第一章三角形的證明（11類壓軸題專練）題型一等腰三角形與全等三角形綜合1．以的、為邊作和，且，，與相交于M，．(1)如圖1，求證：；(2)在圖1中，連接，則________，________；（都用含的代數(shù)式表示）(3)如圖2，若，G、H分別是、的中點(diǎn)，求的度數(shù)．2．在和中，，，．(1)如圖1，將，延長(zhǎng)，延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)O．①求證：；②用含的式子表示的度數(shù)（直接寫出結(jié)果）；(2)如圖2，當(dāng)時(shí)，連接，，N是的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)與交于點(diǎn)M，求證：題型二等邊三角形與全等三角形綜合3．如圖1，在等邊三角形中，點(diǎn)分別在邊上，，連接，與相交于．(1)求證：；(2)如圖2，連接，當(dāng)時(shí)，求證：；(3)如圖3，過點(diǎn)作，分別交于，比較與的大小并證明．4．如圖1，是等邊三角形，點(diǎn)F是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)D在直線上運(yùn)動(dòng)，連接,以為邊向右側(cè)作等邊三角形,連接,直線與直線交于點(diǎn)M．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在線段上時(shí)：①與的數(shù)量關(guān)系為___________②___________°．(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，（1）中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請(qǐng)證明你的結(jié)論；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)如圖3，當(dāng)點(diǎn)D在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，若，則___________．題型三等腰（邊）三角形在平面直角坐標(biāo)中的應(yīng)用5．綜合與探究等邊三角形在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，其中頂點(diǎn)，，都在坐標(biāo)軸上，點(diǎn)為線段上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)為軸下方一點(diǎn)，且，，連接，．(1)如圖1，求證：．(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)在軸上，且點(diǎn)的坐標(biāo)為，時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．(3)若點(diǎn)的坐標(biāo)為，直接寫出在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程中，的最小值．6．在平面直角坐標(biāo)系中，A為x軸負(fù)半軸上的點(diǎn)，B為y軸負(fù)半軸上的點(diǎn)．

(1)如圖1，以A為頂點(diǎn)作等腰直角時(shí)，，若，垂直于x軸，垂足為D，則D點(diǎn)的坐標(biāo)為______；C點(diǎn)的坐標(biāo)為______；(2)如圖2，以B為頂點(diǎn)作等腰直角，，若，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；(3)如圖3，若于點(diǎn)F，以為邊作等邊，連接交于點(diǎn)N，點(diǎn)E在上且，連接，求線段的數(shù)量關(guān)系．題型四最值問題7．已知是等邊三角形，點(diǎn)D為射線上一動(dòng)點(diǎn)，連接，以為邊在直線右側(cè)作等邊．(1)如圖1，點(diǎn)D在線段上，連接，若，且，求線段的長(zhǎng)；(2)如圖2，點(diǎn)D是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，過點(diǎn)E作于點(diǎn)F，求證：；(3)如圖3，若，點(diǎn)D在射線上運(yùn)動(dòng)，取中點(diǎn)G，連接，請(qǐng)直接寫出的最小值．題型五定值問題8．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，為等腰直角三角形，，直角頂點(diǎn)在軸上，點(diǎn)在軸上，點(diǎn)在第二象限，．(1)在線段上找一點(diǎn)，使得，連接、，求證：；(2)將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使得點(diǎn)落在軸正半軸上．如圖，軸恰好平分，與軸交于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，則與有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說(shuō)明理由，如圖，直角邊在兩坐標(biāo)軸上滑動(dòng)，使點(diǎn)在第四象限內(nèi)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)下，在滑動(dòng)的過程中，是否為定值？若是，請(qǐng)直接寫出答案；若不是，請(qǐng)說(shuō)出理由．題型六HL與等腰三角形9．已知在中，，且，作等腰，使得．

