江蘇省南通市匯龍中學(xué)2024-2025學(xué)年高二（上）數(shù)學(xué)第17周階段性訓(xùn)練模擬練習(xí)一．選擇題（共8小題）1．已知數(shù)列{an}滿足，且a2＝1，則a6＝（）A．﹣1 B．0 C．1 D．22．已知等差數(shù)列{an}的首項為10，公差為﹣2，則數(shù)列{an}的前n項和的最大值為（）A． B．30 C．80 D．不存在3．已知橢圓的一個焦點是F，過原點的直線與C相交于點A，B，△ABF的面積是20，則|AB|＝（）A．5 B． C． D．104．已知MN是圓O：x2+y2＝4的一條弦，∠MON＝60°，P是MN的中點．當(dāng)弦MN在圓O上運動時，直線l：y＝x﹣4上總存在兩點A，B，使得∠APB為鈍角，則|AB|的取值范圍是（）A． B． C． D．5．若方程表示焦點在y軸上的橢圓，則m的取值范圍為（）A． B． C．m＜﹣3 D．m＞26．已知橢圓，直線l與橢圓在第二象限交于A，B兩點，與兩坐標(biāo)軸分別交于C，D兩點，且|AC|＝|BD|，則直線l的斜率為（）A． B． C． D．7．若直線x+my﹣1＝0被圓C：（x﹣a+1）2+（y+a）2＝4（a∈R）截得的弦長為定值，則實數(shù)m的值為（）A．﹣1 B．0 C．1 D．28．設(shè)A，B為雙曲線上兩點，下列四個點中，可為線段AB中點的是（）A．（1，1） B．（﹣1，2） C．（2，﹣3） D．（﹣1，﹣3）二．多選題（共3小題）（多選）9．設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，則數(shù)列{an}為常數(shù)列（各項均為同一個常數(shù)的數(shù)列）的一個充分條件是（）A．Sn＝n B．Sn+1＝Sn+1 C．Sn＝nan D．Sn+1＝2Sn﹣Sn﹣1（n≥2），a1＝a2（多選）10．已知圓C1：x2+y2﹣2x＝0與圓C2：（x﹣2）2+（y﹣m）2＝4（m＞0），則（）A．過點C1作圓C2的切線只有1條，則 B．若圓C1與圓C2有且只有2條公切線，則0＜m＜3 C．當(dāng)m＝2時，兩圓的一條公切線方程為3x﹣4y﹣8＝0 D．當(dāng)m＝2時，兩圓的公共弦長為（多選）11．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知曲線C：（x2+y2）2＝8（y2﹣x2），點P在曲線C上，則下列結(jié)論正確的是（）A．曲線C關(guān)于原點對稱 B．直線y＝2x與曲線C有3個公共點 C．點P的縱坐標(biāo)的取值范圍是[﹣2，2] D．|PO|的最大值為三．填空題（共5小題）12．定義：一般地，如果一個數(shù)列從第二項起，每一項加上它的前一項所得的和都等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等和數(shù)列，這個常數(shù)叫做等和數(shù)列的公和．已知數(shù)列{an}是等和數(shù)列，a5＝﹣1，a10＝8，則公和為．13．已知拋物線C：x2＝4y的焦點為F，Q為圓M：x2+（y﹣5）2＝4上的動點，點A（0，4），則＝；若P為C上的動點，則的最小值為．14．已知曲線E：x2+y2﹣xy＝6是橢圓，則該橢圓的離心率為；P為E上任意一點，P與點之間的距離的最大值為．15．已知拋物線C：y2＝12x的焦點為F定點A（6，4），B為C上一動點，則△ABF周長的最小值為．16．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點A（x1，y1），B（x2，y2），定義d（A，B）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|為“曼哈頓距離”．若d（O，P）＝2，則點P的軌跡所圍成圖形的面積為，若橢圓C：+y2＝1（a＞0）上有且僅有8個點P滿足d（O，P）＝2，則橢圓C的離心率的取值范圍是．四．解答題（共9小題）17．已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a2＝4，S5＝30．