題型九中點模型【要點提煉】在中考中考察幾何時，不論簡單的題目還是較難的題目，都會經(jīng)常見到中點的身影，當(dāng)題目中提到中點時，往往可以用以下模型來解決問題，將這些模型牢記于心，就可以打開思路【倍長中線或倍長類中線】圖1圖2①倍長中線：如圖1，在▲ABC中，AD是BC邊上的中線，此時我們可以將AD延長一倍，即使DE=AD，并連接CE，即可證明出▲ABD≌▲CDE②倍長類中線（即過中點的其他線段）：如圖2，在▲ABC中，D是BC邊上的中點，此時我們可以將ED延長一倍，即使DF=DE，并連接CF，即可證明出▲BED≌▲CDF【等腰三角形與中點】在題目的題干中同時出現(xiàn)“等腰”和“中點”字樣時，我們就可以做出如圖中AD一樣的中線作為輔助線，此時由于等腰三角形有三線合一的性質(zhì)，即可得出AD⊥BC，AD平分∠BAC的結(jié)論直角三角形與中點在題目的題干中同時出現(xiàn)“直角”和“中點”字樣時，我們就可以做出如圖中CD一樣的中線作為輔助線，此時由于直角三角形有斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，可得出的結(jié)論多個中點時，構(gòu)造中位線如圖，在四邊形ABCD中，M是AD的中點，N是BC的中點，此時在題目中提到了兩個中點，是多個中點的情況，我們就會聯(lián)想到中位線這個知識點，可是圖中沒有已知的三角形和中位線，那就需要構(gòu)造三角形和中位線作法：連接BD（構(gòu)造▲BCD和▲ABD，取BD的中點為G，連接GN即為▲BCD的中位線，連接MG即為▲ABD的中位線【專題訓(xùn)練】一．選擇題（共5小題）1．（2020?呼倫貝爾）如圖，在△ABC中，BD，CE分別是邊AC，AB上的中線，BD⊥CE于點O，點M，N分別OB，OC的中點，若OB＝8，OC＝6，則四邊形DEMN的周長是（）A．14 B．20 C．22 D．282．（2020?南通）如圖，在△ABC中，AB＝2，∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，D是BC的中點，直線l經(jīng)過點D，AE⊥l，BF⊥l，垂足分別為E，F(xiàn)，則AE+BF的最大值為（）A．6 B．22 C．23 D．323．（2020?寧波）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD為中線，延長CB至點E，使BE＝BC，連接DE，F(xiàn)為DE中點，連接BF．若AC＝8，BC＝6，則BF的長為（）A．2 B．2.5 C．3 D．44．（2019?銅仁市）如圖，D是△ABC內(nèi)一點，BD⊥CD，AD＝7，BD＝4，CD＝3，E、F、G、H分別是AB、BD、CD、AC的中點，則四邊形EFGH的周長為（）A．12 B．14 C．24 D．215．（2019?黃石）如圖，在△ABC中，∠B＝50°，CD⊥AB于點D，∠BCD和∠BDC的角平分線相交于點E，F(xiàn)為邊AC的中點，CD＝CF，則∠ACD+∠CED＝（）A．125° B．145° C．175° D．190°二．解答題（共6小題）6．（2020?天水）性質(zhì)探究如圖（1），在等腰三角形ABC中，∠ACB＝120°，則底邊AB與腰AC的長度之比為．理解運用（1）若頂角為120°的等腰三角形的周長為4+23，則它的面積為；（2）如圖（2），在四邊形EFGH中，EF＝EG＝EH，在邊FG，GH上分別取中點M，N，連接MN．若∠FGH＝120°，EF＝20，求線段MN的長．類比拓展頂角為2α的等腰三角形的底邊與一腰的長度之比為．（用含α的式子表示）7．（2020?泰安）若△ABC和△AED均為等腰三角形，且∠BAC＝∠EAD＝90°．（1）如圖（1），點B是DE的中點，判定四邊形BEAC的形狀，并說明理由；（2）如圖（2），若點G是EC的中點，連接GB并延長至點F，使CF＝CD．求證：①EB＝DC，②∠EBG＝∠BFC．8．（2020?泰安）小明將兩個直角三角形紙片如圖（1）那樣拼放在同一平面上，抽象出如圖（2）的平面圖形，∠ACB與∠ECD恰好為對頂角，∠ABC＝∠CDE＝90°，連接BD，AB＝BD，點F是線段CE上一點．探究發(fā)現(xiàn)：（1）當(dāng)點F為線段CE的中點時，連接DF（如圖（2）），小明經(jīng)過探究，得到結(jié)論：BD⊥DF．你認(rèn)為此結(jié)論是否成立？．（填“是”或“否”）拓展延伸：（2）將（1）中的條件與結(jié)論互換，即：BD⊥DF，則點F為線段CE的中點．請判斷此結(jié)論是否成立．若成立，請寫出證明過程；若不成立，請說明理由．問題解決：（3）若AB＝6，CE＝9，求AD的長．9．（2020?常德）已知D是Rt△ABC斜邊AB的中點，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，過點D作Rt△DEF使∠DEF＝90°，∠DFE＝30°，連接CE并延長CE到P，使EP＝CE，連接BE，F(xiàn)P，BP，設(shè)BC與DE交于M，PB與EF交于N．（1）如圖1，當(dāng)D，B，F(xiàn)共線時，求證：①EB＝EP；②∠EFP＝30°；（2）如圖2，當(dāng)D，B，F(xiàn)不共線時，連接BF，求證：∠BFD+∠EFP＝30°．10．（2020?金華）如圖，在△ABC中，AB＝42，∠B＝45°，∠C＝60°．（1）求BC邊上的高線長．（2）點E為線段AB的中點，點F在邊AC上，連接EF，沿EF將△AEF折疊得到△PEF．①如圖2，當(dāng)點P落在BC上時，求∠AEP的度數(shù)．②如圖3，連接AP，當(dāng)PF⊥AC時，求AP的長．11．（2019?沈陽）思維啟迪：（1）如圖1，A，B兩點分別位于一個池塘的兩端，小亮想用繩子測量A，B間的距離，但繩子不夠長，聰明的小亮想出一個辦法：先在地上取一個可以直接到達(dá)B點的點C，連接BC，取BC的中點P（點P可以直接到達(dá)A點），利用工具過點C作CD∥AB交AP的延長線于點D，此時測得CD＝200米，那么A，B間的距離是米．思維探索：（2）在△ABC和△ADE中，AC＝BC，AE＝DE，且AE＜AC，∠ACB＝∠AED＝90°，將△ADE繞點A順時針方向旋轉(zhuǎn)，把點E在AC邊上時△ADE的位置作為起始位置（此時點B和點D位于AC的兩側(cè)），設(shè)旋轉(zhuǎn)角為α，連接BD，點P是線段BD的中點，連