高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1河南省駐馬店市2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期開(kāi)學(xué)聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】解不等式得，即，所以.故選：C.2.已知為虛數(shù)單位，，則的共軛復(fù)數(shù)（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)?，則，所以的共軛復(fù)數(shù).故選：A.3.已知角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，始邊與軸非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由正弦函數(shù)的定義可知，再利用誘導(dǎo)公式知.故選：B.4.已知向量，則（）A.1 B. C. D.2【答案】C【解析】因?yàn)?，則，又因?yàn)?，即，所以，?故選：C.5.已知是兩個(gè)不重合的平面，是兩條不重合的直線，且，則下列結(jié)論正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則【答案】D【解析】對(duì)于A，若，則直線可能平行，異面，相交，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若，則直線可能平行，異面，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若，，則與可能平行或相交，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若，又，則，故D正確.故選：D.6.已知長(zhǎng)為?寬為的矩形的面積為，則該矩形周長(zhǎng)的最小值為（）A.4 B.8 C.12 D.16【答案】D【解析】由題意可知：，又因?yàn)?，即，可得，即，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以該矩形周長(zhǎng)的最小值為16.故選：D.7.已知函數(shù)在上有且僅有1個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】A【解析】因?yàn)槎x域?yàn)镽，且，可知為偶函數(shù)，若函數(shù)在R上有且僅有1個(gè)零點(diǎn)，由對(duì)稱性可知的唯一零點(diǎn)為0，則，解得；若，則，因?yàn)?，即，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，且，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，可知，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以有且僅有一個(gè)零點(diǎn)0，符合題意；綜上所述：.故選：A.8.記的三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊分別為，若則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因，且，則，即，可得，因?yàn)?，則，即，可得，所以的取值范圍為.故選：B.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.與的最小正周期相同B.與有相同的最大值C.與的圖象有相同的對(duì)稱軸D.曲線與在上有4個(gè)交點(diǎn)【答案】ABD【解析】對(duì)于A，因?yàn)榈闹芷跒?，所以的最小正周期為，又函?shù)的最小正周期為，故A正確；對(duì)于B，的最大值為1，的最大值為1，故B正確；對(duì)于C，的對(duì)稱軸為，，令，解得，，所以的對(duì)稱軸為，，所以與的對(duì)稱軸不同，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，如圖作出與的圖象，與在上有4個(gè)交點(diǎn)，故D正確.故選：ABD.10.已知是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事件，且，則下列結(jié)論一定正確的是（）A.B.不可能為互斥事件C.若，則事件相互獨(dú)立D.若相互獨(dú)立，則【答案】BC【解析】對(duì)于A，若，則事件相互獨(dú)立，無(wú)法確定，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若為互斥事件，則，所以，故不可能為互斥事件，故B正確；對(duì)于C，若，所以事件相互獨(dú)立，故C正確；對(duì)于D，若，互相獨(dú)立，則相互獨(dú)立，所以.故D錯(cuò)誤.故選：BC.11.已知圓臺(tái)的上?下底面圓的直徑分別為2和6，母線長(zhǎng)為4，則下列結(jié)論正確的是（）A.該圓臺(tái)的高為B.該圓臺(tái)的體積為C.該圓臺(tái)的外接球的表面積為D.挖去以該圓臺(tái)的上底面為底面?高為2的圓柱，剩余的幾何體的表面積為【答案】BCD【解析】如圖所示，為軸截面，點(diǎn)在下底面的投影分別為，由題意可知：，則，對(duì)于選項(xiàng)A：該圓臺(tái)的高為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：圓臺(tái)的體積為，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：由題意可知：外接球的球心，設(shè)外接球的半徑為，因?yàn)?，即，解得，所以該圓臺(tái)的外接球的表面積為，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：由題意可知：剩余的幾何體的表面有：上、下底面圓面，圓臺(tái)、圓柱的側(cè)面，所以剩余的幾何體的表面積為，故D正確；故選：BCD.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，則__________.【答案】【解析】因?yàn)?，解得，所?13.設(shè)的三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知，則__________.【答案】【解析】由余弦定理知，所以，所以.14.已知分別表示函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值，則__________.