(1)如圖1，若與互余，則___________；（用含的代數(shù)式表示）(2)如圖2，若與互補(bǔ)，過點(diǎn)C作于點(diǎn)H，求證：；(3)若與的面積相等，請(qǐng)直接寫出的度數(shù)．（用含的式子表示）題型七含30°角的直角三角形的性質(zhì)與等腰三角形10．在中，于點(diǎn)，平分，點(diǎn)在上，．(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，若，求證：；(3)如圖3，在（2）的條件下，作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，若，求的長(zhǎng)．題型八垂直平分線綜合11．八年級(jí)的同學(xué)在一次探究試驗(yàn)活動(dòng)中發(fā)現(xiàn)，解決幾何問題時(shí)，條件中若出現(xiàn)“中點(diǎn)”“中線”字樣，可以考慮延長(zhǎng)中線（延長(zhǎng)的線段等于中線長(zhǎng)）或延長(zhǎng)過中點(diǎn)的線段，構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論轉(zhuǎn)化到同一個(gè)三角形中，進(jìn)而使得問題得以解決．(1)如圖1，在中，若，．求邊上的中線的取值范圍；(2)如圖2，在中，點(diǎn)D是的中點(diǎn)，點(diǎn)M在邊上，點(diǎn)N在邊上，若．求證：；(3)如圖3，和均為等腰直角三角形，且，連接，，點(diǎn)D為邊的中點(diǎn)，連接．請(qǐng)直接寫出與的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系．12．如圖1，在和中，，，．連接，．(1)求證：；(2)將和繞點(diǎn)A向相反方向旋轉(zhuǎn)，如圖2，與交于點(diǎn)O，與交于點(diǎn)F．①若，求的度數(shù)；②連接，求證：平分；③若G為上一點(diǎn)，，，且，連接，直接寫出與的數(shù)量關(guān)系．題型九角平分線綜合13．如圖，在四邊形中，對(duì)角線和相交于點(diǎn)，且．

(1)求證：；(2)如圖，點(diǎn)在邊上，與相交于點(diǎn)，，若，，試探究與的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；(3)如圖，在（）的條件下，與相交于點(diǎn)，若，，求線段的長(zhǎng)．題型十線段的垂直平分線、角平分線在平面直角坐標(biāo)系的應(yīng)用14．如圖1，點(diǎn)A、D在y軸正半軸上，點(diǎn)B、C在x軸上，平分與y軸交于D點(diǎn)，．(1)求證：；(2)如圖2，點(diǎn)C的坐標(biāo)為，點(diǎn)E為AC上一點(diǎn)，且，求的長(zhǎng)；(3)在（1）中，過D作于F點(diǎn)，點(diǎn)H為上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)G為上一動(dòng)點(diǎn)．（如圖（3），當(dāng)H在上移動(dòng)，點(diǎn)G點(diǎn)在上移動(dòng)時(shí)，始終滿足，試判斷這三者之間的數(shù)量關(guān)系，寫出你的結(jié)論并加以證明．15．在平面直角坐標(biāo)系中，（均為正數(shù)）．

(1)若，請(qǐng)直接寫出：點(diǎn)的坐標(biāo)為______，點(diǎn)的坐標(biāo)為______；(2)如圖1，在（1）的條件下，線段的垂直平分線交軸負(fù)半軸于點(diǎn)，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，且，求的面積；(3)如圖2，在等腰和等腰中，，連接并延長(zhǎng)交線段于點(diǎn)，求證：點(diǎn)為線段的中點(diǎn)．題型十一三角形的證明與勾股定理綜合16．在中，，．（1）如圖1，的角平分線，交于點(diǎn)Q，請(qǐng)判斷“”是否正確；______（填“是”或“否”）；（2）點(diǎn)P是所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，連接，且．①如圖2，點(diǎn)P在內(nèi)，，求的大小；②如圖3，點(diǎn)P在外，連接，設(shè)，，求的值．

