2025屆江蘇省淮安市第一山中學高三第二次診斷性檢測數學試卷考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知函數，若，則的最小值為（）參考數據：A． B． C． D．2．已知圓關于雙曲線的一條漸近線對稱，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．3．已知等差數列的前13項和為52，則（）A．256 B．-256 C．32 D．-324．已知復數，，則（）A． B． C． D．5．已知函數，的圖象與直線的兩個相鄰交點的距離等于，則的一條對稱軸是（）A． B． C． D．6．已知F是雙曲線（k為常數）的一個焦點，則點F到雙曲線C的一條漸近線的距離為（）A．2k B．4k C．4 D．27．已知等差數列的前項和為，，，則（）A．25 B．32 C．35 D．408．已知等差數列的公差為-2，前項和為，若，，為某三角形的三邊長，且該三角形有一個內角為，則的最大值為（）A．5 B．11 C．20 D．259．已知正方體的棱長為2，點在線段上，且，平面經過點，則正方體被平面截得的截面面積為（）A． B． C． D．10．已知點(m,8)在冪函數的圖象上，設，則（）A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．a＜c＜b11．定義運算，則函數的圖象是（）．A． B．C． D．12．設拋物線的焦點為F,拋物線C與圓交于M,N兩點,若,則的面積為()A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知雙曲線的一條漸近線方程為，則________．14．現有5人要排成一排照相，其中甲與乙兩人不相鄰，且甲不站在兩端，則不同的排法有____種.（用數字作答）15．某校名學生參加軍事冬令營活動，活動期間各自扮演一名角色進行分組游戲，角色按級別從小到大共種，分別為士兵、排長、連長、營長、團長、旅長、師長、軍長和司令.游戲分組有兩種方式，可以人一組或者人一組.如果人一組，則必須角色相同；如果人一組，則人角色相同或者人為級別連續(xù)的個不同角色.已知這名學生扮演的角色有名士兵和名司令，其余角色各人，現在新加入名學生，將這名學生分成組進行游戲，則新加入的學生可以扮演的角色的種數為________.16．在中，內角所對的邊分別為，若，的面積為，則_______，_______．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數（，）滿足下列3個條件中的2個條件：①函數的周期為；②是函數的對稱軸；③且在區(qū)間上單調.（Ⅰ）請指出這二個條件，并求出函數的解析式；（Ⅱ）若，求函數的值域.18．（12分）如圖，三棱柱中，平面，，，分別為，的中點.（1）求證：平面；（2）若平面平面，求直線與平面所成角的正弦值.19．（12分）在考察疫情防控工作中，某區(qū)衛(wèi)生防控中心提出了“要堅持開展愛國衛(wèi)生運動，從人居環(huán)境改善、飲食習慣、社會心理健康、公共衛(wèi)生設施等多個方面開展，特別是要堅決杜絕食用野生動物的陋習，提倡文明健康、綠色環(huán)保的生活方式”的要求.某小組通過問卷調查，隨機收集了該區(qū)居民六類日常生活習慣的有關數據.六類習慣是：（1）衛(wèi)生習慣狀況類；（2）垃圾處理狀況類；（3）體育鍛煉狀況類；（4）心理健康狀況類；（5）膳食合理狀況類；（6）作息規(guī)律狀況類.經過數據整理，得到下表：衛(wèi)生習慣狀況類垃圾處理狀況類體育鍛煉狀況類心理健康狀況類膳食合理狀況類作息規(guī)律狀況類有效答卷份數380550330410400430習慣良好頻率0.60.90.80.70.650.6假設每份調查問卷只調查上述六類狀況之一，各類調查是否達到良好標準相互獨立.（1）從小組收集的有效答卷中隨機選取1份，求這份試卷的調查結果是膳食合理狀況類中習慣良好者的概率；（2）從該區(qū)任選一位居民，試估計他在“衛(wèi)生習慣狀況類、體育鍛煉狀況類、膳食合理狀況類”三類習慣方面，至少具備兩類良好習慣的概率；（3）利用上述六類習慣調查的排序，用“”表示任選一位第k類受訪者是習慣良好者，“”表示任選一位第k類受訪者不是習慣良好者（）.寫出方差，，，，，的大小關系.20．（12分）在平面直角坐標系xOy中，直線l的參數方程為（t為參數），以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，圓C的極坐標方程為.（1）求直線l的普通方程和圓C的直角坐標方程；（2）直線l與圓C交于A，B兩點，點P(2,1)，求|PA|?|PB|的值.21．（12分）已知函數有兩個極值點，.（1）求實數的取值范圍；（2）證明：.22．（10分）已知橢圓，上、下頂點分別是、，上、下焦點分別是、，焦距為，點在橢圓上.（1）求橢圓的方程；（2）若為橢圓上異于、的動點，過作與軸平行的直線，直線與交于點，直線與直線交于點，判斷是否為定值，說明理由.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】

