這些假設(shè)的理由（若有多條假設(shè)，請(qǐng)按重要性從高到低寫(xiě)出最重要的兩條）；（3）求出最小值.

20.（本題滿分18分，第（1）題滿分4分，第（2）題滿分6分，第（3）題滿分8分）如圖，已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，離心率.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

（2）橢圓上任意點(diǎn)軸上一點(diǎn),若的最小值為,求實(shí)數(shù)的取值范圍;

（3）設(shè)是經(jīng)過(guò)右焦點(diǎn)的任一弦（不經(jīng)過(guò)點(diǎn)），直線與直線相交于點(diǎn)，記的斜率分別為,求證:成等差數(shù)列.

21.（本題滿分18分，第（1）題滿分4分，第（2）題滿分6分，第（3）題滿分8分）已知是定義在上的函數(shù)，滿足恒成立.數(shù)列滿足:，.

（1）若函數(shù),求實(shí)數(shù)的取值范圍;

（2）若函數(shù)是上的減函數(shù)，求證：對(duì)任意正實(shí)數(shù)，均存在，使得時(shí)，均有；

（3）求證："函數(shù)是上的增函數(shù)"是"存在，使得"的充分非必要條件。

【附加題】（共10分）世界上除了圓形的輪子之外，還有一些好事之徒制作了不少形狀的多邊形輪子．（1）如圖，平面直角坐標(biāo)系內(nèi)有一個(gè)邊長(zhǎng)為的點(diǎn)方形，其初始位置為，，，．①將整個(gè)正方形繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)首次旋轉(zhuǎn)到軸正半軸上停止；②再將整個(gè)正方形繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)首次選擇到軸正半軸上停止；③再將整個(gè)正方形繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)首次選擇到軸正半軸上停止；④再將整個(gè)正方形繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)首次選擇到軸正半軸上停止．我們將上述四個(gè)步驟依次操作一遍，稱為將正方形“滾動(dòng)”一周.為任點(diǎn)向軸正方向移動(dòng)100個(gè)單位長(zhǎng)度，需要將正方形“滾動(dòng)”_______周，在這個(gè)過(guò)程中，點(diǎn)經(jīng)過(guò)的路徑總長(zhǎng)度為_(kāi)_______個(gè)單位長(zhǎng)度；（2）如果制造一個(gè)正邊形的“輪子”.該正邊形的中心到任意一個(gè)頂點(diǎn)的距離為1．共將該正邊形的"輪子"振動(dòng)一周，求點(diǎn)經(jīng)過(guò)的路徑總長(zhǎng)度；（3）根據(jù)（2）中結(jié)果猜想：半徑為1的圓形輪子在平地上滾動(dòng)一周，則圓周上任意一點(diǎn)經(jīng)過(guò)的路徑總長(zhǎng)度是多少？（不必說(shuō)明理由）

2024-2025學(xué)年上海市虹口區(qū)高三上學(xué)期11月期中數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷一、填空題（本大題共有12題,滿分54分,第1-6題每題4分,第7-12題每題5分）

1.已知集合,且,則實(shí)數(shù).

【正確答案】-1

2.已知扇形的半徑是3,弧長(zhǎng)為6,則扇形圓心角的弧度數(shù)是.

【正確答案】2

3.*已知點(diǎn)是角終邊上一點(diǎn),若,則.

【正確答案】

4.*已知，向量與的夾角為.向量在方向上的數(shù)量投影為.

【正確答案】1

5.已知直線,若,則實(shí)數(shù)的值為.

【正確答案】-1

6.若有兩個(gè)復(fù)數(shù),滿足,則.

【正確答案】，同理均為的根，且顯然為不等的兩共軛虛根，所以.

7.上海是一座魔幻都市，有著豐富的旅游資源。甲、乙兩人相約來(lái)到上海旅游，兩人分別從四個(gè)景點(diǎn)中隨機(jī)選擇一個(gè)景點(diǎn)游覽，甲、乙兩人恰好選擇同一景點(diǎn)的概率為.

【正確答案】8.*若,則.

【正確答案】

對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得，；令，得，整理得.因此，故.

9.*已知函數(shù)的值域是，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.

【正確答案】

10.中國(guó)剪紙是一種用剪刀或刻刀在紙上剪刻花紋的中國(guó)古老民間藝術(shù)之一.已知某剪紙的裁剪工藝如下:取一張半徑為1的圓形紙片,記為,在內(nèi)作內(nèi)接正方形,接著在該正方形內(nèi)作內(nèi)切圓,記為,并裁剪去該正方形與內(nèi)切圓之間的部分（如圖所示陰影部分），記為一次裁剪操作，，不斷重復(fù)上述裁剪操作，則被裁剪部分的面積之和的極限為.【正確答案】

設(shè)的半徑為,則,的半徑為,即,可知每一次裁剪部分的面積構(gòu)成等比數(shù)列,公比為.第一次裁剪的面積為,故被裁剪掉的總面積的極限為.

