第04講數(shù)列求和目錄TOC\o"1-2"\h\u第一部分：知識點必背 1第二部分：高考真題回歸 2第三部分：高頻考點一遍過 3高頻考點一：倒序相加求和 3高頻考點二：分組（并項）求和 5高頻考點三：裂項相消求和 7高頻考點四：錯位相減求和 10高頻考點五：數(shù)列求和的其他方法 13第四部分：數(shù)學(xué)文化題 15第五部分：高考新題型（劣構(gòu)性試題） 17第一部分：知識點必背1.公式法(1)等差數(shù)列前項和公式;(2)等比數(shù)列前項和公式2.裂項相消求和法裂項相消求和法就是把數(shù)列的各項變?yōu)閮身椫?使得相加求和時一些正負(fù)項相互抵消,前項和變成首尾若干少數(shù)項之和,從而求出數(shù)列的前項和.①②③④⑤3.錯位相減求和法錯位相減法求和：如果一個數(shù)列的各項是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列的對應(yīng)項之積構(gòu)成的，那么這個數(shù)列的前項和即可用此法來求.倍錯位相減法：若數(shù)列的通項公式，其中、中一個是等差數(shù)列，另一個是等比數(shù)列，求和時一般可在已知和式的兩邊都乘以組成這個數(shù)列的等比數(shù)列的公比，然后再將所得新和式與原和式相減，轉(zhuǎn)化為同倍數(shù)的等比數(shù)列求和．這種方法叫倍錯位相減法．4.分組求和法如果一個數(shù)列可寫成的形式，而數(shù)列，是等差數(shù)列或等比數(shù)列或可轉(zhuǎn)化為能夠求和的數(shù)列，那么可用分組求和法.5.倒序相加求和法即如果一個數(shù)列的前項中，距首末兩項“等距離”的兩項之和都相等，則可使用倒序相加法求數(shù)列的前項和.第二部分：高考真題回歸1．（2022·天津·統(tǒng)考高考真題）設(shè)是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，且．(1)求與的通項公式；(2)設(shè)的前n項和為，求證：；(3)求．2．（2022·全國（新高考Ⅰ卷）·統(tǒng)考高考真題）記為數(shù)列的前n項和，已知是公差為的等差數(shù)列．(1)求的通項公式；(2)證明：．3．（2021·全國（乙卷文）·統(tǒng)考高考真題）設(shè)是首項為1的等比數(shù)列，數(shù)列滿足．已知，，成等差數(shù)列．（1）求和的通項公式；（2）記和分別為和的前n項和．證明：．第三部分：高頻考點一遍過高頻考點一：倒序相加求和典型例題例題1．（2023·江蘇·統(tǒng)考模擬預(yù)測）若數(shù)列滿足，，則的前項和為______.例題2．（2023·湖北·統(tǒng)考模擬預(yù)測）“數(shù)學(xué)王子”高斯是近代數(shù)學(xué)奠基者之一，他的數(shù)學(xué)研究幾乎遍及所有領(lǐng)域，并且高斯研究出很多數(shù)學(xué)理論，比如高斯函數(shù)?倒序相加法?最小二乘法?每一個階代數(shù)方程必有個復(fù)數(shù)解等.若函數(shù)，設(shè)，則__________.例題3．（2023春·江蘇南京·高三南京市寧海中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，則______；設(shè)數(shù)列滿足，則此數(shù)列的前2023項的和為______.例題4．（2023春·河南信陽·高二統(tǒng)考期中）給出定義：設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，若方程有實數(shù)解，則稱()為函數(shù)的“拐點”．經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)所有的三次函數(shù)．都有“拐點”，且該“拐點”也是函數(shù)的圖像的對稱中心，已知函數(shù)(1)求出的對稱中心；(2)求的值．練透核心考點1．（2023春·廣東佛山·高二南海中學(xué)校考階段練習(xí)）已知函數(shù)，則___．2．（2023春·山東淄博·高二沂源縣第一中學(xué)校考期中）已知，利用課本中推導(dǎo)等差數(shù)列前項和的公式的方法，可求得______．3．（2023春·河南新鄉(xiāng)·高二新鄉(xiāng)市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)滿足，若數(shù)列滿足，則數(shù)列的前16項的和為______.4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)，設(shè)，．(1)計算的值．(2)求數(shù)列的通項公式．高頻考點二：分組（并項）求和典型例題例題1．（2023·北京海淀·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的前項和為，則__________．例題2．（2023·江蘇蘇州·校聯(lián)考三模）已知數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列，，且成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前2023項和.例題3．（2023春·云南昆明·高三昆明一中?？茧A段練習(xí)）在數(shù)列中，，當(dāng)時，(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)設(shè)，數(shù)列的前項和為，求例題4．（2023春·重慶·高三重慶巴蜀中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知等差數(shù)列滿足．(1)求的通項公式；(2)設(shè)，求．練透核心考點1．（2023·重慶·校聯(lián)考三模）已知數(shù)列滿足：，，(1)求數(shù)列的通項公式；(2)記數(shù)列的前n項和為，求.2．（2023春·吉林長春·高二長春十一高?？计谥校┰O(shè)等比數(shù)列的前項和為，公比，.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)求數(shù)列的前項和為.3．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知，分別為等差數(shù)列，等比數(shù)列，且，，，.(1)求，的通項公式；(2)求數(shù)列的前n項和.4．（2023·湖北黃岡·黃岡中學(xué)?？既＃┮阎棓?shù)列的前項和為，且.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)將數(shù)列和數(shù)列中所有的項，按照從小到大的順序排列得到一個新數(shù)列，求的前100項和.高頻考點三：裂項相消求和典型例題例題1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派認(rèn)為數(shù)是萬物的本源，因此極為重視數(shù)的理論研究，他們常把數(shù)描繪成沙灘上的沙?；蛐∈?，并將它們排列成各種形狀進(jìn)行研究.形數(shù)就是指平面上各種規(guī)則點陣所對應(yīng)的點數(shù)，是畢哥拉斯學(xué)派最早研究的重要內(nèi)容之一.如圖是三角形數(shù)和四邊形數(shù)的前四個數(shù)，若三角形數(shù)組成數(shù)列，四邊形數(shù)組成數(shù)列，記，則數(shù)列的前10項和為（