第一章三角形的證明（11類壓軸題專練）答案全解全析題型一等腰三角形與全等三角形綜合1．以的、為邊作和，且，，與相交于M，．(1)如圖1，求證：；(2)在圖1中，連接，則________，________；（都用含的代數(shù)式表示）(3)如圖2，若，G、H分別是、的中點(diǎn)，求的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)，．(3)【分析】（1）根據(jù)可得，再結(jié)合，即可證明；（2）連接，作于點(diǎn)J，于點(diǎn)I，根據(jù)題（1）可得，，再利用三角形的外角定理可得，根據(jù)可得，從而得證平分，最后根據(jù)角平分線的定義即可求解；（3）連接，根據(jù)中點(diǎn)可得，進(jìn)而證明，可得，，從而求得，最后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可求得的度數(shù)．【解析】（1）證明：，，在和中，，；（2）解：如圖1，連接，設(shè)交于點(diǎn)L，，，，；作于點(diǎn)J，于點(diǎn)I，，，，點(diǎn)A在的平分線上，平分，，，故答案為：，；（3）如圖2，連接，G、H分別是、的中點(diǎn)，，，，，在和中，，，，，，，的度數(shù)是．【點(diǎn)睛】本題考查線段的中點(diǎn)，角平分線，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的外角定理；相等線段共頂點(diǎn)可證全等；全等三角形可利用等面積法證明線段相等；遇中點(diǎn)可嘗試連接證明線段相等是解決本題的關(guān)鍵．2．在和中，，，．(1)如圖1，將，延長(zhǎng)，延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)O．①求證：；②用含的式子表示的度數(shù)（直接寫出結(jié)果）；(2)如圖2，當(dāng)時(shí)，連接，，N是的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)與交于點(diǎn)M，求證：【答案】(1)①見解析；②(2)見解析【分析】（1）①根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和得到，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；②根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)三角形的內(nèi)角和即可得到結(jié)論；（2）延長(zhǎng)，截取，連接，證明，得出，，證明，得出，證明，得出，即可得出，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出，即可證明結(jié)論．【解析】（1）證明：①∵，，，∴，，∴，∴，∴，在和中，∴，∴；②∵，∴，∵，∴，∴，∴；（2）解：延長(zhǎng)，截取，連接，如圖所示：∵點(diǎn)N是的中點(diǎn)，∴，∵，∴，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】此題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，補(bǔ)角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意作出輔助線，熟練掌握三角形全等的判定方法．題型二等邊三角形與全等三角形綜合3．如圖1，在等邊三角形中，點(diǎn)分別在邊上，，連接，與相交于．

(1)求證：；(2)如圖2，連接，當(dāng)時(shí)，求證：；(3)如圖3，過點(diǎn)作，分別交于，比較與的大小并證明．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)，證明見解析【分析】（1）由等邊三角形的性質(zhì)可得，，證明可得，再由三角形外角的定義及性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可得出；（2）作于，由（1）可得，，證明，，再由證明，即可得出，即可得證；（3）將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，連接，證明，得出，再由三角形三邊關(guān)系可得出結(jié)論．【解析】（1）證明：是等邊三角形，，，在和中，，，，；（2）證明：如圖，作于，

，由（1）可得，，，，，，，，，是等邊三角形，，，，即，在和中，，，，；（3）解：，證明：如圖，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，連接，

