1.1.1空間向量與線性運算（一）、回顧平面向量1.平面向量的概念名稱定義備注向量既有又有的量。向量的大小叫做向量的長度或模平面向量是自由向量零向量長度等于0的向量，其方向是任意的記作0單位向量長度等于1個單位的向量與非零向量QUOTE共線的單位向量為平行向量(或共線向量)方向的向量0與任一向量平行（或共線）相等向量長度且方向的向量兩向量只有相等或不等，不能比大小相反向量長度且方向的向量0的相反向量為2.向量的線性運算（1）加法：是指求兩個向量和的運算；法則（幾何意義）：三角形法則、平行四邊形法則。（2）減法：是指求QUOTE與QUOTE的相反向量的和的運算叫做QUOTE與QUOTE的差；法則（幾何意義）：三角形法則。（3）數(shù)乘：是指求實數(shù)QUOTE與向量QUOTE的積的運算；法則（幾何意義）：①Q(mào)UOTE；②當QUOTE時，QUOTE與QUOTE的方向；③當QUOTE時，QUOTE與QUOTE的方向；④四QUOTE時，QUOTE=.3.共線向量定理向量與QUOTE共線的充要條件是，當且僅當存在唯一實數(shù)λ，使得QUOTE。4.平面向量基本定理如果QUOTE是同一平面內(nèi)的兩個向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意向量QUOTE，一對實數(shù)QUOTE使QUOTE，其中不共線的向量QUOTE叫表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底。結(jié)論：（1）若向量QUOTE，QUOTE不共線，則QUOTE的等價條件是QUOTE；（2）三終點A,B,C共線存在實數(shù)QUOTE使得QUOTE=QUOTE，且QUOTE5.兩個向量的夾角（1）定義：一直兩個非零向量QUOTE，作QUOTE，則∠QUOTE叫做QUOTE與QUOTE的夾角。（2）范圍：夾角QUOTE的取值范圍是。①當QUOTE與QUOTE同向時，QUOTE=；②反向時，QUOTE=；③當QUOTE與QUOTE垂直時，QUOTE=，并記作QUOTE⊥QUOTE。6.兩向量的夾角分別是銳角與鈍角的充要條件（1）QUOTE與QUOTE的夾角是銳角QUOTE·QUOTE0且QUOTE與QUOTE不共線；（2）QUOTE與QUOTE的夾角是鈍角QUOTE·QUOTE0且QUOTE與QUOTE不共線。（二）、學習空間向量知識點一：空間向量的有關(guān)概念1．空間向量(1)定義：在空間，具有大小和方向的量叫做空間向量．(2)長度或模：空間向量的大?。?3)表示方法：①幾何表示法：空間向量用有向線段表示；②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起點是A，終點是B，也可記作：eq\o(AB,\s\up8(→))，其模記為|a|或|eq\o(AB,\s\up8(→))|.2．幾類常見的空間向量名稱方向模記法零向量任意00單位向量任意1相反向量相反相等a的相反向量：－aeq\o(AB,\s\up8(→))的相反向量：eq\o(BA,\s\up8(→))相等向量相同相等a＝b知識點二：空間向量的線性運算(1)、向量的加法、減法空間向量的運算加法eq\o(OB,\s\up8(→))＝eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\o(OC,\s\up8(→))＝a＋b減法eq\o(CA,\s\up8(→))＝eq\o(OA,\s\up8(→))－eq\o(OC,\s\up8(→))＝a－b加法運算律①交換律：a＋b＝b＋a②結(jié)合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)(2)、空間向量的數(shù)乘運算①定義：實數(shù)λ與空間向量a的乘積λa仍然是一個向量，稱為向量的數(shù)乘運算．當λ>0時，λa與向量a方向相同；當λ<0時，λa與向量a方向相反；當λ＝0時，λa＝0；λa的長度是a的長度的|λ|倍．②運算律結(jié)合律：λ(μa)＝μ(λa)＝(λμ)a.分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb.知識點三：共線問題共線向量(1)定義：表示若干空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量．(2)方向向量：在直線l上取非零向量a，與向量a平行的非零向量稱為直線l的方向向量．規(guī)定：零向量與任意向量平行，即對任意向量a，都有0∥a.(3)共線向量定理：對于空間任意兩個向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實數(shù)λ使a＝λb.(4)如圖，O是直線l上一點，在直線l上取非零向量a，則對于直線l上任意一點P，由數(shù)乘向量定義及向量共線的充要條件可知，存在實數(shù)λ，使得eq\o(OP,\s\up8(→))＝λa.知識點四：向量共面問題共面向量(1)定義：平行于同一個平面的向量叫做共面向量．(2)共面向量定理：若兩個向量a，b不共線，則向量p與向量a，b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(x，y)，使p＝xa＋yb.(3)空間一點P位于平面ABC內(nèi)的充要條件：存在有序?qū)崝?shù)對(x，y),使eq\o(AP,\s\up8(→))＝xeq\o(AB,\s\up8(→))＋yeq\o(AC,\s\up8(→))或?qū)臻g任意一點O，有eq\o(OP,\s\up8(→))＝eq\o(OA,\s\up8(→))＋xeq\o(AB,\s\up8(→))＋yeq\o(AC,\s\up8(→)).（4）共面向量定理的用途：①證明四點共面②線面平行（進而證面面平行）。重難點題型突破1空間向量的有關(guān)概念例1、（1）．（2023春·高二課時練習）下列命題中是假命題的是（