11.為雙曲線右支上兩不同點(diǎn),則取值范圍是.

【正確答案】

方法一：

取等條件是.顯然該式可以取到無(wú)限大.

方法二：，所以,取等條件是.

方法三：設(shè)直線AB方程為與雙曲線右支交于兩點(diǎn)，聯(lián)立得

方法四：雙曲線圖像與函數(shù)圖像全等.

在上取兩點(diǎn),可知.時(shí),取等條件為

12.和的零點(diǎn)按從小到大順序可以分別構(gòu)成兩個(gè)等差數(shù)列，則所構(gòu)成的集合為.【正確答案】.

二、選擇題（本題共4小題，前2題每小題4分；后2題每小題5分，共18分）

13.*若,則是（）.

A.銳角三角形;B.直角三角形;C.鈍角三角形;D.無(wú)法確定.

【正確答案】C

14.將某學(xué)校一次物理測(cè)試學(xué)生的成績(jī)統(tǒng)計(jì)如下圖所示,則估計(jì)本次物理測(cè)試學(xué)生成績(jī)的平均分為（）（同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）.A.68;B.70;C.72;D.74.

【正確答案】C

依題意，，解得，則平均分為.故選：C.

15.*設(shè)與是兩個(gè)不同的冪函數(shù),記,則中的元素個(gè)數(shù)的可能是（）.

A.0、1、2、;B.1、2、3;C.1、2、3、4;D.0、1、2、;3.

【正確答案】B

16.已知定圓,點(diǎn)A是圓所在平面內(nèi)一定點(diǎn),點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn),若線段的中垂線交直線于點(diǎn)，則點(diǎn)的軌跡可能是：(1)橢圓；(2)雙曲線；(3)拋物線；(4)圓；(5)直線；(6)一個(gè)點(diǎn).其中所有可能的結(jié)果有（）.

A.2個(gè);B.3個(gè);C.4個(gè);D.5個(gè).

【正確答案】C(1)橢圓（點(diǎn)A在圓內(nèi)，不包括圓心）(2)雙曲線（點(diǎn)A在圓外）(4)圓（點(diǎn)A恰為圓心）(6)一個(gè)點(diǎn)（點(diǎn)A在圓上）

三、解答題.（本大題共5小題，滿分78分）

17.（本題滿分14分,第（1）題滿分6分，第（2）題滿分8分）如圖所示五面體中,四邊形為長(zhǎng)方形,平面和是全等的等邊三角形.（1）求證:;

（2）若已知,求該五面體的體積.【正確答案】（1）見(jiàn)解析（2）（1）五面體中，因?yàn)槠矫?平面,平面平面,所以.

（2）過(guò)點(diǎn)作,作,垂足分別為,過(guò)點(diǎn)作,作,垂足分別為,連接,如圖,取中點(diǎn),連接,由知,,因?yàn)?且是平面內(nèi)兩相交直線,所以平面,

因?yàn)槠矫?所以,又是平面內(nèi)兩相交直線,

所以平面,在中,,可得,∴四棱錐和的體積均為,三棱柱的體積,所以,該五面體的體積為.

18.（本題滿分14分,第(1)題滿分6分,第(2)題滿分8分)

*設(shè)（常數(shù)）。

（1）為上的嚴(yán)格增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）設(shè)，若對(duì)于任意，都有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

【正確答案】（1）（2）

（1）求導(dǎo)可得.在上恒成立,所以等號(hào)不同時(shí)取到,故實(shí)數(shù)的取值范圍是

（2）不妨設(shè),則由(1)可知函數(shù)在上嚴(yán)格增,故.此時(shí)，不等式等價(jià)于。

令.由上一段的論述，函數(shù)在是嚴(yán)格增函數(shù)，

故在上恒成立,只需.

求導(dǎo)可得

解得.

