第第頁第09課圓錐曲線中的最值、定點(diǎn)、定值問題題型一與線段、周長有關(guān)的最值問題【例1】若P，Q分別是拋物線與圓上的點(diǎn)，則的最小值為________．【答案】.【分析】設(shè)點(diǎn)，圓心，的最小值即為的最小值減去圓的半徑，求出的最小值即可得解．【詳解】依題可設(shè)，圓心，根據(jù)圓外一點(diǎn)到圓上一點(diǎn)的最值求法可知，的最小值即為的最小值減去半徑．因?yàn)椋?，設(shè)，，由于恒成立，所以函數(shù)在上遞減，在上遞增，即，所以，即的最小值為．故答案為：．【變式1-1】已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)，為拋物線上一動點(diǎn)，則周長的最小值為______.【答案】【分析】過作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，過作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，進(jìn)而結(jié)合拋物線的定義求解即可.【詳解】解：由題知，準(zhǔn)線方程為.如圖，過作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，過作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，所以周長，當(dāng)且僅當(dāng)為與拋物線的交點(diǎn)時等號成立.故答案為：.題型二與面積有關(guān)的最值問題【例2】已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)，且橢圓的長軸長為．(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)經(jīng)過點(diǎn)的直線與橢圓相交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為，直線與軸相交于點(diǎn)，求的面積的取值范圍．【答案】(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)已知條件可得出的值，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓的方程，可得出，即可得出橢圓的方程；（2）分析可知直線不與軸重合，設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，寫出直線的方程，可求得點(diǎn)的坐標(biāo)，利用三角形的面積公式以及對勾函數(shù)的單調(diào)性可求得的取值范圍.【詳解】（1）解：因?yàn)闄E圓的長軸長為，則，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓的方程可得，可得，所以，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）解：若與軸重合，則不存在，設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，若，則點(diǎn)與點(diǎn)重合，不合乎題意，所以，，聯(lián)立可得，，由韋達(dá)定理可得，，易知點(diǎn)，，直線的方程為，將代入直線的方程可得，即點(diǎn)，，所以，，令，則函數(shù)在上為增函數(shù)，所以，，所以，.故的面積的取值范圍是.題型三與向量有關(guān)的最值問題【例3】在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別、焦距為2，且與雙曲線共頂點(diǎn)．P為橢圓C上一點(diǎn)，直線交橢圓C于另一點(diǎn)Q．(1)求橢圓C的方程；(2)若點(diǎn)P的坐標(biāo)為，求過P、Q、三點(diǎn)的圓的方程；(3)若，且，求的最大值．【答案】(1)；(2)；(3)【分析】（1）由焦距為2得到，再由雙曲線的頂點(diǎn)求出，得到，橢圓方程；（2）求出的方程，與橢圓方程聯(lián)立后得到點(diǎn)Q的坐標(biāo)，待定系數(shù)法求出圓的方程；（3）設(shè)，，由向量共線得到，將兩點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程中，求出，從而表達(dá)出，結(jié)合基本不等式求出最值.【詳解】（1）雙曲線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，故，由題意得，故，故橢圓的方程為．（2）因?yàn)?，，所以的方程為，由，解得點(diǎn)Q的坐標(biāo)為．設(shè)過P，Q，三點(diǎn)的圓為，則，解得，，，所以圓的方程為；（3）設(shè)，，則，，因?yàn)?，所以，即，所以，解得，所以，因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)，即時，取等號．最大值為圓錐曲線中的定值問題題型五圓錐曲線中面積為定值問題【例5】已知圓，點(diǎn)，是圓上一動點(diǎn)，若線段的垂直平分線與線段相交于點(diǎn)．(1)求點(diǎn)的軌跡方程；(2)已知為點(diǎn)的軌跡上三個點(diǎn)（不在坐標(biāo)軸上），且，求的值．