【答案】30【解析】因?yàn)椋瑒t，可得，即，若，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，即在內(nèi)的最小值為，所以；若，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，即在內(nèi)的最大值為，所以.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.15.已知.（1）求的值；（2）求的值.解：（1），且，.的值為.（2）.故的值為.16.某農(nóng)業(yè)研究所為調(diào)研新品種玉米的畝產(chǎn)量分布情況，從甲鎮(zhèn)種植的舊品種玉米中隨機(jī)抽取100畝的產(chǎn)量，并得到畝產(chǎn)量的平均數(shù)，中位數(shù)；從乙鎮(zhèn)種植的新品種玉米中隨機(jī)抽取100畝的產(chǎn)量，按畝產(chǎn)量進(jìn)行分組（每組為左閉右開(kāi)區(qū)間），得到畝產(chǎn)量的頻率分布直方圖如下：（1）每組數(shù)據(jù)以組中值為代表，估計(jì)乙鎮(zhèn)種植的新品種玉米畝產(chǎn)量的平均數(shù)，中位數(shù)；并根據(jù)“同一品種玉米畝產(chǎn)量的平均數(shù)與中位數(shù)差的絕對(duì)值越小，玉米畝產(chǎn)量越穩(wěn)定”，比較甲?乙兩鎮(zhèn)種植的不同品種玉米畝產(chǎn)量的穩(wěn)定情況.（2）現(xiàn)按畝產(chǎn)量用分層隨機(jī)抽樣的方法，從乙鎮(zhèn)畝產(chǎn)量在和內(nèi)的樣本中共抽取6畝，再?gòu)倪@6畝中隨機(jī)抽取2畝深入調(diào)研分析，求抽取的2畝的產(chǎn)量位于不同畝產(chǎn)量區(qū)間的概率.解：（1）根據(jù)題意，，，因?yàn)椋?，所以乙?zhèn)種植的新品種玉米誰(shuí)更穩(wěn)定.（2）由頻率分布直方圖，畝產(chǎn)量在的有10畝，畝產(chǎn)量在的有5畝，所以樣本中共抽取的6畝有畝在，有2畝在，設(shè)在的4畝為，，，，在的2畝為，則從這6畝中隨機(jī)抽取2畝的情況有：,,,,,所以抽取的2畝的產(chǎn)量位于不同畝產(chǎn)量區(qū)間的概率為.17.如圖，在四棱錐中，，，側(cè)面平面.（1）證明：平面；（2）若直線與平面所成角的正切值為，求三棱錐的體積.解：（1）因，即，所以，如圖所示，取中點(diǎn)E，連接，因?yàn)?，所以，又?cè)面平面，側(cè)面平面，所以底面，而底面，所以，因?yàn)?，，平面，所以平?因?yàn)槠矫?，所以，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面；?）由上知底面，且，則直線與平面所成角為，即，，故三棱錐的體積為.18.已知函數(shù)的圖象的對(duì)稱中心為.（1）求的值；（2）用函數(shù)單調(diào)性的定義證明在其定義域上單調(diào)遞減；（3）若方程在上有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）根據(jù)題意有，整理得，即，所以，經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意；（2）由上知，令，不妨設(shè)令，則，易知，又，所以，則，即，則在定義域上單調(diào)遞減，證畢；（3）方程在上有解，即兩個(gè)函數(shù)與有交點(diǎn)，令，設(shè)，則時(shí)，，則，顯然時(shí)，該函數(shù)單調(diào)遞減，而單調(diào)遞增，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知在時(shí)單調(diào)遞減，結(jié)合（2）的結(jié)論有單調(diào)遞減，所以，而接近0時(shí)，y接近正無(wú)窮，所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.19.已知的三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且.（1）證明：；（2）若，求的面積；（3）若為銳角三角形，當(dāng)取得最小值時(shí)，求的值.解：（1）易知，整理得，即，所以，因?yàn)椋?，?所以，證畢；（2）由（1）知，則，如圖所示作，垂足為D，由題意知，根據(jù)勾股定理有，且，所以，故；（3）由（1）知，根據(jù)正弦定理知：,又為銳角三角形，即，則,所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取得最小值.河南省駐馬店市2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期開(kāi)學(xué)聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】解不等式得，即，所以.故選：C.2.已知為虛數(shù)單位，，則的共軛復(fù)數(shù)（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)?，則，所以的共軛復(fù)數(shù).故選：A.3.已知角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，始邊與軸非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由正弦函數(shù)的定義可知，再利用誘導(dǎo)公式知.故選：B.4.已知向量，則（）A.1 B. C. D.2【答案】C【解析】因?yàn)?，則，又因?yàn)?，即，所以，?故選：C.5.已知是兩個(gè)不重合的平面，是兩條不重合的直線，且，則下列結(jié)論正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則【答案】D【解析】對(duì)于A，若，則直線可能平行，異面，相交，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若，則直線可能平行，異面，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若，，則與可能平行或相交，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若，又，則，故D正確.故選：D.6.已知長(zhǎng)為?寬為的矩形的面積為，則該矩形周長(zhǎng)的最小值為（）A.4 B.8 C.12 D.16【答案】D【解析】由題意可知：，又因?yàn)?，即，可得，即，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以該矩形周長(zhǎng)的最小值為16.