章末總結一、子彈打木塊模型及拓展應用動量守恒定律應用中有一類典型的物理模型——子彈打木塊模型．此類模型的特點：1．由于子彈和木塊組成的系統(tǒng)所受合外力為零(水平面光滑)，或者內力遠大于外力，故系統(tǒng)動量守恒．2．由于打擊過程中，子彈與木塊間有摩擦力的作用，故通常伴隨著機械能與內能之間的相互轉化，故系統(tǒng)機械能不守恒．系統(tǒng)損失的機械能等于阻力乘以相對位移，即：ΔE＝fx相對．例1一質量為M的木塊放在光滑的水平面上，一質量為m的子彈以初速度v0水平飛來打進木塊并留在其中，設相互作用力為f.求：(1)子彈、木塊相對靜止時的速度v為多少？(2)系統(tǒng)損失的機械能、系統(tǒng)增加的內能分別為多少？(3)子彈打進木塊的深度l深為多少？解析(1)由動量守恒得：mv0＝(M＋m)v，子彈與木塊相對靜止時的共同速度為：v＝eq\f(m,M＋m)v0.(2)系統(tǒng)損失的機械能ΔEk＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,0)－eq\f(1,2)(M＋m)v2得：ΔEk＝eq\f(Mmv\o\al(2,0),2M＋m)由能量守恒定律得系統(tǒng)增加的內能Q＝ΔEk＝eq\f(Mmv\o\al(2,0),2M＋m)(3)方法一：對子彈利用動能定理得－fx1＝eq\f(1,2)mv2－eq\f(1,2)mveq\o\al(2,0)所以x1＝eq\f(MmM＋2mv\o\al(2,0),2fM＋m2)同理對木塊有：fx2＝eq\f(1,2)Mv2故木塊發(fā)生的位移為x2＝eq\f(Mm2v\o\al(2,0),2fM＋m2).子彈打進木塊的深度為：l深＝x1－x2＝eq\f(Mmv\o\al(2,0),2fM＋m)方法二：對系統(tǒng)依據能量守恒定律，得：f·l深＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,0)－eq\f(1,2)(M＋m)v2得：l深＝eq\f(Mmv\o\al(2,0),2fM＋m)l深即是子彈打進木塊的深度．答案(1)eq\f(m,M＋m)v0(2)eq\f(Mmv\o\al(2,0),2M＋m)eq\f(Mmv\o\al(2,0),2M＋m)(3)eq\f(Mmv\o\al(2,0),2fM＋m)例2如圖1所示，有一質量為M的木板(足夠長)靜止在光滑的水平面上，一質量為m的小鐵塊以初速度v0水平滑上木板的左端，小鐵塊與木板之間的動摩擦因數為μ，試求小鐵塊在木板上相對木板滑動的過程中，若小鐵塊恰好沒有滑離木板，則木板的長度至少為多少？圖1解析此題為另類的“子彈打木塊”的模型，即把小鐵塊類似于有初動量的“子彈”，以小鐵塊和木板為一個系統(tǒng)，系統(tǒng)動量守恒．在達到共同速度的過程中，m給M一個向右的滑動摩擦力f＝μmg，M向右做勻加速運動；M給m一個向左的滑動摩擦力f′＝μmg，m向右做勻減速直線運動，m相對M向右運動，最終兩者達到共同速度．由動量守恒得：mv0＝(M＋m)v，得v＝eq\f(mv0,M＋m).設木板長至少為l，由能量守恒定律得Q＝μmgl＝ΔEk＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,0)－eq\f(1,2)(M＋m)v2所以l＝eq\f(Mv\o\al(2,0),2μgM＋m).答案eq\f(Mv\o\al(2,0),2μgM＋m)二、動量和能量綜合問題分析動量和能量綜合問題往往涉及的物體多、過程多、題目綜合性強，解題時要認真分析物體間相互作用的過程，將過程合理分段，明確在每一個子過程中哪些物體組成的系統(tǒng)動量守恒，哪些物體組成的系統(tǒng)機械能守恒，然后針對不同的過程和系統(tǒng)，選擇動量守恒定律或機械能守恒定律或能量守恒定律列方程求解．例3如圖2所示，A為一具有光滑曲面的固定軌道，軌道底端是水平的，質量M＝40kg的小車B靜止于軌道右側，其板與軌道底端靠近且在同一水平面上，一個質量m＝20kg的物體C以2.0m/s的初速度從軌道頂端滑下，沖上小車B后經一段時間與小車相對靜止并連續(xù)一起運動．若軌道頂端與底端水平面的高度差h為0.8m，物體與小車板面間的動摩擦因數μ為0.40，小車與水平面間的摩擦忽視不計，(取g＝10m/s2)求：圖2(1)物體與小車保持相對靜止時的速度；(2)物體沖上小車后相對于小車板面滑動的距離．解析(1)物體下滑過程機械能守恒，但動量不守恒，即有：mgh＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,2)－eq\f(1,2)mveq\o\al(2,1)，得v2＝eq\r(v\o\al(2,1)＋2gh)＝2eq\r(5)m/s在物體C沖上小車B到與小車相對靜止的過程中，兩者組成的系統(tǒng)動量守恒，即有：mv2＝(m＋M)v，得：v＝eq\f(mv2,m＋M)＝eq\f(20×2\r(5),20＋40)m/s＝eq\f(2,3)eq\r(5)m/s(2)由功能關系有：μmgx＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,2)－eq\f(1,2)(m＋M)v2代入數據解得：x＝eq\f(5,3)m答案(1)eq\f(2,3)eq\r(5)m/s(2)eq\f(5,3)m三、碰撞中的臨界問題分析相互作用的兩個物體在很多狀況下皆可當作碰撞處理，那么對相互作用中兩物體相距恰“最近”、相距恰“最遠”或恰上升到“最高點”等一類臨界問題，求解的關鍵都是“速度相等”．