）A． B． C． D．例題2．（2023春·北京昌平·高二北京市昌平區(qū)前鋒學(xué)校校考期中）①某班植樹小組今年計劃植樹不少于100棵，若第一天植樹2棵，以后每天植樹的棵樹是前一天的2倍，則需要的最少天數(shù)等于_______；②______例題3．（2023·湖北·荊門市龍泉中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知數(shù)列的各項均不為0，其前項和滿足，，且.(1)求的通項公式；(2)求數(shù)列的前項和.例題4．（2023·內(nèi)蒙古赤峰·?？寄M預(yù)測）已知數(shù)列的前項和為，且(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)設(shè)求數(shù)列的前項和.例題5．（2023·云南保山·統(tǒng)考二模）已知是數(shù)列的前n項和，，______.①，；②數(shù)列為等差數(shù)列，且的前3項和為6.從以上兩個條件中任選一個補(bǔ)充在橫線處，并求解：(1)求；(2)設(shè)，求數(shù)列的前6項和.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.練透核心考點1．（2023·貴州·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列的前n項和為，，，則（

）A． B． C． D．2．（2023·江西南昌·統(tǒng)考三模）已知，將數(shù)列與數(shù)列的公共項從小到大排列得到新數(shù)列，則（

）A． B． C． D．3．（2023·廣東深圳·深圳中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知數(shù)列的前項和為，，，.(1)求，及的通項公式；(2)設(shè)，數(shù)列的前項和為，若對任意的恒成立，求的最小值.4．（2023·遼寧·朝陽市第一高級中學(xué)校聯(lián)考三模）已知數(shù)列的前n項和為，且滿足，等差數(shù)列中，，．(1)求數(shù)列，的通項公式；(2)記，，求數(shù)列的前n項和．5．（2023·河南鄭州·洛寧縣第一高級中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知等比數(shù)列的公比，若，且，，分別是等差數(shù)列第1，3，5項．(1)求數(shù)列和的通項公式；(2)若求數(shù)列{}的前n項和．高頻考點四：錯位相減求和典型例題例題1．（2023春·河南·高二襄城高中校聯(lián)考階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，則的前100項和為（

）A． B． C． D．例題2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）（

）A． B． C． D．例題3．（2023·廣東佛山·校考模擬預(yù)測）已知數(shù)列的前項的和為，，數(shù)列為單調(diào)遞增的等比數(shù)列，且有，.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)數(shù)列滿足，設(shè)的前項的和為，求的值.例題4．（2023·甘肅定西·統(tǒng)考模擬預(yù)測）在數(shù)列中，，．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前項和．例題5．（2023春·浙江杭州·高二浙江大學(xué)附屬中學(xué)?？计谥校┰冖?；②這兩組條件中任選一組，補(bǔ)充下面橫線處，并解答下列問題.已知數(shù)列的前項和是，數(shù)列的前項和是，___________.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)，數(shù)列的前項和為，求.練透核心考點1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列，，滿足：，若是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，，則數(shù)列的前項的和是（