，，，，，，，，，即，在和中，，，，在中，，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形三邊關(guān)系、三角形外角的定義及性質(zhì)、含角的直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用，添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解此題的關(guān)鍵．4．如圖1，是等邊三角形，點(diǎn)F是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)D在直線上運(yùn)動(dòng)，連接,以為邊向右側(cè)作等邊三角形,連接,直線與直線交于點(diǎn)M．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在線段上時(shí)：①與的數(shù)量關(guān)系為___________②___________°．(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，（1）中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請(qǐng)證明你的結(jié)論；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)如圖3，當(dāng)點(diǎn)D在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，若，則___________．【答案】(1)①；②(2)成立，理由見解析(3)【分析】（1）由題意易得，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可進(jìn)行求解；（2）由題意易證，則有，，然后問題可求解；（3）由題意易證，則有，然后可得，進(jìn)而問題可求解．【解析】（1）①和是等邊三角形，，，，，，，，；故答案為：；②點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，是等邊三角形，，，由①可知，，，；故答案為：60；（2）（1）中的結(jié)論還成立，理由如下：是等邊三角形，，，是等邊三角形，，，，，，即，在和中，，，，，，，；（3）是等邊三角形，，，是等邊三角形，，，，，，即，在和中，，，，是等邊三角形，是的中點(diǎn)，，，，，．故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查等邊三角形的性質(zhì)、含30度直角三角形的性質(zhì)及全等三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)、含30度直角三角形的性質(zhì)及全等三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．題型三等腰（邊）三角形在平面直角坐標(biāo)中的應(yīng)用5．綜合與探究等邊三角形在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，其中頂點(diǎn)，，都在坐標(biāo)軸上，點(diǎn)為線段上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)為軸下方一點(diǎn)，且，，連接，．(1)如圖1，求證：．(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)在軸上，且點(diǎn)的坐標(biāo)為，時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．(3)若點(diǎn)的坐標(biāo)為，直接寫出在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程中，的最小值．【答案】(1)見解析(2)（0，）(3)OP的最小值為，理由見解析【分析】（1）由等邊三角形的性質(zhì)得，，而，，則，即可根據(jù)“”證明；（2）由是等邊三角形，，得，由，，得，則，，所以，則，求得，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為；（3）作于點(diǎn)，則，由，可知點(diǎn)在經(jīng)過點(diǎn)且與軸所夾的銳角為的直線上運(yùn)動(dòng)，因?yàn)?，所以，則，所以的最小值為．【解析】（1）證明：是等邊三角形，，，，，在和中，，．（2）解：如圖2，是等邊三角形，，，，，，，，，，，，，，，，，點(diǎn)的坐標(biāo)為．（3）解：的最小值為，理由：如圖3，作于點(diǎn)，則，由（1）得，，點(diǎn)在經(jīng)過點(diǎn)且與軸所夾的銳角為的直線上運(yùn)動(dòng)，，，，，，，，的最小值為．【點(diǎn)睛】此題重點(diǎn)考查圖形與坐標(biāo)、等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形中角的對(duì)的直角邊等于斜邊的一半、垂線段最短等知識(shí)，此題綜合性強(qiáng)，難度較大，屬于考試壓軸題．6．在平面直角坐標(biāo)系中，A為x軸負(fù)半軸上的點(diǎn)，B為y軸負(fù)半軸上的點(diǎn)．

