2024-2025學年廣東省東莞市高三上學期12月月考數學檢測試題一、單選題（本大題共8小題）1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．2．已知復數滿足，則（

）A．0 B．1 C． D．23．已知，滿足，，，則，的夾角為（

）A． B． C． D．4．已知，，則sin（α＋β）=（

）A． B． C． D．5．已知一個圓錐和圓柱的底面半徑和高分別相等,若圓錐的軸截面是等邊三角形,則這個圓錐和圓柱的側面積之比為()A．12 B．C．33 D．6．古希臘畢達哥拉斯學派的“三角形數”是一列點（或圓球）在等距的排列下可以形成正三角形的數，如1，3，6，10，15，…，我國宋元時期數學家朱世杰在《四元玉鑒》中所記載的“垛積術”，其中的“落一形”錐垛就是每層為“三角形數”的三角錐的錐垛（如圖所示，從上到下，頂上一層1個球，第二層3個球，第三層6個球…），若一“落一形”三角錐垛有20層，則該錐垛第18層球的個數為（

）

A．190 B．171 C．153 D．1367．對任意兩個實數，，定義，若，，則下列關于函數的說法正確的是（

）A．函數是奇函數B．函數在區(qū)間上單調遞增C．函數圖象與軸有三個交點D．函數最大值為28．定義在R上的函數滿足，若且，則（

）A． B． C． D．與的大小不確定二、多選題（本大題共3小題）9．甲、乙兩名高中同學歷次數學測試成績(百分制)分別服從正態(tài)分布，，其正態(tài)分布的密度曲線如圖所示，則下列說法中正確的是（

）附：若隨機變量X服從正態(tài)分布，則.A．乙同學的平均成績優(yōu)于甲同學的平均成績B．甲同學的平均成績優(yōu)于乙同學的平均成績C．甲同學的成績比乙同學成績更集中于平均值附近D．若，則甲同學成績高于80分的概率約為0.158710．對于函數，給出下列結論，其中正確的有（

）A．函數的圖象關于點對稱B．函數在區(qū)間上的值域為C．將函數的圖象向左平移個單位長度得到函數的圖象D．曲線在處的切線的斜率為111．已知雙曲線C：的左右焦點分別為，且，A、P、B為雙曲線上不同的三點，且A、B兩點關于原點對稱，直線與斜率的乘積為1，則下列正確的是（

）A．雙曲線C的實軸長為B．雙曲線C的離心率為C．若，則三角形的周長為D．的取值范圍為三、填空題（本大題共3小題）12．過點引圓的切線，則切線方程為．13．在中，若，且AB邊上的中線長為2，則面積的最大值為．14．已知函數為奇函數，則函數在上的最小值為.四、解答題（本大題共5小題）15．某校高二年級為研究學生數學成績與語文成績的關系，采取有放回的簡單隨機抽樣，從高二學生中抽取樣本容量為200的樣本，將所得數學成績與語文成績的樣本觀測數據整理如下：語文成績合計優(yōu)秀不優(yōu)秀數學成績優(yōu)秀503080不優(yōu)秀4080120合計90110200(1)根據的獨立性檢驗，能否認為數學成績與語文成績有關聯？(2)在人工智能中常用表示在事件發(fā)生的條件下事件發(fā)生的優(yōu)勢，在統計中稱為似然比.現從該校學生中任選一人，表示“選到的學生語文成績不優(yōu)秀”，表示“選到的學生數學成績不優(yōu)秀”.請利用樣本數據，估計的值.附.0.050.010.0013.8416.63510.82816．如圖，在四棱錐中，底面為矩形，平面為的中點．(1)證明：平面．(2)若平面與平面的夾角為，求的長．17．已知數列的前項和為，，數列是以1為公差的等差數列.(1)求數列的通項公式；(2)若對于任意正整數，都有，求實數的最小值.18．已知函數（1）當時，求曲線在點處的切線方程；（2）若函數有兩個不同的零點，.①求實數a的取值范圍；②證明.19．通過研究，已知對任意平面向量，把繞其起點A沿逆時針方向旋轉角得到向量，叫作把點B繞點A逆時針方向旋轉角得到點P.(1)已知平面內點，點，把點B繞點A逆時針旋轉得到點P，求點P的坐標：(2)已知二次方程的圖象是由平面直角坐標系下某標準橢圓繞原點O逆時針旋轉所得的斜橢圓C，（i）求斜橢圓C的離心率；（ⅱ）過點作與兩坐標軸都不平行的直線交斜橢圓C于點M，N，過原點O作直線與直線垂直，直線交斜橢圓C于點G，H，判斷是否為定值，若是，請求出定值，若不是，請說明理由.

