知識框架一、典型題的技巧解法

數(shù)列的分類1、求通項公式

胃1、數(shù)列的通項公式一函數(shù)角度理財（1）觀察法.（2）由通推公式求通項.

的械含數(shù)列的遞推關系對F由遞推公式所偷定的數(shù)列的求解,通?？赏ㄟ^對通推公式的變換傳化成等

差數(shù)列或等比數(shù)列向題。

等差數(shù)列的定義q-，*=〃（〃之2）⑴遞推式為％”=%+d及％,產(chǎn)qa,（d,q為常數(shù)）

等差數(shù)列的通項公式心=q+（“-IH例】、已知瓜）滿足—產(chǎn)4+2,而且a尸1,求小.

等差數(shù)列

等差數(shù)列的求和公式邑=±q+M）=”q+空三2/例1、解?：a..L&=2為常數(shù)二㈤）是苜項為1,公差為2的等差數(shù)列

+2（n-1）即a產(chǎn)2n-l

等差數(shù)列的性質(zhì)q+q,=%+”?(，”+〃=p+q)

例2、己如｛qj滿足％”=；4,，而q=2.求小二？

兩個基

等比數(shù)列的定義上=/“N2）解,常數(shù)

本數(shù)列0.T

等比數(shù)列的通項公式““■卬廣?

等比數(shù)列4"~44“一“"，...（、）是以2為苜項.公比為:的等比數(shù)列

數(shù)列(</*h

等比數(shù)列的求和公KS.1-q

，，卬q=I)?…2?6尸.￡

等比數(shù)列的情歷“."”=（，，，+"=P'*'<1）

公式法

分俎求和(2)遞推式為4-產(chǎn)&+f(n)

儲位相減求和例3、已知恒“｝中q=：?a?.,=??+4-,?求?！?

數(shù)列

矍項求和24n~-1

求和

倒序梢加求和髀：由已知可知a--a,-------上----■,1-7-Z~??)

家加索機(2/i+1X2/1-I)22n-12n+l

UI納環(huán)妞訐明

-n=L2?….(n-1)?代入得(n*l)一等式累加,即(ar.)+(OJ-IU)?…

分期付款

數(shù)列的應用J4i>

其他

掌握了數(shù)列的基本知識，特別是等差、等比數(shù)列的定義、通項公式、

求和公式及性質(zhì)，掌握了典型題型的解法和數(shù)學思想法的應用，就有可

能在高考中順利地解決數(shù)列問翅。

★說明只要和f(1)+f(2)+…+f(n-l)是可求的，就可以由

a.產(chǎn)a"(n)以n=L2.???,(n-1)代入.可祠?n-1個等式累加而求q,?4,引輔映列40弋八機.「沿彳后庠

(3)遞推式為a^FpSn+q(p.q為常數(shù))

例4、(鞏｝中，％=1,對于n>l(n￡N)有q=3ae+2.求凡.(5)遞推式為%.：=叫.+叫

解法一：由己知遞推式得a,”=3a,+2,a?=3a,共2?兩式相減；--a=3(&-a-)

思路：改a?t2=網(wǎng)川+(fan,可以變形為：可公-aa”產(chǎn)^(.a,it-aaj.

因此數(shù)列｛a,「&｝是公比為3的等比數(shù)列，其首項為a；-a產(chǎn)(3X1+2)-1=4

.,.a.--a.=4?3-,?.&.k3&*2.*.3a.+2-a.-4-3"*即iu=2?3,-1

1則可從｛:Ml1解存。'。?

解法二：上法得展「&｝是公比為3的等比數(shù)列，于是缶a「a,-4,a「al-3.就是?（。+B）、?]?aBa..

a?-ax=4,3：,…，an-4,3"

把n-1個/?奇=4（，03??！?第一）/（[■邢）于是㈤「《>a?,是公比為B的等比數(shù)列.就轉(zhuǎn)化為前面的類型.

.*.an=2?3n-l-l

【例】己知數(shù)列中.+!、,

(4)遞推式為％i=p4+qn(p,q為常數(shù))6(aj5?1,a1?2.3■

佛】已知⑺中,1,-j,Y)。木、.

胃解在的兩邊索以2F

=一2

2*(2工)+1,令b.=八a+P=P]a”3

f…卜…1

則%.?。蝗?L于是可將,=-

21

加一瓦,=；血一如)由上冊的解法，得：2=3-2守然

在小?5111tl.7aB兩邊感去j.得

4=爭=乂》"?2(》?*i)(/?「/)

二(a..「是公比為?1,首項為a「a產(chǎn)1的等比數(shù)列.

會說明對于遞推式、“=pa.+qL可兩邊除如3.得看=

q

?二、…如（??f

2、錯項相減法：適用于差比數(shù)列（如果｛4｝等差.｛4｝等比,那么｛a也｝

（6）遞推式為與與&的關京式叫做差比數(shù)列）

即把好一項都乘以｛2｝的公比向后錯項，再對應H次

此類型可陋

項和融，轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和.