故選：D.7.已知函數(shù)在上有且僅有1個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】A【解析】因?yàn)槎x域?yàn)镽，且，可知為偶函數(shù)，若函數(shù)在R上有且僅有1個(gè)零點(diǎn)，由對(duì)稱性可知的唯一零點(diǎn)為0，則，解得；若，則，因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，且，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，可知，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以有且僅有一個(gè)零點(diǎn)0，符合題意；綜上所述：.故選：A.8.記的三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊分別為，若則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因，且，則，即，可得，因?yàn)?，則，即，可得，所以的取值范圍為.故選：B.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.與的最小正周期相同B.與有相同的最大值C.與的圖象有相同的對(duì)稱軸D.曲線與在上有4個(gè)交點(diǎn)【答案】ABD【解析】對(duì)于A，因?yàn)榈闹芷跒?，所以的最小正周期為，又函?shù)的最小正周期為，故A正確；對(duì)于B，的最大值為1，的最大值為1，故B正確；對(duì)于C，的對(duì)稱軸為，，令，解得，，所以的對(duì)稱軸為，，所以與的對(duì)稱軸不同，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，如圖作出與的圖象，與在上有4個(gè)交點(diǎn)，故D正確.故選：ABD.10.已知是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事件，且，則下列結(jié)論一定正確的是（）A.B.不可能為互斥事件C.若，則事件相互獨(dú)立D.若相互獨(dú)立，則【答案】BC【解析】對(duì)于A，若，則事件相互獨(dú)立，無(wú)法確定，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若為互斥事件，則，所以，故不可能為互斥事件，故B正確；對(duì)于C，若，所以事件相互獨(dú)立，故C正確；對(duì)于D，若，互相獨(dú)立，則相互獨(dú)立，所以.故D錯(cuò)誤.故選：BC.11.已知圓臺(tái)的上?下底面圓的直徑分別為2和6，母線長(zhǎng)為4，則下列結(jié)論正確的是（）A.該圓臺(tái)的高為B.該圓臺(tái)的體積為C.該圓臺(tái)的外接球的表面積為D.挖去以該圓臺(tái)的上底面為底面?高為2的圓柱，剩余的幾何體的表面積為【答案】BCD【解析】如圖所示，為軸截面，點(diǎn)在下底面的投影分別為，由題意可知：，則，對(duì)于選項(xiàng)A：該圓臺(tái)的高為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：圓臺(tái)的體積為，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：由題意可知：外接球的球心，設(shè)外接球的半徑為，因?yàn)?，即，解得，所以該圓臺(tái)的外接球的表面積為，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：由題意可知：剩余的幾何體的表面有：上、下底面圓面，圓臺(tái)、圓柱的側(cè)面，所以剩余的幾何體的表面積為，故D正確；故選：BCD.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，則__________.【答案】【解析】因?yàn)?，解得，所?13.設(shè)的三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知，則__________.【答案】【解析】由余弦定理知，所以，所以.14.已知分別表示函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值，則__________.【答案】30【解析】因?yàn)椋瑒t，可得，即，若，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，即在內(nèi)的最小值為，所以；若，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，即在內(nèi)的最大值為，所以.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.15.已知.（1）求的值；（2）求的值.解：（1），且，.的值為.（2）.故的值為.16.某農(nóng)業(yè)研究所為調(diào)研新品種玉米的畝產(chǎn)量分布情況，從甲鎮(zhèn)種植的舊品種玉米中隨機(jī)抽取100畝的產(chǎn)量，并得到畝產(chǎn)量的平均數(shù)，中位數(shù)；從乙鎮(zhèn)種植的新品種玉米中隨機(jī)抽取100畝的產(chǎn)量，按畝產(chǎn)量進(jìn)行分組（每組為左閉右開(kāi)區(qū)間），得到畝產(chǎn)量的頻率分布直方圖如下：（1）每組數(shù)據(jù)以組中值為代表，估計(jì)乙鎮(zhèn)種植的新品種玉米畝產(chǎn)量的平均數(shù)，中位數(shù)；并根據(jù)“同一品種玉米畝產(chǎn)量的平均數(shù)與中位數(shù)差的絕對(duì)值越小，玉米畝產(chǎn)量越穩(wěn)定”，比較甲?乙兩鎮(zhèn)種植的不同品種玉米畝產(chǎn)量的穩(wěn)定情況.（2）現(xiàn)按畝產(chǎn)量用分層隨機(jī)抽樣的方法，從乙鎮(zhèn)畝產(chǎn)量在和內(nèi)的樣本中共抽取6畝，再?gòu)倪@6畝中隨機(jī)抽取2畝深入調(diào)研分析，求抽取的2畝的產(chǎn)量位于不同畝產(chǎn)量區(qū)間的概率.解：（1）根據(jù)題意，，，因?yàn)?，，所以乙?zhèn)種植的新品種玉米誰(shuí)更穩(wěn)定.（2）由頻率分布直方圖，畝產(chǎn)量在的有10畝，畝產(chǎn)量在的有5畝，所以樣本中共抽取的6畝有畝在，有2畝在，設(shè)在的4畝為，，，，在的2畝為，則從這6畝中隨機(jī)抽取2畝的情況有：,,,,,所以抽取的2畝的產(chǎn)量位于不同畝產(chǎn)量