1．涉及彈簧類的臨界問題：對于由彈簧組成的系統(tǒng)，在物體間發(fā)生相互作用的過程中，當彈簧被壓縮到最短或拉伸到最長時，彈簧兩端的兩個物體的速度必定相等．2．涉及相互作用最大限度類的臨界問題：在物體滑上斜面(斜面放在光滑水平面上)的過程中，由于物體間彈力的作用，斜面在水平方向上將做加速運動，物體滑到斜面上最高點的臨界條件是物體與斜面沿水平方向具有共同的速度，物體在豎直方向上的分速度等于零．3．子彈打木塊類的臨界問題：子彈剛好擊穿木塊的臨界條件為子彈穿出時的速度與木塊的速度相同．4．滑塊—木板模型的臨界問題：滑塊在光滑木板上滑行的距離最遠時，滑塊和木板的速度相同．例4一輕質彈簧，兩端各連質量均為m的滑塊A和B，靜放在光滑水平面上，滑塊A被水平飛來的質量為eq\f(m,4)、速度為v0的子彈擊中且沒有穿出(如圖3所示)，求：圖3(1)子彈擊中滑塊A的瞬間，A和B的速度各多大；(2)以后運動過程中彈簧的最大彈性勢能．解析(1)子彈擊中滑塊A的瞬間，時間極短，彈簧還將來得及發(fā)生形變，因此vB＝0.子彈和滑塊A組成的系統(tǒng)動量守恒，機械能不守恒(因子彈和滑塊A間有摩擦阻力)．依據動量守恒定律得：eq\f(m,4)v0＝(eq\f(m,4)＋m)vA，即vA＝eq\f(1,5)v0.(2)子彈射入滑塊A后，滑塊A以獲得的速度向右運動，彈簧被壓縮，A、B分別受到方向相反的彈力作用，A做減速運動，B做加速運動，在兩者速度達到相等前，彈簧始終被壓縮，在兩者速度相等時，彈簧彈性勢能最大．eq\f(m,4)v0＝(m＋eq\f(m,4)＋m)v，則v＝eq\f(1,9)v0，Ep＝eq\f(1,2)(m＋eq\f(m,4))veq\o\al(2,A)－eq\f(1,2)(m＋eq\f(m,4)＋m)v2＝eq\f(1,90)mveq\o\al(2,0).答案見解析1．一炮艇總質量為M，以速度v0勻速行駛，從艇上以相對海岸的水平速度v沿前進方向射出一質量為m的炮彈，放射炮彈后艇的速度為v′，若不計水的阻力，則下列各關系式中正確的是______．(填選項前的編號)①Mv0＝(M－m)v′＋mv ②Mv0＝(M－m)v′＋m(v＋v0)③Mv0＝(M－m)v′＋m(v＋v′) ④Mv0＝Mv′＋mv答案①解析動量守恒定律中的速度都是相對于同一參照物的，題目中所給炮彈的速度v是相對于海岸的，即相對于地面的，所以有：Mv0＝(M－m)v′＋mv，故①正確．2.如圖4所示，光滑水平面上有三個木塊A、B、C，質量分別為mA＝mC＝2m，mB＝m，A、B用細繩連接，中間有一壓縮的彈簧(彈簧與滑塊不栓接)．開頭時A、B以共同速度v0運動，C靜止．某時刻細繩突然斷開，A、B被彈開，然后B又與C發(fā)生碰撞并粘在一起，最終三滑塊速度恰好相同，求B與C碰撞前B的速度．圖4答案eq\f(9,5)v0解析A、B在彈力的作用下，A減速運動，B加速運動，最終三者以共同的速度向右運動，設共同速度為v，A和B分開后，B的速度為vB，對三個木塊組成的系統(tǒng)，整個過程總動量守恒，則有(mA＋mB)v0＝(mA＋mB＋mC)v對A、B兩個木塊，分開過程滿足動量守恒，則有(mA＋mB)v0＝mAv＋mBvB聯(lián)立以上兩式可得：B和C碰撞前B的速度為vB＝eq\f(9,5)v0.3．如圖5所示，質量為m1＝16kg的平板車B原來靜止在光滑的水平面上，另一質量m2＝4kg的小物體A以5m/s的水平速度滑向平板車的另一端，假設平板車與物體間的動摩擦因數為0.5，g取10m/s2，求：圖5(1)假如A不會從B的另一端滑下，則A、B的最終速度為多大；(2)要保證A不滑下平板車，平板車至少要有多長．答案(1)1m/s(2)2m解析(1)設A、B共同運動的速度為v，A的初速度為v0，則對A、B組成的系統(tǒng)，由動量守恒定律可得m2v0＝(m1＋m2)v，解得：v＝eq\f(4×5,16＋4)m/s＝1m/s(2)設A在B上滑行的距離為l，取A、B系統(tǒng)為爭辯對象，由于系統(tǒng)內能的增加等于系統(tǒng)動能的削減，依據能量守恒定律有μm2gl＝eq\f(1,2)m2veq\o\al(2,0)－eq\f(1,2)(m1＋m2)v2代入數據解得l＝2m4．如圖6所示，在水平地面上放置一質量為M的木塊，一質量為m的子彈以水平速度v射入木塊(未穿出)，若木塊與地面間的動摩擦因數為μ，求：圖6(1)子彈射入后，木塊在地面上前進的距離；(2)射入的過程中，系統(tǒng)損失的機械能．答案(1)eq\f(m2v2,2M＋m2μg)(2)eq\f(Mmv2,2M＋m)解析因子彈未射出，故碰撞后子彈與木塊的速度相同，而系統(tǒng)損失的機械能為初、末狀