（1）求數(shù)列{an}的通項公式；（2）記，n∈N*，若b1，b2，b3成等差數(shù)列，求c并證明{bn}為等差數(shù)列．18．已知P為圓M：（x+1）2+y2＝16上任意一點，點N（1，0），線段PN的垂直平分線與PM交于點Q，記點Q的軌跡為C．（1）求C的方程；（2）過點N作直線l（與x軸不重合）與C相交于點D，E，直線l與y軸交于點B，，求l的方程．19．已知等軸雙曲線的左、右焦點分別F1，F(xiàn)2，且焦距為，A，B分別是Γ在第二象限和第一象限上的一點，且AF1∥BF2．（1）求Γ的方程；（2）若直線AB的斜率為，求直線AF1的斜率；（3）若四邊形AF1F2B的面積為，求直線AF1的方程．20．記等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，公差為d1（d1≠0）．（1）證明：Sn是關(guān)于n的不含常數(shù)項的二次函數(shù)；（2）等差數(shù)列{bn}的公差為d2，且Sn＝anbn．①求{bn}的通項公式；②記數(shù)列{cn}的前n項和為Tn，是否存在d1∈Z，k∈N*，使得？若存在，求d1，k；若不存在，請說明理由．21．已知橢圓C：＝1（a＞b＞0）的右焦點為，且離心率為．（1）求橢圓C的方程；（2）直線l經(jīng)過F且與橢圓C交于M，N兩點，證明：當(dāng)且僅當(dāng)直線l與圓x2+y2＝b2相切時，|MN|＝．22．如圖，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱長均為2，E，F(xiàn)分別是AC，CC1的中點．（1）證明：平面BEF⊥平面AA1C1C；（2）求直線A1B與平面BEF所成角的余弦值．23．已知雙曲線C：﹣y2＝1的左、右焦點分別為F1、F2．（1）若直線l：x﹣2y+2＝0與雙曲線C交于P，Q兩點，求線段PQ的長；（2）若雙曲線C上存在兩點A，B，滿足，求直線F1A的斜率．24．若動點P到點F（0，1）的距離比它到直線y＝﹣2的距離小1．（1）求動點P的軌跡C的方程；（2）過軌跡C上一點A作直線l交y軸正半軸于點D，且|FA|＝|FD|．若直線l1∥l，直線l1與軌跡C有且僅有一個公共點E，證明直線AE過定點，并求出定點坐標(biāo)．25．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：＝1（a＞b＞0）的短軸長為2，離心率為．（1）求C的方程；（2）如圖，過點O的直線l（異于y軸）與C交于點P，Q，過左焦點F作直線PQ的垂線交圓x2+y2＝a2于點M，N，垂足為T．①若點A（﹣4，0），設(shè)直線AM，AN的斜率分別為k1，k2，證明：為定值；②記△PTN，△QTM的面積分別為S1，S2，求的取值范圍．

參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題）1．【解答】解：由，且a2＝1，a3＝a2+1＝2，a4＝﹣a3+1＝﹣1，a5＝a4+1＝﹣1+1＝0，a6＝﹣a5+1＝0+1＝1．故選：C．2．【解答】解：由題意可知：an＝10﹣2（n﹣1）＝12﹣2n，且數(shù)列{an}為遞減數(shù)列，當(dāng)n≤5時，an＞0；當(dāng)n＝6時，an＝0；當(dāng)n≥7時，an＜0；所以數(shù)列{an}的前n項和的最大項數(shù)為5或6，最大值為S5＝5a3＝30．故選：B．3．【解答】解：由題可得c2＝45﹣20＝25，故c＝5，則|OF|＝5，因為△ABF的面積為20，所以△AOF面積為10，設(shè)A（xA，yA），則：|OF|?|xA|＝10，解得：|x4|＝4，將|x4|＝4代入方程中，解得：|yA|＝3，故，則|AB|＝2|OA|＝10．故選：D．4．【解答】解：因為P為MN的中點，所以O(shè)P⊥MN，又因為∠MON＝60°，所以三角形OMN為正三角形，所以|OP|＝，即點P在以O(shè)為圓心，以1為半徑的圓上，點P所在圓的方程為x2+y2＝3，要使得∠APB為鈍角恒成立，則點P所在的圓在以AB為直徑的圓的內(nèi)部，而AB在直線l：y＝x﹣4上，C到直線l：y＝x﹣4的距離d＝＝2，所以以AB為直徑的圓的半徑的最小值為r＝2，所以AB的最小值為2r＝4．