【解析】(1)由已知有，∴點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓，其中，∴，∴點(diǎn)的軌跡方程(2)由，可知為的重心，∴，由已知的斜率存在，設(shè)直線的方程為：，，由，則，，由，，∴，，∴．題型六圓錐曲線中線段為定值問題【例6】已知雙曲線與橢圓有相同的焦點(diǎn)，且焦點(diǎn)到漸近線的距離為2.(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)為雙曲線的右頂點(diǎn)，直線與雙曲線交于不同于的，兩點(diǎn)，若以為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)且于，證明：存在定點(diǎn)，使得為定值.【答案】(1)；(2)見解析【分析】（1）由已知可設(shè)，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，根據(jù)條件列出a，c關(guān)系式，解出代入方程即可；（2）對直線的斜率能否為0進(jìn)行討論.斜率不為0時，設(shè)的方程為，聯(lián)立直線與橢圓的方程，有垂直關(guān)系時，在圓錐曲線中常用向量法，化簡得到m，k的關(guān)系式；斜率不存在時，寫出直線方程，驗(yàn)證即可.【詳解】（1）設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，焦點(diǎn)為，，因?yàn)殡p曲線與橢圓有相同的焦點(diǎn)，所以.因?yàn)榻裹c(diǎn)到漸近線的距離為2，所以，從而，故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）證明：設(shè)，.①當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)的方程為，聯(lián)立方程組化簡得，則，即，且因?yàn)?，所以，化簡得所以或，且均滿足.當(dāng)時，直線的方程為，直線過定點(diǎn)，與已知矛盾；當(dāng)時，直線的方程為，過定點(diǎn)②當(dāng)直線的斜率不存在時，由對稱性，不妨設(shè)DE方程為：y=x-1，聯(lián)立方程組，得，得，，此時直線過定點(diǎn)因?yàn)?，所以點(diǎn)在以為直徑的圓上，為該圓的圓心,為該圓的半徑，故存在定點(diǎn)，使得為定值.【變式6-1】已知橢圓C：的離心率為，且過點(diǎn)．（1）求的方程：（2）點(diǎn)，在上，且，，為垂足．證明：存在定點(diǎn)，使得為定值．【解析】（1）由題意可得：，解得：，故橢圓方程為：.(2)［方法一］：通性通法設(shè)點(diǎn)，若直線斜率存在時，設(shè)直線的方程為：，代入橢圓方程消去并整理得：，可得，，因?yàn)?，所以，即，根?jù),代入整理可得：，

所以，整理化簡得，因?yàn)椴辉谥本€上，所以，故，于是的方程為，所以直線過定點(diǎn)直線過定點(diǎn).當(dāng)直線的斜率不存在時，可得，由得：，得，結(jié)合可得：，解得：或（舍）.此時直線過點(diǎn).令為的中點(diǎn)，即，若與不重合，則由題設(shè)知是的斜邊，故，若與重合，則，故存在點(diǎn)，使得為定值.圓錐曲線中的最值、定點(diǎn)、定值問題隨堂檢測1.已知拋物線C：（p＞0），拋物線C的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P在拋物線上，且的最小值為1．(1)求p；(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A，B為拋物線C上不同的兩點(diǎn)，直線OA，OB的斜率分別為，，且滿足，求｜AB｜的取值范圍．【解析】(1)因?yàn)?，則，所以；(2)由（1）得，設(shè)，則則，由得，所以，設(shè)直線方程為，聯(lián)立方程組得，所以則故過焦點(diǎn)，所以．2.設(shè)橢圓經(jīng)過點(diǎn)M，離心率為.(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)橢圓E的右頂點(diǎn)為A，過定點(diǎn)且斜率不為0的直線與橢圓E交于B，C兩點(diǎn)，設(shè)直線AB，AC與直線的交點(diǎn)分別為P，Q，求面積的最小值.【答案】(1)；(2)【分析】（1）把點(diǎn)代入橢圓方程，然后結(jié)合離心率公式即可求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)出直線方程，與橢圓方程聯(lián)立消元寫韋達(dá)，然后表示出直線，的方程，進(jìn)而求得，，求得，結(jié)合韋達(dá)定理即可求解.(1)由題意知，，解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．(2)設(shè)過點(diǎn)的直線方程為，代入橢圓的方程，整理得，因?yàn)?，設(shè)，，則，①，由（1）得，則直線的方程為，令，得，同理可得將，代入，把①式代入，整理得，由，知，所以面積的最小值為.3.已知雙曲線C的漸近線方程為，且過點(diǎn).(1)求C的方程；(2)設(shè)，直線不經(jīng)過P點(diǎn)且與C相交于A，B兩點(diǎn)，若直線與C交于另一點(diǎn)D，求證：直線過定點(diǎn).【答案】(1)；(2)見解析【分析】（1）可設(shè)雙曲線的方程為，將點(diǎn)代入求出，即可得解；（2）可設(shè)直