首先的單調性，由此判斷出，由求得的關系式.利用導數求得的最小值，由此求得的最小值.【詳解】由于函數，所以在上遞減，在上遞增.由于，，令，解得，所以，且，化簡得，所以，構造函數，.構造函數，，所以在區(qū)間上遞減，而，，所以存在，使.所以在上大于零，在上小于零.所以在區(qū)間上遞增，在區(qū)間上遞減.而，所以在區(qū)間上的最小值為，也即的最小值為，所以的最小值為.故選：A【點睛】本小題主要考查利用導數研究函數的最值，考查分段函數的圖像與性質，考查化歸與轉化的數學思想方法，屬于難題.2、C【解析】

將圓，化為標準方程為，求得圓心為.根據圓關于雙曲線的一條漸近線對稱，則圓心在漸近線上，.再根據求解.【詳解】已知圓，所以其標準方程為：，所以圓心為.因為雙曲線，所以其漸近線方程為，又因為圓關于雙曲線的一條漸近線對稱，則圓心在漸近線上，所以.所以.故選：C【點睛】本題主要考查圓的方程及對稱性，還有雙曲線的幾何性質，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題.3、A【解析】

利用等差數列的求和公式及等差數列的性質可以求得結果.【詳解】由，，得.選A.【點睛】本題主要考查等差數列的求和公式及等差數列的性質，等差數列的等和性應用能快速求得結果.4、B【解析】分析：利用的恒等式，將分子、分母同時乘以，化簡整理得詳解：，故選B點睛：復數問題是高考數學中的?？紗栴}，屬于得分題，主要考查的方面有：復數的分類、復數的幾何意義、復數的模、共軛復數以及復數的乘除運算，在運算時注意符號的正、負問題.5、D【解析】

由題，得，由的圖象與直線的兩個相鄰交點的距離等于，可得最小正周期，從而求得，得到函數的解析式，又因為當時，，由此即可得到本題答案.【詳解】由題，得，因為的圖象與直線的兩個相鄰交點的距離等于，所以函數的最小正周期，則，所以，當時，，所以是函數的一條對稱軸，故選：D【點睛】本題主要考查利用和差公式恒等變形，以及考查三角函數的周期性和對稱性.6、D【解析】

分析可得,再去絕對值化簡成標準形式,進而根據雙曲線的性質求解即可.【詳解】當時,等式不是雙曲線的方程；當時,,可化為,可得虛半軸長,所以點F到雙曲線C的一條漸近線的距離為2.故選：D【點睛】本題考查雙曲線的方程與點到直線的距離.屬于基礎題.7、C【解析】

設出等差數列的首項和公差，即可根據題意列出兩個方程，求出通項公式，從而求得．【詳解】設等差數列的首項為，公差為，則，解得，∴，即有．故選：C．【點睛】本題主要考查等差數列的通項公式的求法和應用，涉及等差數列的前項和公式的應用，屬于容易題．8、D【解析】

由公差d=-2可知數列單調遞減，再由余弦定理結合通項可求得首項，即可求出前n項和，從而得到最值.【詳解】等差數列的公差為-2，可知數列單調遞減，則，，中最大，最小，又，，為三角形的三邊長，且最大內角為，由余弦定理得，設首項為，即得，所以或，又即,舍去，，d=-2前項和.故的最大值為.故選：D【點睛】本題考查等差數列的通項公式和前n項和公式的應用，考查求前n項和的最值問題，同時還考查了余弦定理的應用.9、B【解析】

