單元質檢八解析幾何

（時間：100分鐘滿分：150分）

一、選擇題（本大題共8小題,每小題5分，共40分）

1.到直線3>/尸4-0的距離為3,且與此直線平行的直線方程是（）

A.3x-4yM=0

B.或3x-4y-2=0

C.3xFy*6-0

D.3xYy+16R或3xYyT44）

2.已知方程一一-二二二1表示雙曲線，且該雙曲線兩焦點間的距離為4,則〃的取值范圍是（）

4+3J

A.（-1,3）B.（-1,V3）C.（0,3）D.（0,V3）

3.若雙曲線。:二--QR,"0）的一條漸近線被圓（彳-2）2曠力所截得的弦長為2,則。的離心率

為（）

A.2B.V3C.V2D.竽

4.己知直線過點A（0,3）,圓（『1）2曠可被該直線截得的弦長為2V3,則該直線的方程是（）

A.尸千?3

A4

B.xR或片三戶3

44

C.臚0或了三戶3

D.x=O

5.（2018全國〃,理⑵已知凡K是橢圓。:二+二二1QY以））的左、右焦點，力是。的左頂點，點P

在過點4且斜率為4的直線上,△陽內為等腰三角形，NRRP=120：則。的離心率為（）

A.：B.|C.1D.-

3234

6.（2018全國/,理11）已知雙曲線C：―-了刁，。為坐標原點,尸為C的右焦點,過〃的直線與。的兩

條漸近線的交點分別為禮N.若△。㈱為直角三角形,則/W=（）

A.1B.3C.2V3D.4

7.已知拋物線/切勿（勿0）與雙曲線---1=16））的兩條漸近線分別交于兩點A,8（48異于

原點），拋物線的焦點為人若雙曲線的離心率為2,〃"/=7,則0=（）

A.3B.6C.12D.42

8.已知拋物線0%）的焦點為F,準線為7,A,8是。上兩動點,且N力吐。（a為常數），線

段47中點為，%過點材作/的垂線，垂足為正若^^的最小值為1,則。=（）

A.[B.-C.vD.；

6432

二、填空題（本大題共6小題,每小題5分，共30分）

2

9.若雙曲線V-口的離心率為V5,貝！實數m=.

10.拋物線的焦點到雙曲線（一;二1的漸近線的距離為.

11.已知拋物線〃=2px（p?）上一點Ml,而（加S到其焦點的距離為5,雙曲線--/二1的左頂點為A.

若雙曲線一條漸近線與直線4獷平行,則實數a=.

12.已知拋物線C:/3px（p；0）的焦點為F,3是拋物線C上的點.若三角形〃/處的外接圓與拋物線C

的準線相切,且該圓的面積為36九則夕的值為.

13.已知雙曲線C:一一一二l（aX）,於0）的右頂點為4以力為圓心，。為半徑作圓4圓力與雙曲線C

的一條漸近線交于現N兩點.若血忙60。，則C的離心率為.

14.（2018全國物理16）已知點V（T,1）和拋物線。:爐=4%過。的焦點且斜率為〃的直線與C交于

48兩點.若N4於書0°,則k=.

三、解答題（本大題共6小題，共80分）

15.（13分）如圖，在平面直角坐標系彳勿中，點力（0,3）,直線心片2彳/,設圓C的半徑為1,圓心在1

上.

⑴若圓心。也在直線y=x~i上,過點4作圓。的切線,求切線的方程；

⑵若圓。上存在點M,使/用/2'初/,求圓心C的橫坐標a的取值范圍.

16.（13分）已知橢圓C一+一二1（a乂刈的離心率為平,R,K是橢圓的兩個焦點,P是橢圓上任意一

點,且△陽用的周長是8+205

y

M

⑴求橢圓。的方程；

⑵設圓7:（廣2）2曠三過橢圓的上頂點制作圓r的兩條切線交橢圓于￡尸兩點，求直線加、的斜率.

17.（13分）（2018全國物文20）已知斜率為k的直線1與橢圓C:一+一=1交于48兩點,線段AB

的中點為玳1,勿）（蘇0）.

⑴證明：左弓；

⑵設F為。的右焦點,P為c上一點,且一,+-*+-＞。證明:2/_7=/~?㈤―7.

18.（13分）已知雙曲線」-1刁（6）,b刈的右焦點為F（c,0）.

