2024-2025學(xué)年寧夏回族自治區(qū)高三上學(xué)期第四次月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷一、單選題（本大題共8小題）1．復(fù)數(shù)的虛部為（

）A． B．3 C． D．3i2．若一個(gè)圓錐底面半徑為1，高為，則該圓錐表面積為（

）A． B． C． D．3．已知向量，（），若，則（

）A． B． C． D．4．若，則（

）A． B． C． D．5．已知為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，公差為d.若，，則（）A． B．C． D．無最大值6．如圖所示，正方體的棱長為1，點(diǎn)分別為的中點(diǎn)，則下列說法正確的是（

）A．直線與直線垂直 B．直線與平面平行C．三棱錐的體積為 D．直線BC與平面所成的角為7．已知函數(shù)（為常數(shù)），若在上的最大值為，最小值為，且，則（

）A．6 B．4 C．3 D．28．設(shè)，．若動(dòng)直線與交于點(diǎn)A，C，動(dòng)直線與交于點(diǎn)B，D，則的最大值是（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知，是兩條不同的直線，，是兩個(gè)不同的平面，則下列說法正確的是（）A．若，，，則 B．若，，，則C．若，，，則 D．若，，，則10．已知直線：，圓：，以下正確的是（

）A．與圓不一定存在公共點(diǎn)B．圓心到的最大距離為C．當(dāng)與圓相交時(shí)，D．當(dāng)時(shí)，圓上有三個(gè)點(diǎn)到的距離為11．設(shè)與其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，若的圖象關(guān)于對(duì)稱，在上單調(diào)遞減，且，則（

）A．為偶函數(shù) B．的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱C． D．的極小值為-3三、填空題（本大題共3小題）12．已知，若直線與直線相互垂直，則a=.13．如圖所示，在棱長為6的正方體中，點(diǎn)分別是棱，的中點(diǎn)，過，，三點(diǎn)作該正方體的截面，則截面的周長為．14．已知是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，且，若將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位后得到的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，且函數(shù)在恰有2個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)取值范圍為.四、解答題（本大題共5小題）15．記是公差不為0的等差數(shù)列的前項(xiàng)和，，且成等比數(shù)列.(1)求和；(2)若，求數(shù)列的前20項(xiàng)和.16．已知函數(shù).(1)求的圖象在點(diǎn)處的切線與坐標(biāo)軸圍成的封閉圖形的面積；(2)設(shè)函數(shù)，若在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)的取值范圍.17．如圖，在四棱錐中，底面，，，，，為棱的中點(diǎn)，是線段上一動(dòng)點(diǎn).

(1)求證：平面平面；(2)若直線與平面所成角的正弦值為時(shí)，求平面與平面夾角的余弦值.18．在中，設(shè)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，且滿足．(1)求角B；(2)若，求面積的最大值；(3)求的取值范圍．19．已知二階行列式，三階行列式，其中分別為的余子式（某個(gè)數(shù)的余子式是指刪去那個(gè)數(shù)所在的行和列后剩下的行列式）．(1)計(jì)算．(2)設(shè)函數(shù)．①若的極值點(diǎn)恰為等差數(shù)列的前兩項(xiàng)，且的公差大于0，求；②若且，函數(shù)，證明：．

答案1．【正確答案】B【詳解】化簡(jiǎn)，得其虛部為3.故選：B2．【正確答案】A【詳解】由題意可知圓錐的母線長，底面圓周長為，底面圓面積為，所以圓錐側(cè)面積為，故該圓錐表面積為.故選：A.3．【正確答案】B【詳解】因?yàn)?，，所以，；因?yàn)椋?，即，解得或（舍去），所以，；故選：B.4．【正確答案】C【分析】由題意可知，根據(jù)二倍角公式及同角的三角函數(shù)關(guān)系可得，即可得答案.【詳解】解：因?yàn)?，所?故.故選：C.5．【正確答案】B【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，則，即，可得，則，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)?，則，所以，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)?，且，可知，?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；可知當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取到最大值，故D錯(cuò)誤，對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)?，所以，故C錯(cuò)誤；故選：B.6．【正確答案】B【分析】對(duì)于A，根據(jù)正方體的性質(zhì)判斷；對(duì)于BD，利用空間向量判斷；對(duì)于C，利用體積公式求解即可.【詳解】對(duì)于A：為正方體，所以，直線與直線不垂直，所以直線與直線不垂直，故A錯(cuò)誤；如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，對(duì)于B：，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，則，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)樵谄矫嫱?，所以直線與平面平行，故B正確；對(duì)于C：，所以三棱錐的體積為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：，直線BC與平面所成的角為，，故D錯(cuò)誤.故選B.7．【正確答案】D【分析】將函數(shù)解析式化為，令，則，設(shè)，，可判斷是奇函數(shù)，根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)及，求得答案.【詳解】因?yàn)?，，令，則，設(shè)，，則，所以是奇函數(shù)，最大值為，最小值為，則，由，解得.故選D.8．【正確答案】B【詳解】，圓心，半徑，過定點(diǎn)，過定點(diǎn)，且⊥，如圖，設(shè)和BD中點(diǎn)分別為F、G，則四邊形為矩形，