先根據平面的基本性質確定平面，然后利用面面平行的性質定理，得到截面的形狀再求解.【詳解】如圖所示：確定一個平面，因為平面平面，所以，同理，所以四邊形是平行四邊形.即正方體被平面截的截面.因為，所以，即所以由余弦定理得：所以所以四邊形故選：B【點睛】本題主要考查平面的基本性質，面面平行的性質定理及截面面積的求法，還考查了空間想象和運算求解的能力，屬于中檔題.10、B【解析】

先利用冪函數的定義求出m的值，得到冪函數解析式為f（x）＝x3，在R上單調遞增，再利用冪函數f（x）的單調性，即可得到a，b，c的大小關系.【詳解】由冪函數的定義可知，m﹣1＝1，∴m＝2，∴點（2，8）在冪函數f（x）＝xn上，∴2n＝8，∴n＝3，∴冪函數解析式為f（x）＝x3，在R上單調遞增，∵，1＜lnπ＜3，n＝3，∴，∴a＜b＜c，故選：B.【點睛】本題主要考查了冪函數的性質，以及利用函數的單調性比較函數值大小，屬于中檔題.11、A【解析】

由已知新運算的意義就是取得中的最小值，因此函數，只有選項中的圖象符合要求，故選A.12、B【解析】

由圓過原點，知中有一點與原點重合，作出圖形，由，，得，從而直線傾斜角為，寫出點坐標，代入拋物線方程求出參數，可得點坐標，從而得三角形面積．【詳解】由題意圓過原點，所以原點是圓與拋物線的一個交點，不妨設為，如圖，由于，，∴，∴，，∴點坐標為，代入拋物線方程得，，∴，．故選：B.【點睛】本題考查拋物線與圓相交問題，解題關鍵是發(fā)現原點是其中一個交點，從而是等腰直角三角形，于是可得點坐標，問題可解，如果僅從方程組角度研究兩曲線交點，恐怕難度會大大增加，甚至沒法求解．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

根據雙曲線的標準方程寫出雙曲線的漸近線方程，結合題意可求得正實數的值.【詳解】雙曲線的漸近線方程為，由于該雙曲線的一條漸近線方程為，，解得.故答案為：.【點睛】本題考查利用雙曲線的漸近線方程求參數，考查計算能力，屬于基礎題.14、36【解析】

先優(yōu)先考慮甲、乙兩人不相鄰的排法，在此條件下，計算甲不排在兩端的排法，最后相減即可得到結果.【詳解】由題意得5人排成一排，甲、乙兩人不相鄰，有種排法，其中甲排在兩端，有種排法，則6人排成一排，甲、乙兩人不相鄰，且甲不排在兩端，共有（種）排法.所以本題答案為36.【點睛】排列、組合問題由于其思想方法獨特，計算量龐大，對結果的檢驗困難，所以在解決這類問題時就要遵循一定的解題原則，如特殊元素、位置優(yōu)先原則、先取后排原則、先分組后分配原則、正難則反原則等，只有這樣我們才能有明確的解題方向.同時解答組合問題時必須心思細膩、考慮周全，這樣才能做到不重不漏，正確解題.15、【解析】

對新加入的學生所扮演的角色進行分類討論，分析各種情況下個學生所扮演的角色的分組，綜合可得出結論.【詳解】依題意，名學生分成組，則一定是個人組和個人組.①若新加入的學生是士兵，則可以將這個人分組如下；名士兵；士兵、排長、連長各名；營長、團長、旅長各名；師長、軍長、司令各名；名司令.所以新加入的學生可以是士兵，由對稱性可知也可以是司令；②若新加入的學生是排長，則可以將這個人分組如下：名士兵；連長、營長、團長各名；旅長、師長、軍長各名；名司令；名排長.所以新加入的學生可以是排長，由對稱性可知也可以是軍長；③若新加入的學生是連長，則可以將這個人分組如下：名士兵；士兵、排長、連長各名；連長、營長、團長各名；旅長、師長、軍長各名；名司令.所以新加入的學生可以是連長，由對稱性可知也可以是師長；④若新加入的學生是營長，則可以將這個人分組如下：名士兵；排長、連長、營長各名；營長、團長、旅長各名；師長、軍長、司令各名；名司令.所以新加入的學生可以是營長，由對稱性可知也可以是旅長；⑤若新加入的學生是團長，則可以將這個人分組如下：名士兵；排長、連長、營長各名；旅長、師長、軍長各名；名司令；名團長.所以新加入的學生可以是團長.綜上所述，新加入學生可以扮演種角色.故答案為：.【點睛】本題考查分類計數原理的應用，解答的關鍵就是對新加入的學生所扮演的角色進行分類討論，屬于中等題.16、【解析】