【例7】設（、）前n項的和工=4?\?/?（。求ap與"的關系:

3、裂項相消法：即把包一項都拆成正負兩項，使其正負抵涓,只余有第幾

（2）試用n表示&。丁項，可求和.

適用于數(shù)列<」一1和廣?一（其中｛%｝等差）

解（0由S「4?a「尸得

"?3JJ4+?,

可費項為：-）,

5M*「S“=（/—0*.|）+（尹—廣）da?a?,

竟兀4向一向

1I

1

*22等差敷列前”項和的量值問題：

上式兩邊同乘以2"”得2"，.F2na.+2則（2'a.l是公箱為2的等差數(shù)列。

：

.2"a.=2*（n-1）-2=2n尸n1、苦等差數(shù)列｛《,｝的苜項4>0.公勞dvO.則前〃項和，，有最大做.

a50

（i）若已知通項4.則S.最大O,"人：

4.10

（ii）齊己知S.=p/+w.則當”取最靠近-&的#零自然數(shù)時￡最

2P

數(shù)列求和的常用方法；大；

1、拆項分組法：即把何一項拆成幾項.電新組合分成幾組.轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)2.若等差數(shù)列｛q｝的苜項q<0,公差d>0,則前m項和S/i最小伯

列求和.

（i）若已知通頂見.購3最小'八：

1-0

⑵形如勺=丁片一^的遞推數(shù)列都可以用倒數(shù)法求通項.

kJ+b

（ii）若已切S.="〃2+4〃，則當“取最靠近-4-的非零自然數(shù)時兄齦

2P（3）形如=a「的通排數(shù)列都可以用對數(shù)法求通

??；（7）（理科）數(shù)學歸納法

數(shù)列通項的求法：

⑴公式法：①等整數(shù)列通項公式：②等比數(shù)列通項公式.（?＞當遇到".“-a-=d或也?=〃時，分奇數(shù)項偶數(shù)項討論.結(jié)果可

⑵已知Sn《叩q+的???+%=〃"））求生，用作差法；4T

a_fSr（n=l）能是分段形式.

"”一區(qū)-5…（”22廠

數(shù)列求和的常用方法：

C1）公式法：①等差數(shù)列求和公式：②等比數(shù)列求和公式.

已知?0“=/（”）求a.?用作商法：。.=《/（〃），?.、？、?12＞分姐求和法：在直接運用公式法求和有困難時，常將??和式”中-網(wǎng)類項”

17（^）J用公dti市區(qū)卬外汁汁去糊

⑶倒序相加法；西和疝倒石尾距離相等的兩用和有其共性或數(shù)列的通項。

⑶已知條件中設有還有時先求再求有時也可直接求生。

S”TTa“，S..4；阻仔數(shù)相關聯(lián).則常可考慮選用例序相加法，發(fā)揮其共性的作用求和（這也是

（4）若=求a.用累加法：等差數(shù)列前〃和公式的推導方法）.

錯位相成法：如果數(shù)列的通項是由一個等差數(shù)列的通項與一個等比數(shù)列的

4=（4_%）+（%——??.+（/一?!）（4

通項相乘構成.那么常選用錯位相減法（這也是辱比數(shù)列前〃和公式的推導方

+《（”22＞。

法）,

⑸已知%￡=”“）求外,用累乘法：耳=且_,也.…2q5N2）。（5）裂項相消法：如果數(shù)列的通項可“分裂成兩項弟"的形式.[1相笠蹊分裂

4%*《后相關麻，那么常選用裂項相消法求和.常用裂項形式由.：

?i；]=，一】■?②=X(A?

⑹已如遞推美系求4,用構造法（構造等卷、等比數(shù)列）.M"+Dn〃+1n[n^k)kn

@….c

特別地，（1）形如%=“.=k*+N（人力為常政》的遞-白

1111111

推數(shù)列都可以用待定系數(shù)法H化為公比為女的等比數(shù)列后，再求（：形

如a.=A”一+K的遞推數(shù)列都可以除以K得到一個等差數(shù)列后?再求--------------------=—|----------------------------------]|&-----------=-----------------

“OJ+IMA+2)2m〃+1)(/?+1>(??+2)(n+1)!”！(〃+1)!