設(shè)，，則，則＝，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào).故選：B.9．【正確答案】AC【詳解】對(duì)于A，由，得存在過直線的平面與平交，令交線為，則，而，，則，，因此，A正確；對(duì)于B，由，，，得是平行直線或異面直線，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由，得存在過直線的平面與平交，令交線為，則，由，得，又，則，因此，C正確；對(duì)于D，，，，當(dāng)都平行于的交線時(shí)，，D錯(cuò)誤.故選：AC10．【正確答案】ABD【詳解】對(duì)于A，圓心到直線的距離為，當(dāng)，即，解得或，此時(shí)直線與圓相離，沒有公共點(diǎn)，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)橹本€，即，所以直線過定點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，圓心到直線的距離最大，最大值為，故B正確；對(duì)于C，當(dāng)直線與圓相交時(shí)，則，解得，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，直線，圓心到直線的距離為，所以圓上有三個(gè)點(diǎn)到直線的距離為，故D正確.故選：ABD.11．【正確答案】ABD【詳解】因?yàn)榈膱D象關(guān)于對(duì)稱，所以，即，則為偶函數(shù)，故A正確；由得，，兩邊取導(dǎo)數(shù)得，，即，所以，則是奇函數(shù)，所以圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故B正確；由上可知，，又由得，所以，則，所以有，即函數(shù)是一個(gè)周期函數(shù)且周期為8；又由，令得，，則，故C錯(cuò)誤；由在上單調(diào)遞減，又的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱可知，在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減，又的圖象關(guān)于對(duì)稱，所以在上單調(diào)遞增，由周期性可知，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，取得極小值，即，故D正確，故選：ABD.12．【正確答案】0或2【詳解】兩直線垂直，故，解得或2.故或213．【正確答案】【詳解】如圖，延長相交于，連接，交于，延長相交于，連接交于，可得截面五邊形，是邊長為的正方體，且分別是棱的中點(diǎn)，，截面的周長為.故答案為.14．【正確答案】【詳解】由，即，可得或，根據(jù)正弦函數(shù)圖象性質(zhì)可知，解得，則；將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位可得，又為偶函數(shù)，則，又，可得，因此；當(dāng)時(shí)，可知，若函數(shù)在內(nèi)恰有個(gè)極值點(diǎn)，可知，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為.15．【正確答案】(1)，；(2)【詳解】（1）設(shè)已知數(shù)列的公差為，則，由，得，即，所以或，顯然不為0，所以，所以，.（2）由（1）知，又，，，所以.16．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）由題意得，則.又因?yàn)?，所以的圖象在點(diǎn)處的切線為，與兩個(gè)坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為和，所求的封閉圖形的面積為.（2）的定義域?yàn)?,+∞，因?yàn)樵诙x域內(nèi)單調(diào)遞減，所以，即，所以.設(shè)，則.當(dāng)時(shí)，?′x>0，?x單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，?′所以，所以的取值范圍是.17．【正確答案】(1)證明見解析；(2).【詳解】（1）因?yàn)?，，則，又平面，平面，則，而，平面，因此平面，又平面，所以平面平面.

（2）因?yàn)榈酌?，，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，則、、、、、，設(shè)，，其中，顯然平面的一個(gè)法向量為，依題意，，解得，于是為的中點(diǎn)，即，設(shè)平面的法向量為，，，則，取，得，而平面的一個(gè)法向量為，所以平面與平面夾角的余弦值為.18．【正確答案】(1)(2)(3)【詳解】（1）因?yàn)椋鶕?jù)正弦定理得：，且，可得，即，又因?yàn)椋瑒t，可得，整理可得，且B∈0,π，則，可得，解得.（2）由余弦定理得：，即，可得，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以的面積為：，故面積的最大值為.（3）根據(jù)正弦定理得：，令，則，可得，將原式化為：，因?yàn)?，則，可得，根據(jù)二次函數(shù)的圖像性質(zhì)得到，當(dāng)時(shí)，原式取得最小值，；當(dāng)時(shí)，原式取得最大值，；故的取值范圍為.19．【正確答案】(1)18(2)①；②證明見解析【詳解】（1）原式．（2）．

（i）．當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．

所以在和上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，所以的極大值點(diǎn)為，極小值點(diǎn)為1．

因?yàn)榈臉O值點(diǎn)恰為等差數(shù)列的前兩項(xiàng)，且的公差大于0，所以，

則公差，所以，

所以．

（ii）因?yàn)?，所以在上無零點(diǎn)，在上存在唯一零