）A．任意向量與它的相反向量不相等B．和平面向量類似，任意兩個空間向量都不能比較大小C．如果，則D．兩個相等的向量，若起點相同，則終點也相同【答案】A【分析】由零向量的定義可判斷AC，由向量的性質(zhì)可判斷BD.【詳解】對于A，零向量的相反向量是它本身，A錯誤；對于B，空間向量是有向線段，不能比較大小，B正確；對于C，如果，則，C正確；對于D，兩個相等的向量，若起點相同，則終點也相同，D正確.故選：A.（2）.（2022·江蘇·高二課時練習）(多選題)下列命題中為真命題的是（）A．向量與的長度相等B．將空間中所有單位向量的起點移到同一點，則它們的終點構(gòu)成一個圓C．空間向量就是空間中的一條有向線段D．方向相同且模相等的兩個向量是相等向量【答案】AD【解析】【分析】直接利用平面向量的定義，相等向量，相反向量的定義，空間向量的定義判定A、B、C、D的真假性．【詳解】對于選項A：向量與是相反向量，長度相等，故A為真命題．對于選項B：將空間中所有單位向量的起點移到同一點，則它們的終點構(gòu)成一個球，故B為假命題．對于選項C：空間向量可以用空間中的一條有向線段表示，但是不是有向線段，故C為假命題．對于選項D：方向相同且模相等的兩個向量是相等向量，符合相等向量的定義，故D為真命題．故選：AD【變式訓練1-1】、（2023春·高二課時練習）（多選題）下列說法錯誤的是（

）A．空間的任意三個向量都不共面B．空間的任意兩個向量都共面C．三個向量共面，即它們所在的直線共面D．若三向量兩兩共面，則這三個向量一定也共面【答案】ACD【分析】A.畫圖舉例判斷；B.利用相等向量判斷；C.畫圖舉例判斷；D.畫圖舉例判斷；【詳解】A.如圖所示：，三個向量共面，故錯誤；B.由相等向量知：通過平移，兩個向量的起點總可以在同一點，故兩個向量都共面，故正確；C.如圖所示：，在正方體中三個向量共面，但它們所在的直線不共面，故錯誤；D.如圖所示：，在正方體中三向量兩兩共面，但這三個向量一定共面，故錯誤；故選：ACD【變式訓練1-2】、（2023秋·高二課時練習）思維辨析(對的打“正確”，錯的打“錯誤”)（1）向量的長度與向量的長度相等．()（2）若表示兩個相等空間向量的有向線段的起點相同，則終點也相同．()（3）零向量沒有方向．()（4）空間兩個向量的加減法運算與平面內(nèi)兩向量的加減法運算完全一致．()【答案】正確正確錯誤正確【分析】根據(jù)定義直接判斷即可.【詳解】（1）相反向量長度相等，故（1）正確；（2）相等向量方向相同、長度都相等，所以若起點相同，則終點也相同，故（2）正確；（3）零向量方向是任意的，故（3）錯誤；（4）空間向量的加減法運算和平面向量的運算法則是相同的，故（4）正確；故答案為：正確；正確；錯誤；正確.重難點題型突破2空間向量的線性運算例2．（1）、（2021秋·高二課時練習）在空間中，下列結(jié)論正確的是（）A．＝＋ B．＝＋＋C．＝＋－ D．＝＋【答案】B【分析】利用向量的加減法法則逐個分析判斷即可.【詳解】對于A，因為，所以A錯誤，對于B，因為，所以B正確，對于C，因為，所以C錯誤，對于D，因為，所以D錯誤，故選：B（2）、（2022·河北滄州·高二期末）如圖，在正方體中，，，，若為的中點，在上，且，則等于（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】【分析】利用空間向量的加減法、數(shù)乘運算推導即可.【詳解】.故選：B.（3）、（2023春·江蘇徐州·高二統(tǒng)考期中）如圖，在平行六面體中，設(shè)，，，則下列與向量相等的表達式是（