(1)如圖1，以A為頂點(diǎn)作等腰直角時(shí)，，若，垂直于x軸，垂足為D，則D點(diǎn)的坐標(biāo)為_____；C點(diǎn)的坐標(biāo)為______；(2)如圖2，以B為頂點(diǎn)作等腰直角，，若，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；(3)如圖3，若于點(diǎn)F，以為邊作等邊，連接交于點(diǎn)N，點(diǎn)E在上且，連接，求線段的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）由已知可證，由全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等可得，，所以，即可求得點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）作于點(diǎn)，可證，由全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等可得，所以,即可求得點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得，進(jìn)而可得，可求，所以，結(jié)合已知可證，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，所以，根據(jù)直角三角形中，所對(duì)直角邊等于斜邊的一半，可得，所以．【解析】（1）解：∵垂直于x軸，∴，∴，∵，∴，∴，又∵，∴，∴，∴，∴，故答案為：；（2）解：如圖2：作于點(diǎn)P，∴，∴，∵∠ABD=90°，∴，∴，又∵，∴，∴，∴，∴；（3）解：∵，∴，∵，∴，∵是等邊三角形，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，又∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，即．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，利用輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．題型四最值問題7．已知是等邊三角形，點(diǎn)D為射線上一動(dòng)點(diǎn)，連接，以為邊在直線右側(cè)作等邊．(1)如圖1，點(diǎn)D在線段上，連接，若，且，求線段的長(zhǎng)；(2)如圖2，點(diǎn)D是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，過點(diǎn)E作于點(diǎn)F，求證：；(3)如圖3，若，點(diǎn)D在射線上運(yùn)動(dòng)，取中點(diǎn)G，連接，請(qǐng)直接寫出的最小值．【答案】(1)(2)見解析(3)【分析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，勾股定理，垂線段最短．(1)過點(diǎn)E作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，證明，結(jié)合三角形特殊角的特征，運(yùn)用勾股定理計(jì)算，繼而得到．(2)延長(zhǎng)過到點(diǎn)N，使得，先證明，得到，，從而得到，繼而得到，得到，證明，利用等腰三角形的性質(zhì)證明即可．(3)根據(jù)，得到．得到是的角平分線，利用垂線段最短原理計(jì)算即可．【解析】（1）如圖，過點(diǎn)E作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，∵，都是等邊三角形，，∴，．∴，∵，，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴．（2）如圖，延長(zhǎng)過到點(diǎn)N，使得，∵，都是等邊三角形，∴，．∴，∵，∴，∴，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴．（3）根據(jù)（1）得，∴．∴是的角平分線，當(dāng)時(shí)，最短，∵，中點(diǎn)G，∴，∴，故的最小值為．題型五定值問題8．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，為等腰直角三角形，，直角頂點(diǎn)在軸上，點(diǎn)在軸上，點(diǎn)在第二象限，．(1)在線段上找一點(diǎn)，使得，連接、，求證：；(2)將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使得點(diǎn)落在軸正半軸上．如圖，軸恰好平分，與軸交于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，則與有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說(shuō)明理由，如圖，直角邊在兩坐標(biāo)軸上滑動(dòng)，使點(diǎn)在第四象限內(nèi)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)下，在滑動(dòng)的過程中，是否為定值？若是，請(qǐng)直接寫出答案；若不是，請(qǐng)說(shuō)出理由．【答案】(1)證明見解析；(2)，理由見解析；是定值，．【分析】（）證明，推導(dǎo)出，得到，又由得到，求出，即可求證；（）延長(zhǎng)交于點(diǎn)，可證，，即可求得；作，則，，可證，可得，即可求解．【解析】（1）證明：如圖，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，則，∵為等腰直角三角形，，∴，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，，∵，∴，∴，∴，∴為等腰直角三角形，∴，∵，，∴，∴，∴；（2）解：．理由：如圖，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，∵，∴，∵，∴，∵平分，∴，∵軸，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴，∴；是定值，．如圖，作，則，，∵，，∴，在和中，，∴，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，余角性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作出正確的輔助線，構(gòu)造出全等三角形．題型六HL與等腰三角形9．已知在中，，且，作等腰，使得．(1)如圖1，若與互余，則___________；（用含的代數(shù)式表示）(2)如圖2，若與互補(bǔ)，過點(diǎn)C作于點(diǎn)H，求證：；(3)若與的面積相等，請(qǐng)直接寫出的度數(shù)．（用含的式子表示）【答案】(1)45°+(2)見解析(3)180°?α或α【分析】（1）根據(jù)∠ACD與∠BAC互余得∠ACD=90°?α，根據(jù)等腰三角形兩底角相等得∠DAC=45°+12α（2）作AE⊥BC，根據(jù)AAS證明△AEC≌△AHC，則CH=CE，由等腰三角形三線合一可得CE=12（3）由△ABC與△ACD的面積相等得高相等.情況①：作DE⊥AC于E，BF⊥AC于F,根據(jù)HL可得△DEC≌△BFA，則可得∠ACD=∠BAC；情況②:△ACD是鈍角三角形，作BG⊥AC于G，作DN垂直于AC的延長(zhǎng)線于N，根據(jù)HL可得△ABG≌△CDN，則可得∠BAC=∠DCN，由于∠DCN與∠ACD互補(bǔ)，因此∠BAC與∠ACD互補(bǔ)，即可得出結(jié)果．【解析】（1）解：∵△ABC中，AB=AC，且∠BAC=α,∴∠ACB=∠ABC=∵∠ACD+∠BAC=90°，∠BAC=α，∴∠ACD=90°?∠BAC=90°?α，∵AC=CD，∴∠CAD=∠D=45°+1∴∠DAB=∠DAC?∠BAC=45°+=45°?1故答案為：45°?1（2）證明：如圖，過A點(diǎn)作AE⊥BC于E點(diǎn)，