答案1．【正確答案】B【詳解】由得：，即，.故選：B.2．【正確答案】A【詳解】因為，所以，所以．故選：A．3．【正確答案】B【詳解】因為，所以，則，由于，所以.故選：B4．【正確答案】C【詳解】因為，所以，所以，，兩式相加可得：，所以，所以，解得，故選：C.5．【正確答案】C熱門考點：圓錐和圓柱的側面積公式設圓錐和圓柱的底面半徑為r,因為圓錐的軸截面是等邊三角形,所以圓錐的母線長l=2r,則圓錐和圓柱的高h=4r2?r2=3r,所以圓錐的側面積S1=πrl=2πr2,圓柱的側面積S2=2πr·h=23πr2,所以圓錐和圓柱的側面積之比6．【正確答案】B【詳解】設“落一形”三角錐垛從頂上一層開始，依次往下的各層球的個數形成數列，，，，，，…，由此得，即，則，所以若一“落一形”三角錐垛有20層，則該錐垛第18層球的個數為171.故選：B.7．【正確答案】C【詳解】由題意可得：，令；解得或；令；解得；所以，即，作出函數的圖像如下:

對于選項A：由圖像可知為偶函數，故選項A錯誤.對于選項B：由圖像可知在區(qū)間上單調遞增，但.可得在區(qū)間上不單調遞增，故選項B錯誤.對于選項C：由圖像可知：函數圖象與軸有三個交點，故選項C正確.對于選項D：由圖像可知：當時，函數最大值為1，故選項D錯誤.故選：C.8．【正確答案】B【詳解】因為，所以函數的圖象關于直線對稱，又因為，所以在上遞增，在上遞減，當時，，當時，因為，所以，所以，所以，綜上.