@2(4+1-4n｝=i2<-J=<2=2(4-V/t-l)又S,=4,??,{S}是等比數(shù)列，S.=4,

Vw+vw+1〃+B

1

二、解題方法:n22時，an=S?-Sn_j=........=3?4"

、登柒法

求數(shù)列通項公式的常用方法:4

1、公式法例如：數(shù)列｛aj中，a1=3,%=」：，求a.

a.n+1

2、由S“求用

(n=l時，a,=Sj.n>2^.a,=Sn-S,,.1)

3,求差(商)法

又ai=3./.aB=~

如；｛磊｝滿足;a［+5a?+.......+=2m-5<I>n

5、等差型遏推公式

解：n=lilt.-^a=2x1+5..*.a=14

(t由a(,-a.?=f(n),a=a?,求/，用迭加法

一)

n*2時，；a|+*a?+.......+^yan-i=2n-l+5<2>n>2時，a2-3|=f(2)

;「⑶兩邊相加，得：

<I>—<2>?t?s=2

an-a(=f(2)+f(3)+........+f(n)

14<n=I)

?*.a?—1

2，“(nZ2).*.an=a0+f(2)+f(3)+.......+f(n)

［練習］［練習］

數(shù)列｛an｝滿足Sn+Sn“=1an“，a1=4,求a.1

數(shù)列｛a.｝,a!-l.an-3*+a,_|(n>2),求a.

(a,=l(r-l))

(注意到其“=S.6-S.代入得：步=4

6,等比型遞推公式

a“=ca11T+d(c、d為常數(shù)，c*()?c*I.d*0)

可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列.iftaB+X=c(a..1+x)

為等差數(shù)列，—=L公差為:

=>an=caB.,*(c-l)xWa(2

令(c-l)x=d,x=—^―

c-I:.—=1+(□-1)?-=-(n+1)

.?,,0+白｝是首項為\+3］,(:為公比的等比數(shù)列

,.巴磊

2.數(shù)列求和問愚的方法

(IX應用公式法

等舉、等比數(shù)列口J71接利用等差、等比數(shù)列的前n項和公式求和.另外記住以

［練習］卜公式對求和來說是有益的.

M2+3+……映/

數(shù)列｛aj滿足如=9.3a.fcl+afl=4,求a.

1+3+5+……+(2n-l)=na

-+2、門,一+不=.2戶2

7、倒數(shù)法6

1"+3*?…+???[岑如.

例如：a[=l.j?求九

【例例求教列1,《3+5〉，(7郎HD,<13+I5T7+19),…前e項的和.

解本理實際是求各奇數(shù)的和，在數(shù)列的前n項中,共分1+2-…F-1”("+I)

由己知得;

2u

?!?I個奇如

(4)、錯位相減法

.,.li"；一個奇數(shù)為il“-n(n+DT]X2=n*nT

2如果一個數(shù)列是由一個等差敷外與一個等比數(shù)列對應項相乘構成的.可把和

因此所求數(shù)列的前n項的和為式的西端同乘以上面的等比敬列的公比，然后錯位相而求和.

例11、求數(shù)列I,3x.5x=.(2n-Dxi前n項的和一

解設￡=1+3+5、[+…+(2n-Dx1①

(2。\

4<2>x=O0t.S.=l.

(2)、分解傳化法?3>當>工0且xHl時,在式①兩邊同乘以x得―x'+5-『1*,

對通項進行?分解、折臺,轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列求和.②

【例9]求和S=1?(n1-1>+2?<n-f)+3?(n:-3~)+…％<n:-n:)(3>②，得(l-x)S.=l+2x+2xi,+2x,+-+2x'r,-(2n-l)x\

解S=n?32+3+…n)-(l'+2”撲”?+?')

由公式知s.=1-口+須；7」?(&-】**]

■na?gn(n+1)(n+1),1-X1-X

241?一—(Zn+Dx'+lZn。Dx^

■(F^P,

■(n+1)(n-0

(5)裂項法；

Cna-1)把通項公式整理成兩項(式多項)差的形式，然后前后相消.

格見裂項方法：

⑶、倒序相加法

適用于給定式子中與苜末兩項之和具有典型的規(guī)律的數(shù)列，采取把正著寫與倒

著寫的兩個和式相加.然后求和-

例10、求和；S“=3C：+6c++3仁

例10、解SB=0.C；+3C；+6C；+—4-3WC；

又S.?3nC；*3(n-1)Cr+…+0C：

相加,且運用可得例12、求和---+-----+----+---------------

1-53.75?9(2?-lX2rt+3)

2S.?％(C；+C：+…+G),丸?2*

—.He1111

例3-------?---------?---------?---------------------------------

1?53?75?9(2n-I)<2o+5)

:.S.=3n-2"

M1I'1】、

解、(2nT)(2?+3)彳兄丁寸才

2.方程思想

【例14】設等比數(shù)列瓜>前n項和為若"&=2工，求數(shù)列的公比q。

$?—[1—?-------?-------????，--------------------+--------------------1分析木膻考直等比數(shù)列的基礎知識及推理能力.

*41537592n-32n*l2n-l2nT

解：依題就可知q#l?

l.111,

r??'如果q=l,則S產(chǎn)3a“S?=6aieS=9a”由此應推出eM與等比數(shù)列不

4LI32n72n*3」

必

n(4n?5)

Vq*l

*X2n*1X2n?3)

.(14).小q，).一(卜丁)

注：在消項時一定注意消去了曜些項，還剩下哪些項，一般地剩下的正項與

負項一樣多.