第第頁(yè)高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《直線(xiàn)、平面平行的判定及性質(zhì)》專(zhuān)項(xiàng)測(cè)試卷及答案學(xué)校:___________班級(jí)：___________姓名：___________考號(hào)：___________復(fù)習(xí)要點(diǎn)1.以立體幾何的定義、公理和定理為出發(fā)點(diǎn)，認(rèn)識(shí)和理解空間中線(xiàn)面平行、面面平行的有關(guān)性質(zhì)定理與判定定理.2.能運(yùn)用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些有關(guān)空間圖形的平行關(guān)系的簡(jiǎn)單命題．一直線(xiàn)與平面平行1．直線(xiàn)與平面平行的定義直線(xiàn)l與平面α沒(méi)有公共點(diǎn)，則稱(chēng)直線(xiàn)l與平面α平行．2．判定定理與性質(zhì)定理文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言判定定理如果平面外一條直線(xiàn)與此平面內(nèi)的一條直線(xiàn)平行，那么該直線(xiàn)與此平面平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a?α，,b?α，,a∥b))?a∥α性質(zhì)定理一條直線(xiàn)與一個(gè)平面平行，如果過(guò)該直線(xiàn)的平面與此平面相交，那么該直線(xiàn)與交線(xiàn)平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥α，,a?β，,α∩β＝b))?a∥b二平面與平面平行1．平面與平面平行的定義沒(méi)有公共點(diǎn)的兩個(gè)平面叫做平行平面．2．判定定理與性質(zhì)定理文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言判定定理如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)與另一個(gè)平面平行，那么這兩個(gè)平面平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a?α，,b?α，,a∩b＝P，,a∥β，,b∥β))?α∥β性質(zhì)定理兩個(gè)平面平行，如果另一個(gè)平面與這兩個(gè)平面相交，那么兩條交線(xiàn)平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α∥β，,α∩γ＝a，,β∩γ＝b))?a∥b常/用/結(jié)/論1．夾在兩個(gè)平行平面之間的平行線(xiàn)段長(zhǎng)度相等．2．兩條直線(xiàn)被三個(gè)平行平面所截，截得的對(duì)應(yīng)線(xiàn)段成比例．3．如果兩個(gè)平面分別平行于第三個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面互相平行．4．如果兩個(gè)平面平行，那么其中一個(gè)平面內(nèi)的直線(xiàn)平行于另一個(gè)平面．1．判斷下列結(jié)論是否正確．(1)若一條直線(xiàn)平行于一個(gè)平面內(nèi)的一條直線(xiàn)，則這條直線(xiàn)平行于這個(gè)平面．()(2)若直線(xiàn)a∥平面α，P∈α，則過(guò)點(diǎn)P且平行于直線(xiàn)a的直線(xiàn)有無(wú)數(shù)條．()(3)若直線(xiàn)a?平面α，直線(xiàn)b?平面β，a∥b，則α∥β.()(4)如果兩個(gè)平面平行，那么分別在這兩個(gè)平面內(nèi)的兩條直線(xiàn)平行或異面．(√)2．(2024·廣東深圳福田區(qū)統(tǒng)考)已知m，n是兩條不重合的直線(xiàn)，α，β是兩個(gè)不重合的平面，有以下說(shuō)法：①若m∥α，m⊥β，則α⊥β；②若m?α，n?β，m∥β，n∥α，則α∥β；③若α⊥β，m∥α，n∥β，則m⊥n；④若m?α，m∥β，α∩β＝n，則m∥n.其中正確的說(shuō)法是()A．①④ B．①②④C．①②③ D．