∵△ABC中，AB=AC，AE⊥BC，∴∠AEC=90°,EC=1∵△ACD中，CA=CD,CH⊥AD，∴∠AHC=90°,∠ACH=∠DCH=1∴∠AEC=∠AHC，∵AB=AC,∠BAC=α，∴∠ACB=∠B===90°?1∵∠ACD+∠BAC=180°，∴∠ACD=180°?∠BAC=180°?α

，

∴∠ACH=1∴∠ACB=∠ACH．在△ACE和△ACH中，∠AEC=∠AHC∠ACB=∠ACH∴△ACE≌△ACH，∴CH=CE，

∴CH=1（3）解：①如圖，作DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，

∵△ABC與△ACD的面積相等，∴DE=BF，又∵∠DEC=∠BFA=90°，DC=AB∴△DEC≌△BFA，∴∠DCE=∠BAF，即∠ACD=∠BAC，∵∠BAC=α，∴∠ACD=α；②如圖，作BG⊥AC于G，作DN垂直于AC的延長(zhǎng)線于N，

則∠BGA=∠DNC=90°，∵AB=AC，AC=CD，∴AB=CD，∵△ABC與△ACD的面積相等，∴BG=DN，∴△ABG≌△CDN，∴∠BAG=∠DCN，∠ACD+∠DCN=180°，∴∠ACD+∠BAC=180°，∵∠BAC=α，∴∠ACD=180°?α，綜上，∠ACD=α或180°?α．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，同底等高的兩個(gè)三角形面積相等，.熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．題型七含30°角的直角三角形的性質(zhì)與等腰三角形10．在中，于點(diǎn)，平分，點(diǎn)在上，．(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，若，求證：；(3)如圖3，在（2）的條件下，作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，若，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)2【分析】(1)根據(jù)平分，得，結(jié)合得到，得到，結(jié)合得到，證明即可．(2)延長(zhǎng)交于點(diǎn)Q，證明，再證明即可．(3)連接，，接著再構(gòu)建輔助線，證明，即可作答．【解析】（1）解：∵平分，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴．（2）解：延長(zhǎng)交于點(diǎn)Q，∵平分，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴．（3）解：∵，，，∴，，∵平分，∴，∵，，，∴，，∴，，∴，∴，∴，∴，∴，∴，，∴，∵，∴，∴．如圖，取的中點(diǎn)P，連接，過點(diǎn)P作于點(diǎn)Q，∵，∵,∴，∴，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，∴．∴．【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形的特征量，三角形全等的判定和性質(zhì)，等邊對(duì)等角，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握三角形全等的判定和性質(zhì)，直角三角形的特征量是解題的關(guān)鍵．題型八垂直平分線綜合11．八年級(jí)的同學(xué)在一次探究試驗(yàn)活動(dòng)中發(fā)現(xiàn)，解決幾何問題時(shí)，條件中若出現(xiàn)“中點(diǎn)”“中線”字樣，可以考慮延長(zhǎng)中線（延長(zhǎng)的線段等于中線長(zhǎng)）或延長(zhǎng)過中點(diǎn)的線段，構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論轉(zhuǎn)化到同一個(gè)三角形中，進(jìn)而使得問題得以解決．(1)如圖1，在中，若，．求邊上的中線的取值范圍；(2)如圖2，在中，點(diǎn)D是的中點(diǎn)，點(diǎn)M在邊上，點(diǎn)N在邊上，若．求證：；(3)如圖3，和均為等腰直角三角形，且，連接，，點(diǎn)D為邊的中點(diǎn)，連接．請(qǐng)直接寫出與的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系．【答案】(1)(2)見解析(3)，【分析】（1）延長(zhǎng)至，使，連接，由證明得出，在中，由三角形的三邊關(guān)系即可得出結(jié)論；（2）延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，連接、，同（1）得：，由全等三角形的性質(zhì)得出，由線段垂直平分線的性質(zhì)得出，在中，由三角形的三邊關(guān)系即可得出結(jié)論；（3）延長(zhǎng)至，使，連接，同（1）得：，由全等三角形的性質(zhì)得出，，證出，證明得出，，則．延長(zhǎng)交于，證出，得出，即可．【解析】（1）解：延長(zhǎng)至，使，連接，如圖1，是邊上的中線，，在和中，，，，在中，由三角形的三邊關(guān)系得：，，即，；（2）證明：延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，連接、，如圖2：同（1）得：，，，，，在中，由三角形的三邊關(guān)系得：，；（3）解：，，理由如下：延長(zhǎng)至，使，連接，如圖3，同（1）得：，，，，，即，，，和是等腰直角三角形，，，，在和中，，，，，．延長(zhǎng)交于，，，，，，即，．【點(diǎn)睛】此題是三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形的三邊關(guān)系、線段垂直平分線的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、角的關(guān)系等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，有一定難度，通過作輔助線—倍長(zhǎng)中線，構(gòu)造三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．12．如圖1，在和中，，，．連接，．(1)求證：；(2)將和繞點(diǎn)A向相反方向旋轉(zhuǎn)，如圖2，與交于點(diǎn)O，與交于點(diǎn)F．①若，求的度數(shù)；②連接，求證：平分；③若G為上一點(diǎn)，，，且，連接，直接寫出與的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)見解析(2)①；②見解析；③【分析】（1）根據(jù)，推出，從而結(jié)合“”證明，即可得出結(jié)論；（2）①根據(jù)，得出，根據(jù)結(jié)合三角形內(nèi)角和定理即可得出答案；②過點(diǎn)A作于點(diǎn)M，于點(diǎn)N，根據(jù)，得出，，證明，即可證明結(jié)論；③證明，得出，，證明，根據(jù)等腰三角形三線合一得出，，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得出，根據(jù)，即可求出結(jié)果．【解析】（1）證明：∵，∴，即：，在和中，∴，∴；（2）解：①根據(jù)解析（1）可知，，∴，∵，又∵，∴；②過點(diǎn)A作于點(diǎn)M，于點(diǎn)N，如圖所示：∵，∴，，∴，∴，∴平分；③；連接，如圖所示：∵，∴，在和中，∴，∴，，∴，∴，即：，∵，∴，在和中，，，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∵，∴，，∴垂直平分，∴，∴，∴，∵，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)等，線段垂直平分線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，平行線的性質(zhì)，掌握全等三角形的判定與性質(zhì)，熟悉“手拉手”模型的證明是解題關(guān)鍵．題型九角平分線綜合13．如圖，在四邊形中，對(duì)角線和相交于點(diǎn)，且．