此時∠APB為直角，所以|AB|的取值范圍是（4，+∞）．故選：D．5．【解答】解：方程表示焦點在y軸上的橢圓，則3+m＞2﹣m＞0，解得．故選：B．6．【解答】解：由直線l與橢圓在第二象限交于A，B兩點知，直線的斜率k存在且k＞0，設(shè)直線方程為y＝kx+b（k＞0），則，D（0，b），設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），其中點為M（x0，y0），如圖，則有，兩式相減可得，即，因為|AC|＝|BD|，所以M也是CD的中點，所以k，解得．故選：A．7．【解答】解：因為圓C：（x﹣a+1）2+（y+a）2＝4（a∈R）的圓心為（a﹣1，﹣a），半徑為2，要使弦長為定值，則需圓心到直線的距離為定值，即為定值，所以m﹣1＝0，解得m＝1．故選：C．8．【解答】解：因為雙曲線方程為，所以a＝1，b＝2，，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），此時，，兩式相減并整理得，因為，所以≠±2，因為點（﹣1，2）對應(yīng)，故選項B錯誤；點（2，4）對應(yīng)，故選項C錯誤；點（1，1）對應(yīng)，所以，此時直線AB的方程為y﹣1＝4（x﹣1），即y＝4x﹣3，聯(lián)立，消去y并整理得﹣12x2+24x﹣13＝0，此時Δ＝242﹣4×12×13＝﹣48＜0，所以方程組無解，故選項A錯誤；因為點（﹣1，﹣3）對應(yīng)，所以，此時直線AB的方程為，即，聯(lián)立，消去y并整理得20x2+40x﹣61＝0，此時Δ＝402+4×20×61＝6480＞0，故選項D正確．故選：D．二．多選題（共3小題）9．【解答】解：根據(jù)題意，依次分析選項：對于A，若Sn＝n，當(dāng)n＝1時，a1＝S1＝1，當(dāng)n≥2時，an＝Sn﹣Sn﹣1＝1，則有an＝1，數(shù)列{an}為常數(shù)列，符合題意；對于B，數(shù)列{an}的通項公式為an＝，滿足Sn+1＝Sn+1，但數(shù)列{an}不是常數(shù)列，不符合題意；對于C，若Sn＝nan，則Sn﹣1＝（n﹣1）an﹣1，（n≥2）則有Sn﹣Sn﹣1＝nan﹣（n﹣1）an﹣1，變形可得nan＝nan﹣1，即an＝an﹣1，（n≥2），故數(shù)列{an}為常數(shù)列，符合題意；對于D，若Sn+1＝2Sn﹣Sn﹣1（n≥2），變形可得Sn+1﹣Sn＝Sn﹣Sn﹣1（n≥2），即an＝an﹣1，（n≥2），故數(shù)列{an}為常數(shù)列，符合題意．故選：ACD．10．【解答】解：圓C1的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x﹣1）2+y2＝1，圓心C1（1，0），半徑為r1＝1，圓，圓心C2（2，m），半徑為r2＝2，對于A選項，若過點C1作圓C2的切線只有1條，則圓心C1在圓C2上，則有（1﹣2）2+m2＝4，因為m＞0，解得，故A正確；對于B選項，若圓C1與圓C2有且只有2條公切線，則兩圓相交，且，由題意可得r2﹣r1＜|C1C2|＜r1+r2，即，因為m＞0，解得，故B錯誤；對于C選項，當(dāng)m＝2時，圓C2的方程為（x﹣2）2+（y﹣2）2＝4，圓心為C2（2，2），半徑為r2＝2，圓心C1到直線3x﹣4y﹣8＝0的距離為，圓心C2到直線3x﹣4y﹣8＝0的距離為，故當(dāng)m＝2時，兩圓的一條公切線方程為3x﹣4y﹣8＝0，故C正確；對于D選項，當(dāng)m＝2時，由B選項可知，兩圓相交，將兩圓方程作差可得x+2y﹣2＝0，此時兩圓的相交弦所在直線的方程為x+2y﹣2＝0，圓心C1到直線x+2y﹣2＝0的距離為，所以兩圓的公共弦長為，故D錯誤．故選：AC．11．