故選：B.9．【正確答案】ACD【詳解】解：由圖象可知，甲的圖象關于對稱，乙的圖象關于對稱，所以甲同學的平均成績?yōu)?5分，乙同學的平均成績?yōu)?5分，故選項A正確，B錯誤；因為甲的圖象比乙的圖象更“高瘦”，所以甲的成績比乙的成績更集中于平均值左右，則甲同學成績的方差比乙同學成績的方差小，故選項C正確；若，則甲同學成績高于80分的概率約為，故選項D正確．故選：ACD．10．【正確答案】BD【詳解】由題意知，對于A，，故函數的圖象不關于點對稱，A錯誤；對于B，因為，所以，則，B正確；對于C，將函數的圖象向左平移個單位長度得到函數的圖象，C錯誤；對于D，，則，故曲線在處的切線的斜率為1，D正確，故選：BD11．【正確答案】BCD【詳解】根據題意可知，所以，設，則，將分別代入到雙曲線后相減可得，代入可求解出，對A，根據，解之可得，所以雙曲線C的實軸長為，故A錯誤；對B，根據離心率，將代入可得，故B正確；對C，根據，可知，則，可求得，所以三角形的周長為，故C正確；對D，設與雙曲線聯立可得，若有解，需要解之可求出或，故D正確.故選：BCD12．【正確答案】或【詳解】圓心坐標，半徑，∵直線與圓相切，∴圓心到直線距離，若直線無斜率，其方程為符合題意，若直線存在斜率，設其方程為，即，，解得，∴切線方程為或，故答案為x=2或.點睛：本題主要考查了直線與圓的位置關系之相切，屬于基礎題；求過某點的圓的切線問題時，應首先確定點與圓的位置關系，若點在圓上（即為切點），則過該點的切線只有一條；若點在圓外，則過該點的切線有兩條，此時應注意斜率不存在的切線.13．【正確答案】【詳解】因，由正弦定理可得，即，所以，又，所以，，設邊上的中線為，則，則，所以，當且僅當時等號成立，所以.故答案為.14．【正確答案】/【詳解】令，即，解得，，，因為函數為奇函數，則函數圖象關于原點對稱，又，即、中必有一個為，則另一個為，所以，則，符合題意；則，所以當時，當時，所以在上單調遞減，在上單調遞增，又，所以函數在上的最小值為.故15．【正確答案】(1)能；(2).【詳解】（1）令零假設為：數學成績與語文成績無關，據表中數據計算得，根據的獨立性檢驗，我們推斷不成立，認為數學成績與語文成績有關.（2）表示“選到的學生語文成績不優(yōu)秀”，表示“選到的學生數學成績不優(yōu)秀”，利用樣本數據，則有，，所以，則估計的值為.16．【正確答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）證明，再由線面平行的判定定理得證；（2）由PA，AD，AB兩兩互相垂直，建立空間直角坐標系，利用向量法求出平面夾角即可得解.【詳解】（1）連接BD交AC于點O，連接OE，如圖，因為O為BD的中點，E為PD的中點，所以．又平面AEC，平面AEC，所以平面AEC．（2）因為平面ABCD，AD，平面ABCD，所以，．又，所以PA，AD，AB兩兩互相垂直，故以A為原點，AB，AD，AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間坐標系如圖所示，設，則，，，，,所以，．顯然為平面DAE的一個法向量．設平面ACE的一個法向量為，則即令，得，因為平面DAE與平面AEC的夾角為，所以，解得或（舍去），即·17．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）數列是以1為公差的等差數列，且，，，當時，；經檢驗，當時，滿足上式.（2）由，則，而，所以，即的最小值為.18．【正確答案】（1）；（2）①；②證明見解析.（1）當時，求出導函數，進而求出，再由即可求解.（2）①根據題意將問題轉化為方程有兩個不同實根，，令，作出的大致圖象以及，數形結合即可求解；②由題意不妨設，，，將兩式分別相加、相減可得，只需證明，設，構造函數，利用函數的單調性即可證明.【詳解】解：（1）當時，，，，所以，，所以曲線在點處的切線方程是.（2）函數有兩個不同的零點，，等價于方程有兩個不同實根，.①令，則，所以在上單調遞增，在上單調遞減，所以當時，取得最大值，由于，當時，；當，，的大致圖象如圖所示：所以，當，即時，函數有兩個不同的零點，.②證明：不妨設，，，兩式相加得，兩式相減得，所以.要證，只需證.即證.設，令，則，所以函數在上單調遞增，且，所以，即.19．【正確答案】(1)；(2)（i）；（ⅱ）是，2.【分析】（1）借助所給定義計算即可得；（2）（i）計算出該斜橢圓的長軸長與焦距，結合離心率定義計算即可得；（ⅱ）法一：設出直線，，聯立斜橢圓方程可得與交點橫坐標有關韋達定理，結合弦長公式即可表示出，計算即可得；法二：將所有點、直線與曲線都繞原點O順時針旋轉后，再設出直線，旋轉后方程，聯立標準方程可得與交點縱坐標有關韋達定理，結合弦長公式即可表示出，計算即可得.【詳解】（1）由已知可得，則，設，則，所以，，即點P的坐標為；（2）（i）由與交點為和，則，由與交點為和，則，所以，；（ⅱ）法