⑴若雙曲線的一條漸近線方程為yr,且。=2,求雙曲線的方程；

⑵以原點0為圓心，。為半徑作圓,該圓與雙曲線在第一象限的交點為A,過4作圓的切線,斜率為一

V3,求雙曲線的離心率.

19.（14分）（2018上海,20）設常數力2,在平面直角坐標系初中,已知點尸（2,0）,直線l;x=t,曲線

啟心y20）./與*軸交于點4與〃交于點片20分別是曲線〃與線段48上的動點.

⑴用,表示點8到點〃的距離；

⑵設tA]FQ12線段制的中點在直線FPL求△力。尸的面積；

⑶設t=8,是否存在以FP,同為鄰邊的矩形用明使得點￡在r上?若存在,求點。的坐標;若不存

在，說明理由.

20.（14分）設橢圓工2+2刁（&＞力的）的左焦點為F,右頂點為4離心率為1;,已知A是拋物線

4=2區(qū)（或0）的焦點，尸到拋物線的準線1的距離為;.

⑴求橢圓的方程和拋物線的方程；

⑵設1上兩點P,0關于x軸對稱,直線/尸與橢圓相交于點6（8異于點A）,直線BQ與x軸相交于點

II若△川叨的面積為日,求直線種的方程.

單元質檢八解析幾何

1.D解析設所求直線方程為3xYy+ffi=0(mWl),由二」力,解得勿=16或m=~14.

□

即所求直線方程為3x~4尸164或3x-4y-14^0.

2.A解析由題意得(橘川)(3/-〃)%,解得正又由該雙曲線兩焦點間的距離為4,得

m+n埒d-n=4,即方=1,所以T<7?<3.

3.A解析可知雙曲線。的漸近線方程為bx±ay=O,取其中的一條漸近線方程為bx+ayR,則圓心

(2,0)到這條漸近線的距離為gf=廬F=V3,即'=8,所以cCa,所以e2故選A.

4.B解析當弦所在的直線斜率不存在時，即弦所在直線的方程為A=O,

此時圓a-l)2*yM被截得的弦長為2V3.

當弦所在的直線斜率存在時，設弦所在直線1的方程為y=kx春,即取-“3a

因為弦長為2質，圓的半徑為2,

所以弦心距為122-(75)2刁.

由點到直線距離公式，

得：+31刁，解得t

J2+(“3

綜上所述,所求直線方程為肝0或

5.D解析：%(-&0),△陽R為等腰三角形，

?YPAblRRitc.過點。作皿x軸.

:用60。.

?：//^7=G/%M/5G?：P(2C,V5C).

:,服旁，,：處所在直線的方程為片《("a).

66

?：V5c￥(2c+a).Ze—=7.

64

6.B解析由條件知F(2,0),漸近線方程為y=±^x,所以/陽心/物的30°,乙/心60°工90°.

不妨設N。物管90°,

則

又//'/=2,在RtZXOW中，/〃V/=2cos30°W3,

所以伽7=3.

7.B解析因為雙曲線的離心率為2,

所以￥=-4=2\2=4,即才，

所以雙曲線:—二二1(ak,6刈的兩條漸近線方程為片上V5x,代入「之川(夕刈,

得X多或xR,故XA=XAP.

VJ

又因為〃/7=乂勺=1勺=7,所以上6.

8.C解析如圖,過點4夕分別作準線的垂線AQ,BP,垂足分別是Q、P.

設lAF/=a,W=b,連接AF,BF.

由拋物線定義,得lAFl=lAQljBFl=iBPl.

在梯形ABPQ中,2lMNl=lAQl+lBPI=a^.

由余弦定理得，〃外二才4一2aAosa.

:'—的最小值為1,

2

?：，"2-2aAosa，二A當a《時，不等式恒成立.故選C.

43

9.2解析由題意知a=L方力—,z?^0,c=＞］心工=VT+一,則離心率=VT+—=V5,解得

/2

10.1解析拋物線74彳的焦點坐標為（2,0）,其到雙曲線/-一=1的漸近線x±的距離

11.;解析由題意可知,拋物線/切分（戶0）的準線方程為產Y,

則p=8,所以點X1,4）.

因為雙曲線--/刁的左頂點為力（1廠,0）,

所以直線41/的斜率為》.

由題意得m==±,解得畤

12.8解析設的外接圓圓心為凡

則/。勿=/。"/=心』〃，所以。在線段冰的垂直平分線上.

又因為。。與拋物線的準線相切，所以a在拋物線上，所以。（了，y）.