②③④解析：對(duì)于①，由m∥α，則存在直線(xiàn)a?α，使得m∥a，∵m⊥β，∴a⊥β，則α⊥β，故①正確；對(duì)于②，假設(shè)m∥n時(shí)，存在α∩β＝b，m?α，n?β，m∥b，n∥b，且m?β，n?α，符合條件，但α與β相交，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③，由α⊥β，設(shè)α∩β＝c，當(dāng)m∥c∥n，且m?α，n?β時(shí)，m∥α，n∥β，故③錯(cuò)誤；對(duì)于④，由m∥β，則任意直線(xiàn)d?β，直線(xiàn)d與直線(xiàn)m的位置關(guān)系為異面或平行，∵m?α，且α∩β＝n，∴m∥n，故④正確．故選A.答案：A3．在三棱柱ABC-A1B1C1中，D為該棱柱的九條棱中某條棱的中點(diǎn)，若A1C∥平面BC1D，則D為()A．棱AB的中點(diǎn) B．棱A1B1的中點(diǎn)C．棱BC的中點(diǎn) D．棱AA1的中點(diǎn)解析：如圖，當(dāng)D為棱A1B1的中點(diǎn)時(shí)，取AB的中點(diǎn)E，連接A1E，EC，易知A1E∥BD，DC1∥EC，又DC1∩BD＝D，A1E∩EC＝E，∴平面A1CE∥平面BC1D，又A1C?平面A1CE，則A1C∥平面BC1D.故選B.答案：B4．如圖是長(zhǎng)方體被一平面截得的幾何體，四邊形EFGH為截面，則四邊形EFGH的形狀為_(kāi)_______．解析：∵平面ABFE∥平面DCGH，平面EFGH∩平面ABFE＝EF，平面EFGH∩平面DCGH＝HG，∴EF∥HG.同理，EH∥FG，∴四邊形EFGH是平行四邊形．答案：平行四邊形題型線(xiàn)面平行的判定與性質(zhì)典例1(2023·全國(guó)乙卷，文)如圖，在三棱錐P-ABC中，AB⊥BC，AB＝2，BC＝2eq\r(2)，PB＝PC＝eq\r(6)，BP，AP，BC的中點(diǎn)分別為D，E，O，點(diǎn)F在A(yíng)C上，BF⊥AO.本題的核心條件，特殊的位置關(guān)系，必有點(diǎn)F特殊的數(shù)量關(guān)系．(1)求證：EF∥平面ADO；(2)若∠POF＝120°，求三棱錐P-ABC的體積．此條件暗示△POF的特殊性，即平面POF⊥平面ABC.(1)證明：如圖，連接DE.設(shè)AF＝tAC，t∈[0,1]，則eq\o(BF,\s\up15(→))＝eq\o(BA,\s\up15(→))＋eq\o(AF,\s\up15(→))＝(1－t)eq\o(BA,\s\up15(→))＋teq\o(BC,\s\up15(→))，eq\o(AO,\s\up15(→))＝－eq\o(BA,\s\up15(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up15(→)).由BF⊥AO，AB⊥BC，得eq\o(BF,\s\up15(→))·eq\o(AO,\s\up15(→))＝[(1－t)eq\o(BA,\s\up15(→))＋teq\o(BC,\s\up15(→))]·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\o(BA,\s\up15(→))＋\f(1,2)\o(BC,\s\up15(→))))＝(t－1)eq\o(BA,\s\up15(→))2＋eq\f(1,2)teq\o(BC,\s\up15(→))2＝4(t－1)＋4t＝0，以{eq\o(BA,\s\up15(→))，eq\o(BC,\s\up15(→))}為基底，進(jìn)行數(shù)量積的運(yùn)算，從而求得點(diǎn)F的特殊數(shù)量關(guān)系.以上計(jì)算集中于△ABC中．解得t＝eq\f(1,2)，則F為AC的中點(diǎn)．另一種有意義的逆推：因?yàn)镻C∥平面DAO，若EF不平行于PC，且滿(mǎn)足EF∥平面DAO?平面PAC∥平面DAO，顯然錯(cuò)誤！從而判斷EF∥PC.由D，E，O，F(xiàn)分別為PB，PA，BC，AC的中點(diǎn)，可得DE∥AB，DE＝eq\f(1,2)AB，OF∥AB，OF＝eq\f(1,2)AB，即DE∥OF，DE＝OF，則四邊形ODEF為平行四邊形，所以EF∥DO，又EF?平面ADO，DO?平面ADO，所以EF∥平面ADO.