【解答】解：因為曲線C：（x2+y2）2＝8（y2﹣x2），此時點（x，y），（﹣x，﹣y）均滿足方程（x2+y2）2＝8（y2﹣x2），所以曲線C關(guān)于原點對稱，故選項A正確；聯(lián)立，消去y并整理得x2（25x2﹣24）＝0，解得x＝0或，所以直線y＝2x與曲線C有3個公共點，故選項B正確；因為曲線C：（x2+y2）2＝8（y2﹣x2），整理得x4+（2y2+8）x2+y4﹣8y2＝0，令t＝x2，t≥0，此時t2+（2y2+8）t+y4﹣8y2＝0有非負(fù)根，對稱軸，當(dāng)t＝0時，02+（2y2+8）×0+y4﹣8y2＝y(tǒng)4﹣8y2＝y(tǒng)2（y2﹣8）≤0，0≤y2≤8，解得，故選項C錯誤；令s＝x2+y2，此時x2＝y(tǒng)2﹣s，代入（x2+y2）2＝8（y2﹣x2）中，整理得s2+8s＝16y2∈[0，128]，因為y＝s2+8s是開口向上的二次函數(shù)，對稱軸s＝﹣4，所以y＝s2+8s在[0，+∞）上單調(diào)遞增，若s2+8s＝128，解得s＝8或s＝﹣16（舍去），所以s的最大值為8，則的最大值為，故選項D正確．故選：ABD．三．填空題（共5小題）12．【解答】解：由數(shù)列{an}是等和數(shù)列，設(shè)公和為t，可得an+an+1＝t，即有an+1+an+2＝t，則an+2＝an，即有數(shù)列{an}是最小正周期為2的數(shù)列，由a5＝﹣1，a10＝8，可得a1＝﹣1，a2＝8，則t＝a1+a2＝7．故答案為：7．13．【解答】解：拋物線C：x2＝4y的焦點為F（0，1），Q為圓M：x2+（y﹣5）2＝4上的動點，設(shè)為（x，y），點A（0，4），則＝＝＝＝．可得|QA|＝|QF|，如圖，作PN垂直直線y＝﹣1于N，直線y＝﹣1交y軸于B，則＝|PN|+|PQ|+|QA|≥|AB|＝5，當(dāng)且僅當(dāng)A、Q、P、N四點在AB線段時，取等號．故答案為：；5．14．【解答】解：E：x2+y2﹣xy＝6中，用（y，x）替換（x，y），方程不變，所以橢圓E關(guān)于y＝x對稱，用（﹣y，﹣x）替換（x，y），方程不變，所以橢圓E關(guān)于y＝﹣x對稱，由，解得橢圓E的長軸頂點：，由，解得橢圓E的短軸頂點：，所以，所以，P與點之間的距離的最大值為．故答案為：．15．【解答】解：如圖：設(shè)B1為拋物線上的任意一點，過B，B1作準(zhǔn)線的垂線交點分別為N，M，F(xiàn)（3，0），點A（6，4）在C的內(nèi)部，若點B是拋物線C上的一個動點，|BN|＝|BF|，|AN|≤|B1F|+|B1M|，△ABF周長的最小值為：|AN|+|AF|＝6+3+＝14．故答案為：14．16．【解答】解：設(shè)P（x，y），則根據(jù)題意可得d（O，P）＝|x|+|y|＝2，∴點P的軌跡方程為|x|+|y|＝2，令x＝0，可得y＝±2；令y＝0，可得x＝±2，∴作出其圖形如圖所示：∴點P的軌跡所圍成圖形為邊長為的正方形，∴點P的軌跡所圍成圖形的面積為＝8；根據(jù)P點的軌跡方程及圖形可知：點P的軌跡所圍成圖形關(guān)于x軸對稱，也關(guān)于y軸對稱，也關(guān)于原點中心對稱，又橢圓C：+y2＝1（a＞0）的圖形也x軸對稱，關(guān)于y軸對稱，關(guān)于原點中心對稱，且橢圓C：+y2＝1（a＞0）上有且僅有8個點P滿足d（O，P）＝2，∴當(dāng)x≥0，y≥0時，P的軌跡對應(yīng)的直線：x+y＝2與橢圓C：+y2＝1（a＞0）相交，且a＜2，聯(lián)立，可得（a2+1）y2﹣4y+4﹣a2＝0，∴Δ＝16﹣4（a2+1）（4﹣a2）＞0，∴a4﹣3a2＞0，∴a2＞3，又0＜a＜2，∴＜a＜2，∴橢圓C：+y2＝1（a＞0）中，長半軸長a＞，短半軸長b＝1，∴半焦距c＝，∴橢圓C的離心率為＝＝，又a2∈（3，4），∴橢圓C的離心率的取值范圍是（，）．故答案為：8；（，）．四．解答題（共9小題）17．【解答】解：（1）因為等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a2＝4，S5＝30．設(shè)公差為d，則，解得a1＝d＝2，所以an＝a1+（n﹣1）d＝2n；證明：（2）由（1）可得Sn＝na1+d＝n2+n，所以＝，所以b1＝，b2＝，b3＝，由b1，b2，b3成等差數(shù)列，可得2×＝+，解得c＝0或c＝1，當(dāng)c＝0時，bn＝＝n+1，可得bn+1﹣bn＝1，故{bn}為等差數(shù)列；當(dāng)c＝1時，bn＝＝n，可得bn+1﹣bn＝1，故{bn}為等差數(shù)列．