19.（本題滿分14分，第（1）題滿分2分，第（2）題滿分4分，第（3）題滿分8分）

仰暉樓有A、B兩部電梯。已知電梯每上一層需要5秒，電梯在某層樓停留時(shí)開(kāi)門到關(guān)門所花時(shí)間為10秒（人員均能在電梯開(kāi)關(guān)門時(shí)間內(nèi)完成進(jìn)出電梯和按樓層等操作）.某天清晨，樓上還沒(méi)有人，1樓已經(jīng)有若干人均欲乘坐電梯上樓，目的地分別是樓.現(xiàn)兩部電梯均恰好在1樓（兩部電梯互相獨(dú)立運(yùn)行，可以獨(dú)立開(kāi)關(guān)門，在1樓按下按鈕后將同時(shí)打開(kāi)門），且每部電梯容量足夠容納所有人.定義為：從A（B）電梯開(kāi)門時(shí)刻算起，到電梯內(nèi)最后一人到達(dá)目標(biāo)樓層后A（B）電梯門關(guān)閉為止，所花時(shí)間.記"運(yùn)輸完成時(shí)間".

（1）若所有人均乘坐一部電梯，求；

（2）為了研究的最小值，我們需要對(duì)電梯的"乘坐安排"作出一些合理假設(shè).例如：假設(shè)兩部電梯都有人乘坐。理由：分開(kāi)乘坐，比如去2層的人都坐電梯A，其余人坐電梯B，則均小于（1）中，故"運(yùn)輸完成時(shí)間"也小于（1）中，所以要使得最小，兩部電梯一定都有人乘坐.請(qǐng)你在此基礎(chǔ)上再提出1至2條關(guān)于電梯"乘坐安排"的合理假設(shè)，并簡(jiǎn)述作出這些假設(shè)的理由（若有多條假設(shè)，請(qǐng)按重要性從高到低寫(xiě)出最重要的兩條）；（3）求出最小值.

【正確答案】（1）145秒（2）見(jiàn)解析（3）95秒（1）包括1樓，電梯共開(kāi)關(guān)門10次數(shù)，上升9層，所以完成運(yùn)輸所花時(shí)間秒。

（2）假設(shè)一：目的地為同一層樓的人都坐同一部電梯，即A、B電梯所到樓層不重疊.理由：將目的地為同一層樓的人調(diào)整到同一部電梯可以使得其中一部電梯至少節(jié)約10秒，這樣調(diào)整后方案的"運(yùn)輸完成時(shí)間"必然不大于原方案.

假設(shè)二：不妨設(shè)A電梯到達(dá)10層，則可假設(shè)B電梯停留層數(shù)均小于A電梯停留層數(shù).

理由：記B電梯最高到達(dá)樓，若存在A電梯到達(dá)樓，且的情況.兩部電梯交換這兩層的人，則不變，至少減少5秒，新方案"運(yùn)輸完成時(shí)間"必然不大于原方案.

（3）設(shè)A電梯到達(dá)樓層為層，，B電梯到達(dá)樓層為層.時(shí)，取得最小值95秒，即A電梯目的地為710層，B電梯目的地為層.

20.（本題滿分18分，第（1）題滿分4分，第（2）題滿分6分，第（3）題滿分8分）如圖，已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，離心率.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

（2）橢圓上任意點(diǎn)軸上一點(diǎn),若的最小值為,求實(shí)數(shù)的取值范圍;

（3）設(shè)是經(jīng)過(guò)右焦點(diǎn)的任一弦（不經(jīng)過(guò)點(diǎn)），直線與直線相交于點(diǎn)，記的斜率分別為,求證:成等差數(shù)列.【正確答案】（1）（2）（3）見(jiàn)解析（1）由題意，點(diǎn)在橢圓上得，可得①

又由,所以②，由①②聯(lián)立且,可得,

故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）設(shè)，令,對(duì)稱軸為,因?yàn)?當(dāng),即,,故符合題意;當(dāng),即,

所以,解得,不符合題意;

當(dāng),即,,解得；

所以實(shí)數(shù)的取值范圍為:.

（3）由（1）知，橢圓的方程為，可得橢圓右焦點(diǎn)坐標(biāo)，顯然直線斜率存在，設(shè)的斜率為，則直線的方程為，聯(lián)立方程組,整理得,

易知,設(shè),則有,由直線的方程為,令,可得,即,從而,

又因?yàn)楣簿€,則有,即有,所以將,代入得,又由，所以，即成等差數(shù)列.

21.（本題滿分18分，第（1）題滿分4分，第（2）題滿分6分，第（3）題滿分8分）已知是定義在上的函數(shù)，滿足恒成立.數(shù)列滿足:，.

（1）若函數(shù),求實(shí)數(shù)的取值范圍;

（2）若函數(shù)是上的減函數(shù)，求證：對(duì)任意正實(shí)數(shù)，均存在，使得時(shí)，均有；

（3）求證："函數(shù)是上的增函數(shù)"是"存在，使得"的充分非必要條件。

【正確答案】（1）（2）見(jiàn)解析（3）見(jiàn)解析（1）由，即對(duì)一切恒成立，所以