(2)解：過(guò)P作PM垂直FO的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)M.因?yàn)镻B＝PC，O是BC的中點(diǎn)，所以PO⊥BC，在Rt△PBO中，PB＝eq\r(6)，BO＝eq\f(1,2)BC＝eq\r(2)，所以PO＝eq\r(PB2－OB2)＝eq\r(6－2)＝2.因?yàn)锳B⊥BC，OF∥AB，所以O(shè)F⊥BC.又PO∩OF＝O，PO，OF?平面POF，所以BC⊥平面POF.可推得平面POF⊥平面ABC，從而作PM⊥平面ABC時(shí)點(diǎn)M在FO的延長(zhǎng)線(xiàn)上．又PM?平面POF，所以BC⊥PM.又BC∩FM＝O，BC，F(xiàn)M?平面ABC，所以PM⊥平面ABC，即三棱錐P-ABC的高為PM.因?yàn)椤螾OF＝120°，所以∠POM＝60°，所以PM＝POsin60°＝2×eq\f(\r(3),2)＝eq\r(3).又S△ABC＝eq\f(1,2)AB·BC＝eq\f(1,2)×2×2eq\r(2)＝2eq\r(2)，所以VP-ABC＝eq\f(1,3)S△ABC·PM＝eq\f(1,3)×2eq\r(2)×eq\r(3)＝eq\f(2\r(6),3).判斷或證明線(xiàn)面平行的常用方法(1)利用線(xiàn)面平行的定義(無(wú)公共點(diǎn))．(2)利用線(xiàn)面平行的判定定理(a?α，b?α，a∥b?a∥α)．(3)利用面面平行定義的逆定理(α∥β，a?α?a∥β)．(4)利用面面平行的性質(zhì)(α∥β，a?β，a∥α?a∥β)．對(duì)點(diǎn)練1(1)(2024·四川成都模擬)如圖，在四棱錐P-ABCD中，△BCD為等邊三角形，∠DAB＝120°，AD＝AB＝PD＝PB＝2，點(diǎn)E為PC的中點(diǎn)．證明：BE∥平面PAD.(2)(2024·福建廈門(mén)雙十中學(xué)月考)如圖1所示，在四邊形ABCD中，BC⊥CD，E為BC上一點(diǎn)，AE＝BE＝AD＝2CD＝2，CE＝eq\r(,3)，將四邊形AECD沿AE折起，使得BC＝eq\r(,3)，得到如圖2所示的四棱錐．若平面BCD∩平面ABE＝l，證明：CD∥l.圖1圖2(1)證明：如圖，取CD的中點(diǎn)M，連接EM，BM，∵E為PC中點(diǎn)，∴EM∥PD，又EM?平面PAD，PD?平面PAD，∴EM∥平面PAD.∵△BCD為等邊三角形，∴MB⊥CD，∵∠DAB＝120°，AD＝AB，∴∠ADB＝∠ABD＝30°，∠ADC＝∠CDB＋∠ADB＝60°＋30°＝90°，∴AD⊥CD，∴MB∥AD.又MB?平面PAD，AD?平面PAD，∴MB∥平面PAD.∵EM∩MB＝M，EM，MB?平面EMB，∴平面EMB∥平面PAD，∵EB?平面EMB，∴EB∥平面PAD.(2)證明：連接DE(圖略)，因?yàn)镃E⊥CD，CE＝eq\r(,3)，CD＝1，所以DE＝2，sin∠CDE＝eq\f(\r(,3),2)，又∠CDE∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，所以∠CDE＝eq\f(π,3)，因?yàn)镈E＝2，AE＝AD＝2，所以△ADE是等邊三角形，所以∠DEA＝eq\f(π,3)，故CD∥AE.又AE?平面ABE，CD?平面ABE，所以CD∥平面ABE，因?yàn)镃D?平面BCD，平面BCD∩平面ABE＝l，所以CD∥l.題型面面平行的判定與性質(zhì)典例2(2024·四川綿陽(yáng)中學(xué)月考)如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，AC，A1B1，A1C1的中點(diǎn)．求證：(1)B，C，H，G四點(diǎn)共面；(2)平面EFA1∥平面BCHG.思考判定定理，即需要兩組平行線(xiàn)的關(guān)系．證明：(1)∵G，H分別是A1B1，A1C1的中點(diǎn)，∴GH是△A1B1C1的中位線(xiàn)，∴GH∥B1C1，又在三棱柱ABC-A1B1C1中，B1C1∥BC，∴GH∥BC，∴B，C，H，G四點(diǎn)共面．兩條平行線(xiàn)確定一個(gè)平面．(2)∵E，F(xiàn)分別是AB，AC的中點(diǎn)，∴EF∥BC，∵EF?平面BCHG，BC?平面BCHG，∴EF∥平面BCHG.∵在三棱柱ABC-A1B1C1中，A1B1綉AB，∴A1G∥EB，A1G＝eq\f(1,2)A1B1＝eq\f(1,2)AB＝EB，∴四邊形A1EBG是平行四邊形，∴A1E∥GB.