(1)求證：；(2)如圖，點(diǎn)在邊上，與相交于點(diǎn)，，若，，試探究與的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；(3)如圖，在（）的條件下，與相交于點(diǎn)，若，，求線段的長(zhǎng)．【答案】(1)見解析；(2)，見解析；(3)．【分析】（）由等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理可求解；（）由“”可證，可得，由“”可證，可得，即可求解；（）設(shè)，由，可得，作交于點(diǎn)，作平分交于點(diǎn)，則四邊形是平行四邊形，利用三角形角平分線性質(zhì)定理可得，，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，則，運(yùn)用勾股定理可求得，，設(shè)，則，再運(yùn)用勾股定理和三角形角平分線性質(zhì)定理建立方程求解即可．【解析】（1）如圖，

∵，∴，，，∴，，∴，∴，∴，∴；（2）如圖，在上截取，連接，∵，∴由（）的方法，同理可求，∵，∴是等邊三角形，∴，又∵，，∴，∴，∴，設(shè)，，∵，∴，又∵，∴，∴，∴是等邊三角形，∴，∴，∴；（3）設(shè)，由（）知：，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，作交于點(diǎn)，作平分交于點(diǎn)，則四邊形是平行四邊形，∴，，∵平分，∴，∵，∴，，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，則，∴，∴，，∴，設(shè)，則，∵，∴，即，∴，∵，∴，解得：，（舍去），∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形判定和性質(zhì)，三角形角平分線性質(zhì)定理，勾股定理，平行四邊形的判定與性質(zhì)等，添加輔助線構(gòu)造直角三角形和全等三角形是解題的關(guān)鍵．題型十線段的垂直平分線、角平分線在平面直角坐標(biāo)系的應(yīng)用14．如圖1，點(diǎn)A、D在y軸正半軸上，點(diǎn)B、C在x軸上，平分與y軸交于D點(diǎn)，．(1)求證：；(2)如圖2，點(diǎn)C的坐標(biāo)為，點(diǎn)E為AC上一點(diǎn)，且，求的長(zhǎng)；(3)在（1）中，過D作于F點(diǎn)，點(diǎn)H為上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)G為上一動(dòng)點(diǎn)．（如圖（3），當(dāng)H在上移動(dòng)，點(diǎn)G點(diǎn)在上移動(dòng)時(shí)，始終滿足，試判斷這三者之間的數(shù)量關(guān)系，寫出你的結(jié)論并加以證明．【答案】(1)證明見解析(2)8(3)，證明見解析【分析】（1）根據(jù)角平分線的對(duì)應(yīng)點(diǎn)得出，進(jìn)而證明，進(jìn)一步證明，即可得出結(jié)論；（2）過點(diǎn)作于，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出，進(jìn)而證明，得出，進(jìn)一步證明，得出，再判斷出，即可得出結(jié)論；（3）在的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)，使，再判斷出，進(jìn)而判斷出，得出，，進(jìn)而判斷出，進(jìn)而判斷出，得出，即可得出結(jié)論．【解析】（1）證明：平