18．【解答】解：（1）由題意可知：M：（x+1）2+y2＝16的圓心為M（﹣1，0），半徑為4，且|QP|＝|QN|，則|QM|+|QN|＝|QM|+|QP|＝|PM|＝4＞2＝|MN|，可知點Q的軌跡是以M，N為焦點的橢圓，則，所以C的方程為；（2）因為點N（1，0）在橢圓內(nèi)部，可知直線l與橢圓必相交，設(shè)直線l：x＝my+1（m≠0），D（x1，y1），E（x2，y2），則，聯(lián)立方程，消去x可得（3m2+4）y2+6my﹣9＝0，則，又因為，若，則，即，可得，解得，所以l的方程為，即．19．【解答】解：（1）由題意可知：，解得，所以雙曲線Γ的方程為x2﹣y2＝1．（2）由（1）可知：，，設(shè)直線AB：x＝3y+m（m＜0），A（x1，y1），B（x2，y2），聯(lián)立方程，消去x可得8y2+6my+m2﹣1＝0，則Δ＝36m2﹣32（m2﹣1）＝4m2+32＞0，可得m，，因為，，若AF1∥BF2，則1，即，整理可得，又因為，可得，解得，此時8y2+6my+m2﹣1＝0即為，解得y＝或y＝（舍去），此時，即，所以直線AF1的斜率．（3）A（x1，y1），B（x2，y2），則，設(shè)直線AF1的傾斜角為θ∈[0，π），則，可得，解得|．同理可得|BF2|＝，此時梯形AF1F2B的高為|，可知梯形AF1F2B的面積＝＝＝2．整理可得，解得（舍去），可知θ＝或θ＝，則直線AF1的斜率＝，所以直線AF1的方程，．20．【解答】解：（1）證明：因為等差數(shù)列{an}的公差為d1（d1≠0），由題意可得，則二次項系數(shù)，且常數(shù)項為0，所以Sn是關(guān)于n的不含常數(shù)項的二次函數(shù)．（2）①由題意可知：Sn＝anbn，即＝，可得，解得，或，若，，an＝1+d1（n﹣1），若，則，an＝nd1，綜上所述：或；②因為，，an＝1+d1（n﹣1）時，若d1∈Z，cn∈Z，則Tk∈Z，不合題意；，an＝nd1時，若k為偶數(shù)，則Tk＝（a1+a3+?+ak﹣1）+（b2+b4+?+bk）＝，因為k為偶數(shù)，則k＝4n+2或k＝4n+4，n∈N*，若k＝4n+4，n∈N*，則，即Tk∈Z，不合題意；若k＝4n+2，則Tk＝，整理可得，可知2n+1＝1，13，169，代入檢驗可得僅n＝0，d1＝83，k＝2成立；若k為奇數(shù)，則Tk＝（a1+a3+?+ak）+（b2+b4+?+bk﹣1）＝，因為k為奇數(shù)，則k＝4m+3或k＝4m+1，m∈N*，若k＝4m+1，m∈N*，則，即Tk∈Z，不合題意；若k＝4m+3，m∈N*，則，整理可得，顯然為偶數(shù)，方程無解，不合題意；綜上所述：d1＝83，k＝2．21．【解答】解：（1）由題意可知，，又，則，所以b2＝a2﹣c2＝1，所以橢圓C的方程：；（2）證明：當(dāng)直線l斜率不存在時，與圓x2+y2﹣1不相切，且此時，當(dāng)直線l斜率存在時，設(shè)l：，即：，聯(lián)立，化簡得，設(shè)M（x1，y1）N（x2，y2），則，，所以＝＝，令，解得：k＝±1，所以直線l：或，此時圓心到直線l的距離或，所以當(dāng)時，直線l與圓x2+y2＝b2相切，當(dāng)直線與圓y2+y2＝b2相切時，，解得k2＝1，此時|MN|＝＝，綜上所述：當(dāng)且僅當(dāng)直線l與圓x2+y2＝b2相切時，．22．【解答】（1）證明：因為直三棱柱ABC﹣AB1C的所有棱長均為2，E，F(xiàn)分別是AC，CC1的中點，所以BE⊥AC，AA1⊥平面ABC，因為BE?平面ABC，所以AA1⊥BE，因為AC∩AA1＝A，AC，AA1?平面AA1C1C1，所以BE⊥平面AA1C1C，因為BE?平面BEF，所以平面BEF⊥平面AA1C1C；（2）解：取A1C1的中點M，連接EM，則EB，EC，EM兩兩垂直，以EB，EC，EM所在的直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，易知，A1（0，﹣1，2），E（0，0，0