）．A． B． C． D．【答案】D【分析】利用空間向量的運算法則計算即可.【詳解】對選項A：，錯誤；對選項B：，錯誤；對選項C：，錯誤；對選項D：，正確．故選：D【變式訓練2-1】、（2023·全國·高三專題練習）如圖所示，在平行六面體中，M為與的交點，若，，，則（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】根據(jù)空間向量的運算法則和空間向量基本定理相關(guān)知識求解即可.【詳解】由題意得，.故選：D【變式訓練2-2】、（2023秋·河北秦皇島·高二秦皇島一中?？计谀ǘ噙x題）如圖，E，F(xiàn)分別是長方體ABCD-A′B′C′D′的棱AB，CD的中點，化簡下列結(jié)果正確的是（

）A． B．C． D．【答案】AB【分析】根據(jù)空間向量線性運算的性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】A：，因此本選項正確；B：，因此本選項正確；C：，因此本選項不正確；D：，因此本選項不正確，故選：AB【變式訓練2-3】、（2022·浙江嘉興·高一期末）(多選題)如圖，在平行六面體中，AC和BD的交點為O，設(shè)，，，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．【答案】AC【解析】【分析】求得判斷選項A；求得判斷選項B；求得判斷選項C；求得判斷選項D.【詳解】選項A：.判斷正確；選項B：.判斷錯誤；選項C：.判斷正確；選項D：.判斷錯誤.故選：AC重難點題型突破3共線定理或共面定理的應(yīng)用例3、（1）.（2005·山東·高考真題）已知空間向量，，且，，，則一定共線的三點是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)向量共線判斷三點共線即可．【詳解】解：，又與過同一點B，∴A、B、D三點共線．故選：C．(2)、（2022·上海市奉賢中學高二階段練習）已知向量，若共面，則________．【答案】±1【解析】【分析】利用共面向量定理直接求解【詳解】因為向量共面,所以存在實數(shù)m、n，使得,m≠0,n≠0,即,所以，解得,所以x=±1.故答案為：±1.(3)、（2023春·江蘇淮安·高二校聯(lián)考期中）已知三點不共線，是平面外任意一點，若由確定的一點與三點共面，則等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)四點共面的充要條件及其推論，即可得出答案.【詳解】由與三點共面以及，可得，，所以.故選：C.【變式訓練3-1】、（2023春·江蘇宿遷·高二?？茧A段練習）已知向量，不共線，，，，則（

）A．與共線 B．與共線C．，，，四點不共面 D．，，，四點共面【答案】D【分析】根據(jù)平面向量共線定理及推論依次判斷各個選項即可.【詳解】對于A，，不存在實數(shù)，使得成立，與不共線，A錯誤；對于B，，，，又，不存在實數(shù)，使得成立，與不共線，B錯誤；對于C、D，若，，，四點共面，則有，，即，故，故，，，四點共面，C錯誤，D正確.故選：D.【變式訓練3-2】、（2023·全國·高二專題練習）對空間中任意一點和不共線的三點，能得到在平面內(nèi)的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】用向量來判定點在平面內(nèi)，只需要滿足：（）【詳解】因為A、B、C三點不共線，則不共線，若四點共面，則存在唯一的一組實數(shù)使得，即，變形得，對于，，整理得，則，所以在平面內(nèi)，故選項正確；對于，，可得：則，故不在平面內(nèi)，故選項錯誤；對于C，，可得：，則，故不在平面內(nèi)，故選項C錯誤；對于，，可得：則，故不在平面內(nèi)，故選項錯誤；故選：【變式訓練3-3】、（2023·江蘇·高二專題練習）（多選題）在正方體中，設(shè)，，，構(gòu)成空間的一個基底，則下列向量不共面的是（