）A． B．C． D．2．（2023·陜西西安·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知數(shù)列和數(shù)列，，.設(shè)，則數(shù)列的前項和_________.3．（2023·廣東深圳·校考一模）已知函數(shù)的首項，且滿足．(1)求證為等比數(shù)列，并求．(2)對于實數(shù)，表示不超過的最大整數(shù)，求的值．4．（2023·安徽蚌埠·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知數(shù)列和，，，.(1)求數(shù)列和的通項公式；(2)求數(shù)列的前項和.5．（2023·河北石家莊·正定中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知數(shù)列的前項和為，滿足（為常數(shù)）.(1)求的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前項和.高頻考點五：數(shù)列求和的其他方法典型例題例題1．（2023·全國·高二專題練習(xí)）高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號．設(shè)，用表示不超過的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù)．已知數(shù)列滿足，且，若，數(shù)列的前項和為，則（

）A．4956 B．4959 C．4962 D．4965例題2．（2023·全國·模擬預(yù)測）在數(shù)列中，，．(1)求的通項公式；(2)求數(shù)列的前項和．例題3．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，.(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列.(2)求數(shù)列的前項和.練透核心考點1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的前n項和為，___________，.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)已知數(shù)列，當(dāng)時，，.記數(shù)列的前n項和為，求.在下面三個條件中任選一個，補(bǔ)充在上面問題中并作答.①；②；③.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.2．（2023·全國·高二專題練習(xí)）在①，；②公差為1，且成等比數(shù)列；③，，三個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面問題中，并給出解答.問題：已知等差數(shù)列的前項和為，且滿足___________(1)求數(shù)列的通項公式；(2)令，其中表示不超過的最大整數(shù)，求.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的前項和，且，正項等比數(shù)列滿足：，.（1）求數(shù)列和的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前項和.第四部分：數(shù)學(xué)文化題1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖中的三角形稱為謝爾賓斯基三角形，每個圖都是取前一個圖中的每個黑色三角形三邊的中點將其分成四個小三角形，并將中間三角形變?yōu)榘咨咨切尾蛔?若第一個三角形的面積為1，第n個圖中白色部分的面積記為，則______.著名的洛卡斯數(shù)列滿足，，，中所有既是偶數(shù)，又是3的倍數(shù)的項從小到大排列構(gòu)成一個新的數(shù)列，該數(shù)列的第n項為，則數(shù)列的前n項和______.

2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）傳說古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家用沙粒和小石子來研究數(shù).用一點（或一個小石子）代表1，兩點（或兩個小石子）代表2，三點（或三個小石子）代表3，…他們研究了各種平面數(shù)（包括三角形數(shù)、正方形數(shù)、長方形數(shù)、五邊形數(shù)、六邊形數(shù)等等）和立體數(shù)（包括立方數(shù)、棱錐數(shù)等等）.如前四個四棱錐數(shù)分別為、、、，第個四棱錐數(shù)為.中國古代也有類似的研究，如圖的形狀出現(xiàn)在南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法?商功》中，后人稱為“三角垛”.“三角垛”的最上層有個球，第二層有個球，第三層有個球，若一個“三角垛”共有層，則第層有____個球，這個“三角垛”共有______個球.3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）某少數(shù)民族的刺繡有著悠久的歷史，下圖①、②、③、④為她們刺繡最簡單的四個圖案，這些圖案都由小正方形構(gòu)成，小正方形數(shù)越多刺繡越漂亮，現(xiàn)按同樣的規(guī)律刺繡(小正方形的擺放規(guī)律相同)，設(shè)第個圖形包含個小正方形.

(1)求出；(2)歸納出與的關(guān)系式，并根據(jù)你得到的關(guān)系式求的表達(dá)式；(3)求證：.4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）斐波那契，公元13世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家．他在自己的著作《算盤書》中記載著這樣一個數(shù)列：其中從第三個數(shù)起，每一個數(shù)都等于它前面兩個數(shù)的和，這就是著名的斐波那契數(shù)列．那么是斐波那契數(shù)列中的第______項．5．（2023春·山東德州·高二統(tǒng)考期中）如圖甲是第七屆國際數(shù)學(xué)家大會（簡稱ICME—7）的會徽圖案，會徽的主題圖案是由圖乙的一連串直角三角形演化而成的．已知為直角頂點，設(shè)，，，…，構(gòu)成數(shù)列，令，為數(shù)列的前n項和，則___________．第五部分：高考新題型（劣構(gòu)性試題）1．（2023·江西·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列的前項和為，，．(1)求的通項公式及；(2)設(shè)__________，求數(shù)列的前項和．在①；②；③這三個條件中任選一個補(bǔ)充在第（2）問中，并求解．注：如選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．2．（2023·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知在公差為正數(shù)的等差數(shù)列中，，a1，a4，2a8構(gòu)成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前n項和.在①，②，③這三