由已知及正弦定理，三角函數恒等變換的應用可得，從而求得，結合范圍，即可得到答案運用余弦定理和三角形面積公式，結合完全平方公式，即可得到答案【詳解】由已知及正弦定理可得，可得：解得，即，由面積公式可得：，即由余弦定理可得：即有解得【點睛】本題主要考查了運用正弦定理、余弦定理和面積公式解三角形，題目較為基礎，只要按照題意運用公式即可求出答案三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）只有①②成立，；（Ⅱ）.【解析】

（Ⅰ）依次討論①②成立，①③成立，②③成立，計算得到只有①②成立，得到答案.（Ⅱ）得到，得到函數值域.【詳解】（Ⅰ）由①可得，；由②得：，；由③得，，，；若①②成立，則，，，若①③成立，則，，不合題意，若②③成立，則，，與③中的矛盾，所以②③不成立，所以只有①②成立，.（Ⅱ）由題意得，，所以函數的值域為.【點睛】本題考查了三角函數的周期，對稱軸，單調性，值域，表達式，意在考查學生對于三角函數知識的綜合應用.18、（1）詳見解析；（2）.【解析】

（1）連接，，則且為的中點，又∵為的中點，∴，又平面，平面，故平面．（2）由平面，得，．以為原點，分別以，，所在直線為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標系，設，則，，，，，．取平面的一個法向量為，由，得：，令，得同理可得平面的一個法向量為∵平面平面，∴解得，得，又，設直線與平面所成角為，則.所以，直線與平面所成角的正弦值是．19、（1）（2）（3）【解析】

（1）設“選取的試卷的調查結果是膳食合理狀況類中習慣良好者“的事件為，根據古典概型求出即可；（2）設該區(qū)“衛(wèi)生習慣狀況良好者“，“體育鍛煉狀況良好者“、“膳食合理狀況良好者”事件分別為，，，設事件為“該居民在“衛(wèi)生習慣狀況類、體育鍛煉狀況類、膳食合理狀況類”三類習慣方面，至少具備兩類良好習慣“，則（E），求出即可；（3）根據題意，寫出即可．【詳解】（1）設“選取的試卷的調查結果是膳食合理狀況類中習慣良好者“的事件為，有效問卷共有（份，其中受訪者中膳食合理習慣良好的人數是人，故（A）；（2）設該區(qū)“衛(wèi)生習慣狀況良好者“，“體育鍛煉狀況良好者“、“膳食合理狀況良好者”事件分別為，，，根據題意，可知（A），（B），（C），設事件為“該居民在“衛(wèi)生習慣狀況類、體育鍛煉狀況類、膳食合理狀況類”三類習慣方面，至少具備兩類良好習慣“則.所以該居民在“衛(wèi)生習慣狀況類、體育鍛煉狀況類、膳食合理狀況類”三類習慣至少具備2個良好習慣的概率為0.766.（3）．【點睛】本題考查了古典概型求概率，獨立性事件，互斥性事件求概率等，考查運算能力和事件應用能力，中檔題．20、（1）直線的普通方程，圓的直角坐標方程：.（2）【解析】

（1）直接利用轉換關系的應用，把參數方程極坐標方程和直角坐標方程之間進行轉換.（2）將直線的參數方程代入圓的直角坐標方程，利用一元二次方程根和系數關系式即可求解.【詳解】（1）直線l的參數方程為（t為參數），轉換為直角坐標方程為x+y﹣3＝0.圓C的極坐標方程為ρ2﹣4ρcosθ＝3，轉換為直角坐標方程為x2+y2﹣4x﹣3＝0.（2）把直線l的參數方程為（t為參數），代入圓的直角坐標方程x2+y2﹣4x﹣3＝0，得到，所以|PA||PB|＝|t1t2|＝6.【點睛】本題考查參數方程極坐標方程和直角坐標方程之間的轉換，一元二次方程根和系數關系式的應用，主要考查學生的運算能力和轉換能力及思維能力，屬于基礎題型.21、（1）（2）證明見解析【解析】

（1）先求得導函數，根據兩個極值點可知有兩個不等實根，構造函數，求得；討論和兩種情況，