）A．，， B．，， C．，， D．，，【答案】AC【分析】根據(jù)向量線性運算法則，結(jié)合題意，逐一分析各個選項，即可得答案.【詳解】根據(jù)向量的線性運算法則，根據(jù)正方體性質(zhì)，結(jié)合圖象，分析可得：對于A：，由圖象可得三個向量不共面，所以，，不共面，故A正確；對于B：，由圖象可得三個向量共面，所以，，共面，故B錯誤；對于C：由圖象可得三個向量不共面，所以，，不共面，故C正確；對于D：，由圖象可得共面，所以，，共面，故D錯誤.故選：AC重難點題型突破4挑戰(zhàn)滿分壓軸題例4、（1）.（2023·江蘇·高二專題練習）在一個正方體中，為正方形四邊上的動點，為底面正方形的中心，分別為中點，點為平面內(nèi)一點，線段與互相平分，則滿足的實數(shù)的值有A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【答案】C【詳解】因為線段D1Q與OP互相平分，所以四點O，Q，P，D1共面，且四邊形OQPD1為平行四邊形．若P在線段C1D1上時，Q一定在線段ON上運動，只有當P為C1D1的中點時，Q與點M重合，此時λ＝1，符合題意．若P在線段C1B1與線段B1A1上時，在平面ABCD找不到符合條件Q；在P在線段D1A1上時，點Q在直線OM上運動，只有當P為線段D1A1的中點時，點Q與點M重合，此時λ＝0符合題意，所以符合條件的λ值有兩個故選C.（2）．（2022·高二單元測試）已知球是棱長為2的正八面體(八個面都是全等的等邊三角形)的內(nèi)切球，為球的一條直徑，點為正八面體表面上的一個動點，則的取值范圍是_____．【答案】【詳解】如圖所示，設(shè)已知的正八面體，易知平面于球心，且點為正方形的中心，設(shè)球心與正四棱錐的側(cè)面相切于點連接，則，，由，得即正八面體的內(nèi)切球的半徑為為正八面體表面上的任意一點則，即的取值范圍是點睛：本題考查了空間內(nèi)的向量點乘問題，將其轉(zhuǎn)化為從點出發(fā)的向量，利用立體幾何知識求出相切時的長度，繼而算出取值范圍，本題的難點在于向量的轉(zhuǎn)化上，同時也是解題的方法．【變式訓練3-1】、（2023·全國·高三專題練習）如圖，在棱長為2的正四面體ABCD中，點N，M分別為和的重心，P為線段CM上一點．（

）A．的最小為2B．若DP⊥平面ABC，則C．若DP⊥平面ABC，則三棱錐P－ABC外接球的表面積為D．若F為線段EN的中點，且，則【答案】D【分析】A選項由線面垂直證得CM⊥BM，CM⊥AM，進而由點P與點M重合時即可判斷；B選項利用內(nèi)切球求得即可判斷；C選項找到球心，由勾股定理求得半徑，即可判斷；D選項由空間向量的線性運算即可判斷.【詳解】易得，又，則面，又面，則，同理可得，，則CM⊥平面ABD，又平面，所以CM⊥BM，CM⊥AM．則當點P與點M重合時，取得最小值，又，則最小值為，A錯誤．在正四面體ABCD中，因為DP⊥平面ABC，易得在上，所以，又點N，M也是和的內(nèi)心，則點P為正四面體ABCD內(nèi)切球的球心．，．設(shè)正四面體ABCD內(nèi)切球的半徑為r，因為，所以，解得，即，故，B錯誤．設(shè)三棱錐P－ABC外接球的球心為O，半徑為R，易得球心在直線上，且，則，解得，故三棱錐P－ABC外接球的表面積為，C錯誤．若F為線段EN的中點，則，．設(shè)，則．因為，所以設(shè)，則解得故，D正確.故選：D.【變式訓練3-2】、（2022秋·廣東·高二校聯(lián)考階段練習）（多選題）已知直四棱柱的底面為正方形，，P為直四棱柱內(nèi)一點，且，其中，，則下列說法正確的是（

）A．當時，三棱錐的體積為定值B．當時，存在點