∵A1E?平面BCHG，GB?平面BCHG，∴A1E∥平面BCHG.應(yīng)用判定定理.平面A1EF內(nèi)兩條相交直線(xiàn)A1E，EF都平行于平面BCHG.∵A1E∩EF＝E，A1E，EF?平面EFA1，∴平面EFA1∥平面BCHG.證明面面平行的方法(1)面面平行的定義．(2)面面平行的判定定理：如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線(xiàn)都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行．(3)垂直于同一條直線(xiàn)的兩個(gè)平面平行．(4)如果兩個(gè)平面同時(shí)平行于第三個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行．(5)利用“線(xiàn)線(xiàn)平行”“線(xiàn)面平行”“面面平行”的相互轉(zhuǎn)化．(6)向量法：證明兩平面的法向量平行．對(duì)點(diǎn)練2(2024·四川達(dá)州一診)如圖所示，設(shè)正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為a，P是棱AD上一點(diǎn)，且AP＝eq\f(a,3)，過(guò)B1，D1，P的平面交平面ABCD于PQ，Q在直線(xiàn)CD上，則PQ＝()A.eq\f(2\r(,2),3)aB.eq\f(\r(,2),3)aC.eq\f(\r(,2),2)aD.eq\f(2\r(,3),3)a解析：如圖，連接BD，PD1，PB1，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，BB1∥DD1，BB1＝DD1，∴四邊形DD1B1B是平行四邊形，∴B1D1∥BD.又∵在正方體ABCD-A1B1C1D1中，平面A1B1C1D1∥平面ABCD，平面B1D1P∩平面A1B1C1D1＝B1D1，平面B1D1P∩平面ABCD＝PQ，∴B1D1∥PQ，∴PQ∥BD，∴∠PQD＝∠BDC，又∵∠PDQ＝∠BCD＝90°，∴△PDQ∽△BCD，∴eq\f(PQ,BD)＝eq\f(PD,BC).又∵正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為a，∴BC＝a，PD＝AD－AP＝a－eq\f(a,3)＝eq\f(2a,3)，BD＝eq\r(,2)a，∴PQ＝eq\f(PD·BD,BC)＝eq\f(\f(2a,3)×\r(,2)a,a)＝eq\f(2\r(,2),3)a.故選A.答案：A題型平行關(guān)系的綜合應(yīng)用典例3(2024·河北邯鄲一中模擬)如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB∥DC，AB⊥AD，AB＝3，CD＝2，PD＝AD＝5，E是PD上的一點(diǎn)．(1)若PB∥平面ACE，求eq\f(PE,ED)的值；此問(wèn)關(guān)鍵在于由位置關(guān)系，推導(dǎo)數(shù)量關(guān)系．(2)若E是PD的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作平面α∥平面PBC，平面α與棱PA交于點(diǎn)F，求三棱錐P-CEF的體積．解：(1)連接BD交AC于點(diǎn)O，在△PBD中，連接OE(圖略)，∵OE?平面ACE，PB?平面ACE，PB∥平面ACE，∴OE∥PB.∵AB＝3，CD＝2，利用PB∥平面ACE，由性質(zhì)定理，作輔助面．平面PBD∩平面EAC＝OE，這樣OE∥PB.∴eq\f(AB,CD)＝eq\f(BO,DO)＝eq\f(PE,ED)＝eq\f(3,2)，∴eq\f(PE,ED)的值為eq\f(3,2).(2)過(guò)點(diǎn)E作EM∥PC交CD于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)M作MN∥BC交AB于點(diǎn)N，連接EN，則平面EMN即平面α，逆推：eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α∩平面PCD＝EM，,α∥平面PBC))?EM∥PC.同理：α∩平面ABC