又因為圓面積為36JI,所以半徑為6,

所以丁+^p2=36,所以p=8.

1DZ

13.華解析如圖所示，由題意可得/OA/=a,/ANl=lAM/=b.

J

：'乙皿忙60°,

???網當bJOPkj—N—F=J2、2.

|理

設雙曲線6?的一條漸近線片一X的傾斜角為我則tan82—?=.

J242

在

又tan0=—,——,解得aWb；

14.2解析設直線力?"招尸1,

聯立｛2=4+l'="FmyF^O.

設N(xi,yi),8(在,y-i),則yi+yztm,力孜二F.

而*二(汨+1,yT)=(卬力+2,yi-1),

>=(>2+1,/2-1)=(m%*2,y2-l).

：24班=90°,

?：*?'=5八+2)(研+2)T)5T)

=(m+1)必及+(2勿-1)5+現)藥

二F(>+1)黃(2/T)?4勿■百

=^nf-4勿+1R.

.：川總?:k=^-t.

15.解(1)由｛:2得圓心打3,2).

又因為圓。的半徑為1,

所以圓C的方程為(才-3)2+(丁-2)2口.

顯然切線的斜率一定存在，

設所求圓C的切線方程為y=kx^

即kx-y^則與普=1,

所以/3K102+1,

即2以4A+3)-0.

所以公0或A--；.

所以所求圓。的切線方程為或片T"3,

4

即尸3或3xMyT2R.

⑵由圓C的圓心在直線上片2片4上，可設圓心C為(a,2aY),

則圓C的方程為(x-a)2<r-(2aY)]2=L

設取x,y),

又因為/物

所以J2+(-3)2卻2+2,

整理得

設方程表示的是圓D,

所以點也既在圓。上又在圓〃上，即圓C和圓，有交點，所以2-lwJ2+[(2-4)-(-1)]2^2^1,

解得a的取值范圍為[。，耳.

16.解⑴由題意,得=乎=三3

4

可知ci=^b,c=y/15b.

:‘△依"的周長是8+245,

?：2a+2cW+2Vn,/.a=4,b=\.

,：橢圓C的方程為1+/=1.

⑵橢圓的上頂點為3(0,1),由題意知過點力與圓7相切的直線存在斜率,則設其方程為l:y=kx+T.

由直線片心"1與圓7相切可知)二二，，

VI+23

即322+36左巧工),

qG

oJ/

J(=」1+，1，

lil得(1+16。八32GR,

>v_-321

??四一1+16f

同理獷喘/

2,

故直線所的斜率為:.

4

2222

17.證明⑴設4(3)，B5,㈤，則才+守,40

兩式相減,并由十引得++十...

由題設知一^=1,上三=叫于是k=~J

由題設得0（竭，故依彳.

⑵由題意得尸（1,0）.設P（X3,㈤,則（13-1,⑸+（小-1,71）+（》T,理）=（0,0）.

由⑴及題設得彳34-（汨+*2）-1,j^--（ji+yz）=-2加＜0.

又點尸在C上，所以m],

4

從而74

于是/—'/』（「1產+W（「1）2+30-4之仁

同理/~7=2技.

所以/~*-/_*/N3（M士盟）3

故2/7=/—7+/—7.

18.解⑴雙曲線:—一1=1的漸近線方程為y=±-x.

由雙曲線的一條漸近線方程為y二x,

可得一二1,解得a=b.

因為T2+2工,所以a=b$.

故雙曲線的方程為f一J二L

⑵設A的坐標為5,〃），可得直線AO的斜率滿足k==+即-用〃.①

囚為以點。為圓心，。為半徑的圓的方程為H/d

所以將①（弋入圓的方程,得3〃2a2^2,

解得*c,m與c.

將點"停，T）代入雙曲線方程，得—Q）=1.

化簡得打作未23才反

44

又因為犬方優(yōu)

所以上式化簡整理得射-2備2七y.

4

兩邊都除以整理得3e-8^-^=0t

解得G（或e=2.

因為雙曲線的離心率e>\,所以該雙曲線的離心率8個反（負值舍去）.

故雙曲線的離心率為VI

19.解（1）（方法一）設8（&2k）,

則/班7^（一2/+8="2.

（方法二）設8（02方一），

由拋物線的定義可知，/加7="2.

⑵由題意,得戶（2,0）,/網片2,X,

?：/E4/=l,二0（3,75）.

設園的中點為D,

則叫